高均勻性穩(wěn)態(tài)磁場發(fā)生裝置的優(yōu)化研究

何燕

（合肥新滬屏蔽泵有限公司,安徽 合肥 230088）

0 引言

磁場發(fā)生裝置是一種產(chǎn)生一定區(qū)域均勻磁場的線圈結(jié)構(gòu)，在線圈上通入電流可產(chǎn)生所需要的磁場，可用于受磁場干擾的器件的抗擾度測試，在生物醫(yī)學[1]，傳感器[2]、核聚變裝置[3]以及其他場合的應(yīng)用。

為了計算方便，對均勻磁場區(qū)域內(nèi)部參數(shù)引入以下參數(shù)：

1）均勻區(qū)域尺寸（2s，m）：正方形均勻區(qū)域的邊長。

2）最小磁感應(yīng)強度（Bmin，mT）：均勻區(qū)域內(nèi)磁場感應(yīng)強度的最小值。

3）最大磁感應(yīng)強度（Bmax，mT）：均勻區(qū)域內(nèi)磁場感應(yīng)強度的最大值。

4）磁場均勻性（η）：最大和最小磁感應(yīng)強度的比值。

產(chǎn)生均勻磁場的裝置結(jié)構(gòu)很多，常用的有螺線管線圈[4]、Helmholtz 線圈[5]和Maxwell 線圈[6]，螺線管線圈是均勻磁場最理想的一種產(chǎn)生方式，其均勻度質(zhì)量一般都很高，但是線圈尺寸有限，極大地限制了發(fā)展；Helmholtz 線圈結(jié)構(gòu)簡單，但是均勻磁場區(qū)域較小[7]；Maxwell 線圈是Helmholtz 線圈的一種升級結(jié)構(gòu)，均勻度較好，但是結(jié)構(gòu)略復(fù)雜[8-9]；其他方式主要有多線圈組結(jié)構(gòu)[10]，比如文獻[11]提出使用半徑相同的3 組圓形線圈組；文獻[12]提出了半徑相同的4 圓形線圈組；文獻[13]提出了半徑相同的8圓形線圈組；文獻[14]對此類線圈進行綜合分析，方法多種多樣，也各有優(yōu)劣。

由于方形結(jié)構(gòu)在大型設(shè)備的制造和焊接過程中比圓形結(jié)構(gòu)具有更多優(yōu)勢[15-16]，因此IEC（國際電工委員會）在磁場抗擾度試驗中推薦了方形結(jié)構(gòu)。本文著重對于Helmholtz 線圈和Maxwell 線圈兩種方形線圈以及相應(yīng)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行分析計算，設(shè)計出更為合理的高均勻性磁場發(fā)生裝置。

1 Helmholtz 線圈結(jié)構(gòu)及優(yōu)化分析

Helmholtz 正方形線圈由同軸的兩個正方形線圈組成。在文獻[5]中對Helmholtz 線圈及其優(yōu)化結(jié)構(gòu)進行了非常詳細的分析，并以此為基礎(chǔ)詳細分析了誤差因素的影響，但是仍然只是針對兩線圈在磁場均勻度1.1～1.4 范圍內(nèi)的研究，更多范圍并沒有延伸的分析。

Helmholtz 線圈的距離是正方形線圈邊長的0.544 5 倍，其在中心2s×2s×2s測試區(qū)域產(chǎn)生的磁場均勻度為1.1，最小磁感應(yīng)強度為250 mT 的條件下，所用材料及空間體積是否最小，此時并不能判斷。所以對此結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化分析，將結(jié)果進行對比來確定最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

首先建立Helmholtz 正方形線圈結(jié)構(gòu)模型，如圖1 所示。磁場均勻區(qū)域位于坐標軸中心，邊長為2s，正方形線圈邊長為2a，兩線圈的距離為2h，每組線圈的安匝數(shù)為NI（匝數(shù)為N，電流為I）。

圖1 Helmholtz 方形線圈結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structural model of Helmholtz square coil

根據(jù)磁場疊加原理，得到線圈在測試區(qū)域任一點P(x,y,z)上產(chǎn)生的軸向磁場為：

式中：

μ0——真空磁導率；

|x|≤s,|y|≤s,|z|≤s。

為簡化計算，將測試區(qū)域歸一化，即令:

代入式(2)，有：

式中：

|u|≤1,|v|≤1,|w|≤1。

在測試區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強度最大值、最小值以及磁場均勻度是關(guān)于a/s、h/s、NI/s的函數(shù)，即

