基于“高觀點”視角，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識
——周衛(wèi)東老師“平行四邊形的面積”一課教學(xué)賞析

江蘇省南京市南京曉莊學(xué)院附屬小學(xué) 顧新佳

近日，筆者觀摩周衛(wèi)東老師執(zhí)教的“平行四邊形的面積”一課，對周衛(wèi)東老師一貫堅守的“高觀點”教學(xué)主張有了更深的認識。本節(jié)課順應(yīng)學(xué)情、深究本質(zhì)、站位高遠，幫助學(xué)生突破知識本質(zhì)，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識。

一、大問題統(tǒng)整，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識

“德國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因倡導(dǎo)‘高觀點’，即從高等數(shù)學(xué)的角度來審視初等數(shù)學(xué)?！案哂^點”給初等數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來了生機與活力?！笔苌鲜鲇^點的啟發(fā)，周衛(wèi)東老師積極倡導(dǎo)基于“高觀點”視角的數(shù)學(xué)教學(xué)。他認為：“所謂‘高’者，即不一般、優(yōu)于常態(tài)也，‘高觀點’視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，可以從內(nèi)容的縱深維度遷移到內(nèi)容的寬窄維度，推及思想的高低維度等?！薄案哂^點”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，立于教學(xué)的高位，回應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。

教學(xué)中，通過大問題統(tǒng)整，可以幫助學(xué)生主動建構(gòu)知識。所謂大問題，就是一種開放性問題或具有多元思考方式的問題，來鼓勵學(xué)習(xí)者積極參與問題解決中，使學(xué)生嘗試尋找有用的知識、思考合適的方案來解決主要問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的大問題觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，是課堂教學(xué)中的問題之“眼”。

（一）大問題引領(lǐng)，促數(shù)學(xué)思維萌芽

周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，緊緊扣住“平行四邊形的面積到底該怎么計算”這個大問題統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)。

上課伊始，周衛(wèi)東老師出示學(xué)生課前小研究的三種典型算法：

圖1

課堂上，當(dāng)三種算法呈現(xiàn)出來時，學(xué)生紛紛舉手，準備表達觀點。這時，周衛(wèi)東老師提醒學(xué)生說：“如果你想要證明哪一種結(jié)果是對的，就要說出你的方法。”看似平常的提醒，卻為學(xué)生后面沿著大問題的脈絡(luò)一步一步接近數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

學(xué)生經(jīng)過交流，很快得出了結(jié)論。方法①是算周長的，不符合條件。而方法②，是課前預(yù)習(xí)中學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤之一，為什么這種方法不對呢？學(xué)生從長方形的面積計算中得到啟發(fā)，認為平行四邊形不是長方形，所以不能用鄰邊相乘來計算。對于方法③，絕大多數(shù)學(xué)生認為是對的，這多源于課前預(yù)習(xí)。基于這樣的學(xué)習(xí)起點，周衛(wèi)東老師在“平行四邊形的面積到底該怎么算”這個大問題的統(tǒng)領(lǐng)下，拋出了“怎么說明這個平行四邊形的面積是24平方厘米呢”這個問題。此問題一出，學(xué)生的研究視角聚焦到平行四邊形面積計算的細節(jié)中。而后，學(xué)生通過割補、數(shù)格子等方法，不但證明了這個平行四邊形的面積是24平方厘米，也印證了方法②的錯誤，并得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來算”。

數(shù)學(xué)教學(xué)中，立于高位去設(shè)計教學(xué)路徑，用大問題統(tǒng)領(lǐng)教學(xué)，是促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維萌芽、主動建構(gòu)知識的關(guān)鍵步驟。

（二）大問題推進，促數(shù)學(xué)思維生長

教學(xué)時，引領(lǐng)學(xué)生走進平行四邊形面積計算問題本質(zhì)后，學(xué)生的思路瞬間被打開，觀點呼之欲出。學(xué)生得到初步猜想“平行四邊形的面積可以用底×高來算”后，周衛(wèi)東老師適時拋出問題“所有平行四邊形的面積都可以用底×高來計算嗎”。這個問題是引導(dǎo)學(xué)生由個體向類別推理的核心問題，課堂上，周衛(wèi)東老師給學(xué)生提供了三個大小、形狀各不同的平行四邊形，讓學(xué)生通過割補等方法去印證自己的猜想。

