趙春林
一、開(kāi)放題的特點(diǎn)
數(shù)學(xué)開(kāi)放題是最富有教育價(jià)值的—種數(shù)學(xué)問(wèn)題的題型。它具有以下幾種最突出的特征:
(1)內(nèi)容的豐富性。開(kāi)放題題材廣泛,涉及面寬,貼進(jìn)學(xué)生生活實(shí)際,背景新穎,內(nèi)容深刻,解法靈活,不像封閉性題目那樣簡(jiǎn)單、乏味,單靠純記憶、套模式來(lái)解題。
(2)形式的多樣性。開(kāi)放題呈現(xiàn)的形式多樣化,除文字?jǐn)⑹鐾猓€可以用表格、圖畫(huà)、對(duì)話等形式來(lái)安排設(shè)計(jì),綜合性強(qiáng),不像封閉性習(xí)題形式那樣單一地呈現(xiàn)和呆板的敘述。
(3)思路的發(fā)散性。由于開(kāi)放題的答案不唯一,解題時(shí)需要運(yùn)用多種思維方法,并通過(guò)多角度、全方位的分析探索,從而獲得多種結(jié)論。
(4)教育的創(chuàng)新性。其解題思路具有發(fā)散性,為學(xué)生提供了充分發(fā)揮創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的時(shí)空途徑。
數(shù)學(xué)開(kāi)放性題是近年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),其解法靈活且具有—定探索性。這類題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型、問(wèn)題探究型、數(shù)學(xué)建模型、操作設(shè)計(jì)型、情景研究型。如果“未知的”是解題假設(shè),那么就稱為條件開(kāi)放型;如果“未知的”是解題目標(biāo),那么就稱為結(jié)論開(kāi)放型:如果“未知的”是解題推理,那么就稱為策略開(kāi)放型。
二、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類與設(shè)計(jì)策略
(1)對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的分類,從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素(條件、依據(jù)、方法、結(jié)論)出發(fā),定性地可分成四類:如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件,則稱為條件開(kāi)放題;如果尋求的答案是依據(jù)或方法,則稱為策略開(kāi)放題;如果尋求的答案是結(jié)論,則稱為結(jié)論開(kāi)放題;如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情景中自行設(shè)定與尋找,則稱為綜合開(kāi)放題。
(1)條件開(kāi)放題,即未知的要素是條件。
例2:1999年全國(guó)高考題:α、β是兩個(gè)不同的平面,m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線,給出四個(gè)論斷:① m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:_________。這就是一個(gè)非常開(kāi)放的問(wèn)題,學(xué)生可以根據(jù)自己原有的認(rèn)知水平,得到不同的方案。①m⊥α,n⊥β,α⊥β. ②m⊥n,m⊥α,n⊥β這樣的問(wèn)題設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),發(fā)展創(chuàng)新能力。
(2)結(jié)論開(kāi)放,即未知的要素是判斷。
例3:用實(shí)際例子說(shuō)明? 所表示的意義。
給變量賦予不同的內(nèi)涵,就可得出函數(shù)不同的解釋,我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個(gè)角度出發(fā)給出實(shí)例。
1.X表示時(shí)間(單位:s),y表示速度(單位:m/s),開(kāi)始計(jì)時(shí)后質(zhì)點(diǎn)以10m/s的初速度作勻加速運(yùn)動(dòng),加速度為2m/s2,5秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以20m/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng),10秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以-2m/s2的加速度作勻減速運(yùn)動(dòng),直到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到20秒末停下。
2.季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來(lái)之時(shí),價(jià)格呈上升趨勢(shì),設(shè)某服飾開(kāi)始時(shí)定價(jià)為10元,并且每周(7天)漲價(jià)2元,5周后開(kāi)始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售,10周后當(dāng)季即將過(guò)去,平均每周削價(jià)2元,直到20周末該服飾不再銷售。
函數(shù)概念的形成,一般是從具體的實(shí)例開(kāi)始的,但在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),往往較少考慮實(shí)際意義,本題旨在通過(guò)學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)給出函數(shù)的實(shí)際解釋,體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對(duì)問(wèn)題理解上的開(kāi)放。其思維的多向性、靈活性顯露得淋漓盡致,學(xué)生不但可以鞏固知識(shí),培養(yǎng)技能,而且更可以有表現(xiàn)自己創(chuàng)造力的機(jī)會(huì)。
(3)策略開(kāi)放,即未知的要素是推理。
例4:①若有兩張長(zhǎng)方形的桌子,把它們拼成一張長(zhǎng)方形桌子,有幾種拼法?