通過數(shù)值計算分析，得到磁場均勻性η關(guān)于線圈尺寸參數(shù)a/s、h/s的分布，如圖2 所示。從圖中可以看出，不同均勻度下的曲線均存在一個a/s最小點，此時線圈尺寸最小，耗材最少，結(jié)構(gòu)最優(yōu)。將這些a/s最小點連接成線（如圖2 所示直線），通過數(shù)值計算，進行曲線擬合，得到a/s、h/s關(guān)于η的近似表達式；再將Bmin=250 mT 代入式(5)中，擬合出NI/s關(guān)于η的近似表達式，結(jié)果如下：

圖2 磁場均勻性關(guān)于尺寸參數(shù)的分布Fig.2 Distribution of magnetic field uniformity with size parameters

同時得到h關(guān)于a的近似表達式:

繪制最優(yōu)結(jié)構(gòu)與Helmholtz 結(jié)構(gòu)(a=0.544 5h)時的a/s、h/s、NI/s與磁場均勻度的曲線分布，如圖3、圖4、圖5 所示。

圖3 a/s 關(guān)于磁場均勻度的分布Fig.3 Relationship between a/s and magnetic field uniformity

圖4 h/s 關(guān)于磁場均勻度的分布Fig.4 Relationship between h/s and magnetic field uniformity

圖5 NI/s 關(guān)于磁場均勻度的分布Fig.5 Relationship between NI/s and magnetic field uniformity

從圖中可以看出，在1 m×1 m×1 m 測試空間內(nèi)磁場均勻度η≥1.07 時，優(yōu)化結(jié)構(gòu)相對于Helmholtz結(jié)構(gòu)，尺寸更小，所需安匝數(shù)也更少。本文計算的結(jié)果忽略了截面效應(yīng)，在后續(xù)研究中會繼續(xù)深入分析，此處暫不考慮。

當η=1.1、Bmin=250 mT、s=0.5 m，計算得到Helmholtz 結(jié)構(gòu)與最優(yōu)結(jié)構(gòu)時的a、h、NI的值；再考慮輸入電源電流I≤10 kA，求得兩線圈的最小整數(shù)安匝比，如表1 所示?？梢钥闯?，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的體積更小，輸入的電流也更小，成本更低。

表1 Helmholtz 與優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)比較Tab.1 Parameter comparison between Helmholtz and optimized structure

2 Maxwell 線圈結(jié)構(gòu)及優(yōu)化分析

Maxwell 正方形線圈由同軸的三個正方形線圈組成，結(jié)構(gòu)模型如圖6 所示，需要利用泰勒展開式來確定Maxwell 正方形線圈參數(shù)比例。

圖6 Maxwell 方形線圈結(jié)構(gòu)模型Fig.6 Structural model of Maxwell square coil

計算得到線圈組在點P(x,y,z)上產(chǎn)生的軸向磁場為：

根據(jù)上式，得到Z軸軸線上的磁場分布為

Bz關(guān)于z=0 對稱，故當k為奇數(shù)時有Bk(0)=0，其在z=0 處的泰勒展開式為：

要產(chǎn)生理想的均勻磁場，則要求B(z)=B(0)，即要求B2k(0)=0，計算得到：

將式(11)代入式(8)中，計算當η=1.1 時，a=1.196 m；且計算當Bmin=250 mT 時，NI=346.9 kA，N1I=146.5 kA。因為I≤10 kA，所以N≥35，N1≥15，繪制磁場均勻度關(guān)于N、N1的分布，如圖7 所示，其中黑色區(qū)域的磁場均勻度在1.1 范圍內(nèi)。

圖7 Helmholtz 線圈磁場均勻度關(guān)于N、N1 的分布Fig.7 Magnetic field uniformity with respect to N and N1 for Helmholtz

從圖7 中可以看出，當N=38，N1=16 時，匝數(shù)值最小。此時磁場均勻度η=1.1，Bmin=250 mT 時的輸入電流I=9.33 kA。

與Helmholtz 結(jié)構(gòu)類似，同樣對Maxwell 線圈進行進一步優(yōu)化，得出磁感應(yīng)強度最值與磁場均勻度關(guān)于變量參數(shù)的關(guān)系如下：

優(yōu)化的目的是使得在η=1.1 的情況下，線圈結(jié)構(gòu)尺寸最小。由于變量較多，很難直接求解，本文可以選擇坐標輪換法對參數(shù)進行優(yōu)化。

坐標輪換法每次只搜索一個變量，可將多維問題轉(zhuǎn)化為一維問題，基本思路如下：

1）選擇初始點X0=[x10,x20,···,xn0]，選擇迭代方向e1=[1,0,···,0]T，e2=[0,1,···,0]T，···，en=[0,0,···,1]T。