在上述三個平行四邊形面積推導(dǎo)的過程中，學(xué)生進一步明確了之前的猜想，并且形成了基本的結(jié)論。一個又一個大問題推進的過程，就是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷調(diào)整、整合、進階的過程。

（三）大問題歸納，促數(shù)學(xué)思維扎根

大問題屬于上位問題，是統(tǒng)整整個知識點乃至知識體系的問題，基于高觀點下的數(shù)學(xué)課堂，在大問題引領(lǐng)、推進之后，要有大問題歸納總結(jié)。在本節(jié)課中，雖然學(xué)生通過不完全歸納，經(jīng)歷了“一個”到“一類”的認知過程，但是，周衛(wèi)東老師并未就此引出平行四邊形面積計算公式，而是給學(xué)生布置了關(guān)鍵性任務(wù)——（1）觀察：轉(zhuǎn)化前后，兩個圖形有什么聯(lián)系？（2）推理：平行四邊形的面積為什么可以用底×高來計算？

教師在引領(lǐng)學(xué)生完成這個學(xué)習(xí)任務(wù)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會推理歸納，進一步厘清平行四邊形面積計算的本質(zhì)問題，即沿著平行四邊形的任意一條高剪開，拼成一個長方形，發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的長等于平行四邊形的底、長方形的寬等于平行四邊形的高，且面積不變。所以，根據(jù)長方形的面積=長×寬，推導(dǎo)出平行四邊形的面積=底×高。

通過大問題的歸納總結(jié)，可以幫助學(xué)生厘清知識本質(zhì)，養(yǎng)成從高位視角看待所學(xué)知識的素養(yǎng)，從而將學(xué)生的思維引向深入。

二、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識

周衛(wèi)東老師認為：“高觀點視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該能看到知識內(nèi)在的結(jié)構(gòu)。學(xué)科之所以為學(xué)科，不是簡單概念與知識要點的堆砌，其中非常重要的原因就在于學(xué)科知識之間存在著不可割裂的內(nèi)在聯(lián)系?！睌?shù)學(xué)常常被稱為“結(jié)構(gòu)的科學(xué)”，是一種整體的、系統(tǒng)與意義的結(jié)構(gòu)。知識學(xué)習(xí)走向結(jié)構(gòu)化，才能更深刻地促進學(xué)生對知識的認知與理解。關(guān)聯(lián)主義學(xué)習(xí)理論認為，學(xué)習(xí)是對知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中某種關(guān)系和節(jié)點的重新建構(gòu)，是一個知識的連接過程。基于高觀點視角的數(shù)學(xué)教學(xué)，更應(yīng)注重知識間的關(guān)聯(lián)，將學(xué)生的思維引向整體化、結(jié)構(gòu)化的高度，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識。

（一）關(guān)聯(lián)在思維行進中

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維行進呈現(xiàn)一個螺旋上升、逐步遞進的過程。因此，在教學(xué)時，教師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生的思維行進過程中，做好生生互動的關(guān)聯(lián)、師生互動的關(guān)聯(lián)、學(xué)生與學(xué)材互動的關(guān)聯(lián)、學(xué)生與空間環(huán)境等互動的關(guān)聯(lián)。教師適時地引領(lǐng)和點撥，可以幫助學(xué)生掃清思維行進中的障礙，逐步建構(gòu)知識。周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，注重在學(xué)生思維行進中做好結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。

從圖2中可以看出，周衛(wèi)東老師順應(yīng)了學(xué)生思維發(fā)展的脈絡(luò)，遵循了學(xué)生“學(xué)”的邏輯，使各個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、相互關(guān)聯(lián)，串起了整個知識學(xué)習(xí)的體系，使之結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。

圖2 “平行四邊形面積”學(xué)習(xí)路徑結(jié)構(gòu)示意圖

（二）關(guān)聯(lián)在思維困頓處

學(xué)生在思維進階的節(jié)點上可能會出現(xiàn)困頓。教師在教學(xué)中，設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)時要預(yù)設(shè)到學(xué)生思維可能出現(xiàn)的困頓之處，通過引導(dǎo)，幫助學(xué)生加深對知識的理解，主動建構(gòu)完整的知識體系。

