多時(shí)滯混合型微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性

銀鶴凡

(廣東工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東廣州 510006)

近年來(lái)，分段連續(xù)型常微分方程(簡(jiǎn)稱EPCA)，作為一類特殊的時(shí)滯微分方程，是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。EPCA理論在文獻(xiàn)[1-2]中被提出，后來(lái)，這種形式的微分方程被許多作者進(jìn)行了研究，例如文獻(xiàn)[3-6]。而學(xué)者們對(duì)于EPCA的研究熱情來(lái)自于它兼容了微分方程和差分方程的特性，這也使得EPCA在種群生物學(xué)[7-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]、捕食者-食餌模型[11]、流行病學(xué)[12-14]等方面發(fā)揮著重要的作用。

由于這類方程結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性，想要準(zhǔn)確的求解方程是很困難的。因此，有必要研究EPCA的數(shù)值方法。目前，關(guān)于EPCA數(shù)值解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究越來(lái)越多，例如振動(dòng)性[15-16]、穩(wěn)定性[17-18]和收斂性[19-20]。本文討論了多時(shí)滯混合型EPCA數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性。

考慮下列分段連續(xù)常微分方程

x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1])+a2x([t+2]),t≥0,

x(0)=x0,x(1)=x1,

(1)

其中a,ai(i=0,1,2),x0和x1是實(shí)常數(shù)，[·]表示取整函數(shù)。

這類方程的一般形式是

x′(t)=f(t,x(t),x(α(t)),x(β(t)),x(γ(t))),t≥0,

x(0)=x0,x(1)=x1,

(2)

其中參數(shù)α(t),β(t)和γ(t)是分段連續(xù)函數(shù)。由于方程(1)中的[t]是滯后型，[t+1]和[t+2]是向前型，所以我們稱方程(1)為帶有三個(gè)延遲項(xiàng)[t]，[t+1]和[t+2]的混合型EPCA。

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第一部分，我們考慮方程(1)的穩(wěn)定性分析;在第二部分，討論了Euler-Maclaurin方法的收斂性和穩(wěn)定性;第三部分給出了數(shù)值模擬來(lái)支持我們的分析結(jié)果;第四部分來(lái)總結(jié)本文所得到的結(jié)果。

1 穩(wěn)定性分析

定義1[21]方程(1)在 [0，∞)上的解x(t)滿足下列條件：

(1)x(t)在 [0，∞)上連續(xù)；

(2)導(dǎo)數(shù)x′(t)在[t]∈ [0,∞)的點(diǎn)上存在單側(cè)導(dǎo)數(shù)，在t∈ [0,∞)的其他點(diǎn)上存在導(dǎo)數(shù)；

(3)x(t)在每個(gè)區(qū)間 [n,n+1)? [0,∞)上滿足方程(1)。

引理1[22]方程(1)在[0，∞)上有唯一解

x(t)=m0({t})c[t]+m1({t})c[t+1]+m2({t})c[t+2],

(3)

其中{t}是t的小數(shù)部分，并且

(4)

(5)

λ1和λ2是方程

m2(1)λ2+(m1(1)-1)λ+m0(1)=0

(6)

的根。

定義2如果方程(1)的解x(t)滿足

那么方程(1)的零解稱為漸近穩(wěn)定的。

引理2[23]方程λ2-A1λ-A2=0的根的模小于1的充要條件是|A2|<1和|A1|<1-A2。

引理3[21]方程(1)的解是漸近穩(wěn)定的等價(jià)于(6)的根的模滿足不等式|λ1|<1，|λ2|<1。

定理1方程(1)的零解是漸近穩(wěn)定的充要條件是

(7)

證明由引理3可得，方程(1)的解是漸近穩(wěn)定的等價(jià)于特征方程

的根滿足|λi|<1,i=1,2。

由引理2有

整理得

故命題得證。

定義3使得方程(1)漸近穩(wěn)定的所有點(diǎn)(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域，記為H。

因此，我們得到

H*={(a,a0,a1,a2)∶

我們把H*分成如下所示的兩個(gè)區(qū)域：

2 數(shù)值穩(wěn)定性

2.1 Euler-Maclaurin方法和收斂性

首先引入Bernoulli數(shù)與Bernoulli多項(xiàng)式，有

其中Bj和Bj(x),j=0,1,2…分別為Bernoulli數(shù)和j次Bernoulli多項(xiàng)式。

引理4[24]Bj和Bj(x)有下列特征：

引理5[25]假設(shè)f(x)在區(qū)間[ti,ti+1]上有2n+3階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有

(8)