2）選擇迭代公式

式中：

K?迭代序號。

3）判斷公式

式中：

ε?精度。

若滿足式(14)的要求，停止迭代，輸出最優(yōu)解；若不滿足，返回繼續(xù)求解直至收斂為止。

本文設(shè)計的線圈，由于a決定中間最大線圈的尺寸，屬于優(yōu)先級最高的優(yōu)化對象；a1決定外側(cè)兩線圈的尺寸，屬于次優(yōu)先級的優(yōu)化對象；h決定線圈的軸向尺寸，屬于次次優(yōu)先級的優(yōu)化對象。

在η=1.1 的情況下，先對a進行坐標輪換法求得其最小值；此時a1、h、N/N1的解可能是一組也可能是多組，所以繼續(xù)以a1為對象進行坐標輪換法求得其最小值；同樣h、N/N1的解未定，繼續(xù)以h為對象進行坐標輪換法求得其最小值；最后求得安匝比N/N1，其中精度選擇 ε=0.001。

通過上述計算得到a=1.165 m，a1=0.738 m，h=0.718 m，N/N1=0.4。代入式(12)，計算當Bmin=250 mT時，NI=340.1 kA，N1I=136.1 kA，所以N≥35，N1≥14，繪制磁場均勻度關(guān)于N、N1的分布，如圖8 所示。

圖8 Maxwell 線圈磁場均勻度關(guān)于N、N1 的分布Fig.8 Magnetic field uniformity with respect to N and N1 for Maxwell

從圖8 中可以看出，當N=37，N1=15 時，匝數(shù)值最小。此時磁場均勻度η=1.1，Bmin=250 mT 時的輸入電流I=9.32 kA。

從表2 可以看出，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的體積更小，輸入電流相同的情況下匝數(shù)更少，成本更低。

對比表1 和表2 可知，Maxwell 優(yōu)化結(jié)構(gòu)線圈相對于其他結(jié)構(gòu)而言，體積最小，輸入電流更小，并且匝數(shù)更少，所以本文設(shè)計選擇此結(jié)構(gòu)作為最終結(jié)構(gòu)。

表2 Maxwell 與Maxwell 優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)比較Tab.2 Distribution of axial magnetic field parameter comparison between Maxwell and Maxwell optimized structure

3 線圈的仿真分析

線圈采用鋁排結(jié)構(gòu)，實際系統(tǒng)使用自然風冷進行散熱，在熱負荷的考慮上不能過高，實際演算后取電流密度1.56 A/mm2，導體截面取(10 kA)/(1.56 A/mm2)=6 410.3 mm2；而線圈匝數(shù)很多，為了保證軸向長度不至于過長，同時考慮到導體強度，取軸向長度為20 mm，另一邊長為(6 410.3 mm2)/(20 mm)≈320 mm；導體間距在考慮絕緣安全，取3 mm 即可。建立有限元模型，如圖9 所示。

圖9 線圈有限元模型Fig.9 Finite element model of coil

仿真計算中心1 m×1 m×1 m 區(qū)域的軸向磁場分布，如圖10 所示。

圖10 軸向磁場分布Fig.10 Distribution of axial magnetic field

仿真結(jié)果與解析計算進行對比，如表3 所示?？梢钥闯?，仿真結(jié)果相對于解析計算，均勻度更好，主要是因為每匝線圈在軸向均勻分布，對于磁場均勻度有一定的改善作用，但是在達到Bmin=250 mT 的條件下，所需要的電流相應(yīng)地有所增加。整體而言，誤差在可接受范圍內(nèi)，設(shè)計方案效果良好。

表3 有限元法與解析計算優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)比較Tab.3 Comparison between analytical method and structural parameter optimization method

4 結(jié)論

Helmholtz 和Maxwell 線圈結(jié)構(gòu)在產(chǎn)生均勻磁場方面具有極大優(yōu)勢，本文針對1 m3立方體空間磁場均勻度不大于1.1 的要求采用這兩種結(jié)構(gòu)來分析。首先對Helmholtz 線圈及其優(yōu)化結(jié)構(gòu)分析，繪制出磁場均勻度關(guān)于尺寸的分布，求得計算的一般通用公式。然后使用泰勒展開求解Maxwell 線圈的尺寸關(guān)系并求解相應(yīng)的尺寸值，再利用坐標輪換法對線圈結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。對比分析各項結(jié)果，在滿足條件的情況下，從尺寸最小，匝數(shù)最少方面，選擇Maxwell線圈優(yōu)化結(jié)構(gòu)作為最優(yōu)設(shè)計方案。由此也可以看出當線圈組數(shù)越多，磁場均勻性就會越好，但是考慮到更多線圈組數(shù)的制造安裝難度，不考慮更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。文章最后通過有限元仿真，驗證了結(jié)果的正確性。