先讓學(xué)生把表格中的前4項(xiàng)填好,之后再討論n張桌子可坐幾人?
學(xué)生可以從不同的角度思考,得到不同的策略:①一張桌子可坐6人,每增加一張桌子增加4人,幾張桌子增加4(n-1)人,因此n張桌子可坐[6+4(n-1)]人,即(4n+2)人;②桌子無(wú)論增加幾張,左右兩側(cè)始終只能坐2人,而每張桌子的上下兩側(cè)都可坐4人,故有(4n+2)人;③每張桌子可坐6人,那么n張桌子按理可坐6n人,但要減去每?jī)蓮堊雷又睾系?人。列式得6n-2(n-1),等于(4n+2)人;④一張桌子的一半可坐(2+1)人,n張桌子的一半可坐(2n+1)人,因此,n張桌子可坐2(2n+1)人,即(4n+2)人。這一系列問(wèn)題的設(shè)計(jì)給學(xué)生的不同見(jiàn)解留下了足夠的空間,學(xué)生可以在自己原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中進(jìn)行同化,多角度、多方位地去尋找解題策略。
四、開(kāi)放題對(duì)教師的轉(zhuǎn)化作用
(1)開(kāi)放題對(duì)教師觀念的轉(zhuǎn)變。開(kāi)放題的出現(xiàn)以及對(duì)其教育功能的肯定,一方面反映了人們數(shù)學(xué)教育觀念的轉(zhuǎn)變;另一方面適應(yīng)了飛速發(fā)展的時(shí)代的需要。實(shí)際上反映了人們對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)新模式的追求,是人們站在新時(shí)代歷史的高度上對(duì)數(shù)學(xué)教育改革的新探索。
(2)開(kāi)放題對(duì)教師角色的轉(zhuǎn)變。在開(kāi)放題教學(xué)中,教師的角色定位,即在教學(xué)過(guò)程中,教師不是教學(xué)活動(dòng)的主角,而是“編劇”和“導(dǎo)演”;不是知識(shí)的傳授者,而是教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、促進(jìn)者、示范者、組織者、調(diào)控者。
五、數(shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義
數(shù)學(xué)開(kāi)放題作為一種教學(xué)思想反映在以下幾個(gè)方面:
(1)數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。封閉式的例題、習(xí)題式的數(shù)學(xué)教學(xué)僅停留在分類介紹技巧和方法的水平上,指向知識(shí)、技能、原理和它們的適用性,往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)某個(gè)結(jié)論或方法的記憶。它重視的是學(xué)生計(jì)算、演繹等嚴(yán)格推理的能力,忽視的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐,尋找相似性等非形式推理的能力。
(2)數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教學(xué)的思維性。封閉的數(shù)學(xué)題教學(xué)面向事實(shí)性的知識(shí)和程序性的技能而不是強(qiáng)調(diào)高層次的技能,而數(shù)學(xué)開(kāi)放題作為一個(gè)教學(xué)思想強(qiáng)調(diào)和反映學(xué)生高層次的能力和開(kāi)放性、創(chuàng)造性的思維。
(3)數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)解決問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)與封閉的數(shù)學(xué)題教學(xué)的另一不同點(diǎn)是側(cè)重學(xué)生解決問(wèn)題的思路和策略而不是問(wèn)題的答案,側(cè)重學(xué)生獲得解答的過(guò)程。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)教學(xué)中,不僅要注意其產(chǎn)物,而且要注意其過(guò)程,注意對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的思路的分析。
(4)數(shù)學(xué)開(kāi)放題強(qiáng)調(diào)了學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中的主體作用。數(shù)學(xué)開(kāi)放題把數(shù)學(xué)教學(xué)建立在學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上,更能反映出學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性,反映出學(xué)生的主體作用,有利于改變以教師為中心的教學(xué)方法。
(5)數(shù)學(xué)開(kāi)放題有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力。數(shù)學(xué)開(kāi)放題提供學(xué)生一種數(shù)學(xué)活動(dòng),在活動(dòng)中展示和提高自己的數(shù)學(xué)才能,在活動(dòng)中交流體會(huì),增強(qiáng)主體意識(shí),在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)的美感和解決問(wèn)題的趣味。