事實(shí)上，對(duì)于每一個(gè)區(qū)間 [k,k+1)，方程(1)是一個(gè)常微分方程。導(dǎo)數(shù)x(j)(t)在每個(gè)區(qū)間[k,k+1)上存在，對(duì)于j=0,1,2…，假設(shè)

f(t)=x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1])+a2x([t+2])，

則有

f′(t)=x″(t)=ax′(t)=

a2x(t)+aa0x([t])+aa1x([t+1])+

aa2x([t+2]) ,

f(j)(t)=x(j+1)(t)=

aj+1x(t)+aja0x([t])+aja1x([t+1])+

aja2x([t+2]) ,

(9)

將(9)應(yīng)用到(8)，得到如下迭代公式：

(10)

由i=km+l,l=0,1,…,m-1，式(10)可以表示為

(11)

(12)

定理2對(duì)任意給定的n∈N，Euler-Maclaurin方法是2n+2階的。

證明令km≤i<(k+1)m-1，由引理5及f(t)=x′(t)有

ha0x(k)+ha1x(k+1)+ha2x(k+2)-

(13)

令i=(k+1)m-1，則對(duì)任意的0<ε

ha1x(k+1)+ha2x(k+2)-

(14)

在方程(14)中，令ε→0+，可得對(duì)于i=(k+1)m-1，有(12)成立。假設(shè)

xi=x(ti),x(k)=xkm,

x(k+1)=x(k+1)m,x(k+2)=x(k+2)m，

由式(11)-(14)，我們有

O(h2n+3) ,

所以定理成立。

2.2 穩(wěn)定性分析

定義5對(duì)于方程(1)，使得式(10)漸近穩(wěn)定的所有點(diǎn)(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域，用S表示。

推論1當(dāng)n→∞時(shí)，xn→0的充要條件是當(dāng)k→∞時(shí)，xkm→0。

定理3方程(1)的數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的充要條件是

(15)

證明根據(jù)推論1，我們可以得到方程(1)的所有數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)k→∞時(shí)，xkm→0。由(11)、(12)可知，當(dāng)k→∞時(shí)，xkm→0的充要條件是特征方程

(16)

的根位于復(fù)平面的開(kāi)單位圓盤(pán)內(nèi)，即|λi|<1,i=1,2。

由引理2有

整理得

(a+a0+a1+a2)×

故命題得證。

由定義5和定理3，我們得到

把S*分成下面兩個(gè)區(qū)域：

接下來(lái)我們只需要找到滿足Hi?Si,i=1,2的條件即可。

引理7[24]如果|z|≤1，那么

定理4H1?S1的充要條件是n為偶數(shù)。

證明令(a,a0,a1,a2)∈H1，那么a+a0+a1+a2<0和H1?S1成立當(dāng)且僅當(dāng)

(17)

等價(jià)于

(18)

ea≤R(z)m，

即

由引理7可知，n為偶數(shù),同理可證a<0的情況，故命題得證。

定理5H2?S2的充要條件是n為奇數(shù)。

證明：類似于定理4的證明。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

考慮下列方程：

x′(t)=-5x(t)-0.5x([t])+3x([t+1])-2x([t+2]),t≥0,

x(0)=1,x(1)=1,

(19)

x′(t)=x(t)-x([t])-2x([t+1])+3x([t+2]),t≥0,

x(0)=1,x(1)=1 ,

(20)

取t=10，方程(19)的解析解為x(10)≈-0.130 2。表1列舉了Euler-Maclaurin方法在n=2時(shí)的絕對(duì)誤差(AE)和相對(duì)誤差(RE)，以及m=50和m=100情況下誤差的比率。從表1可以看出，Euler-Maclaurin方法的收斂階為6，也就是說(shuō)，數(shù)值方法保持了收斂階。

表1 Euler-Maclaurin方法的誤差 (n=2)

進(jìn)一步，由(19)易知，a=-5,a0=-0.5,a1=3,a2=-2，故(-5,-0.5,3,-2)∈H1，同時(shí)有

即(7)式成立，所以方程(19)的解析解是漸近穩(wěn)定的。

另外，取m=50，n=2，有(-5,-0.5,3,-2)∈S1并且

即(15)式成立，所以方程(19)的數(shù)值解是漸近穩(wěn)定的。

在圖1中，我們做出了方程(19)的解析解和數(shù)值解的圖像，從圖1不難看出，數(shù)值方法保持了方程(19)的穩(wěn)定性。對(duì)于方程(20)，可以同理驗(yàn)證(見(jiàn)圖2)。

圖1 方程(19)的解析解x(t)和數(shù)值解(xn，m=50,n=2)

圖2 方程(20)的解析解x(t)和數(shù)值解(xn，m=50,n=3)

4 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了多時(shí)滯混合型EPCA數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性。結(jié)果表明，Euler-Maclaurin方法的收斂階是2n+2。通過(guò)運(yùn)用差分方程的特征理論，給出了數(shù)值穩(wěn)定區(qū)域包含解析穩(wěn)定區(qū)域的條件。在今后的工作中，我們將考慮非線性問(wèn)題和分?jǐn)?shù)階問(wèn)題。