周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，出示了這樣一道題：

師：如圖3，這個平行四邊形的面積怎么算？

圖3

生：用4×6來計算，答案是24平方厘米。

師：想一想為什么用“4×6”，而不用“8×6”呢？

生：因為平行四邊形的面積公式是底×高，所以要用“4×6”。

師：8厘米也是底啊，為什么不能用“8×6”來計算呢？

生：因為6厘米不是8厘米上的高，計算時要找到對應(yīng)的高。

師：原來，計算平行四邊形面積時，要找到對應(yīng)的底和高來計算。

計算平行四邊形面積時，學(xué)生往往只記住“底×高”，而忽視了“對應(yīng)”這個關(guān)鍵要素，導(dǎo)致計算錯誤，形成認知錯位。周衛(wèi)東老師在學(xué)生學(xué)習(xí)的困頓之處，通過實際問題，巧妙地將“對應(yīng)”的底和高相乘的核心知識傳遞給學(xué)生，通過這樣的學(xué)習(xí)，真正將知識關(guān)聯(lián)互通，形成正確的認知結(jié)構(gòu)。

（三）關(guān)聯(lián)在思維進階時

“高觀點”視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅是引導(dǎo)學(xué)生將知識羅列堆砌，而且要將學(xué)生的思維引向更高的層次，建構(gòu)新的知識體系。因此，學(xué)習(xí)任務(wù)的編排設(shè)計需要關(guān)聯(lián)學(xué)生思維進階的節(jié)點，為學(xué)生思維的順利進階提供必要的支持與幫助。周衛(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，立于“高觀點”之下，不僅關(guān)注學(xué)生當(dāng)下知識的學(xué)習(xí)，還關(guān)注現(xiàn)在與未來知識之間的聯(lián)系。

在回溯課前出示的方法②時，周衛(wèi)東老師通過動畫演示的方法（如圖4），讓學(xué)生明白為什么不能用鄰邊相乘的方法來計算平行四邊形的面積。

圖4

從動態(tài)演示的過程可以看出，把平行四邊形拉直后，形成的長方形的面積比原來的圖形面積多了一塊。學(xué)生在動畫演示的過程中，進一步明確了，當(dāng)平行四邊形的底和周長不變時，隨著高的增大，面積越來越大，一直到轉(zhuǎn)化為一個長方形時，面積最大。這樣的思維進階過程，通過動態(tài)演示，自然而然地印刻在學(xué)生的腦海中，學(xué)生形成了對平行四邊形面積計算的完整清晰的認知結(jié)構(gòu)。

課行至此，思維進階并未停止，在高觀點視角下，周衛(wèi)東老師進一步引領(lǐng)學(xué)生思考，如果將平行四邊形的鄰邊的角度標出，隨著角的傾斜變化，高也在不斷變化，從而將初中時將要學(xué)習(xí)的平行四邊形的計算公式向?qū)W生滲透，即平行四邊形的面積等于兩組鄰邊的積乘以夾角的正弦值。

學(xué)習(xí)至此，用周衛(wèi)東老師的話來說：“此時，在學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，若隱若現(xiàn)留下的，是知識的全貌，是結(jié)構(gòu)的雛形，更是朝向未來知識世界的美好。”什么是好的數(shù)學(xué)課堂？好的數(shù)學(xué)課堂就是將學(xué)生的思維引向深遠，讓學(xué)生帶著疑問走進課堂、帶著收獲和新的疑問走出課堂，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)螺旋上升的學(xué)習(xí)場。高觀點視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，通過關(guān)聯(lián)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，將學(xué)生的思維引向更扎實、更高階的境界，從而讓學(xué)生主動建構(gòu)知識體系、完善認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

三、思想性包攝，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識

周衛(wèi)東老師在《試談高觀點視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》一文中指出：“高觀點視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該能看到知識深層的思想方法。學(xué)科思想是學(xué)科知識中的‘隱性內(nèi)容’，是學(xué)科專家提出的對學(xué)科發(fā)展和學(xué)科學(xué)習(xí)最具影響力的那些觀念和見解，是知識‘背后’的知識，是學(xué)科的精髓與靈魂?！敝苄l(wèi)東老師在執(zhí)教“平行四邊形的面積”一課時，將數(shù)學(xué)思想的滲透學(xué)習(xí)貫穿全課。

（一）由“個”到“類”，滲透歸納思想

上課伊始，周衛(wèi)東老師說過這樣一句話：“周老師更加關(guān)注你們說明時使用的數(shù)學(xué)方法?！痹谝龑?dǎo)學(xué)生探究平行四邊形的面積公式時，他先引導(dǎo)學(xué)生用“割補法”“數(shù)格子法”等方法去印證“一個”平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算，進而引導(dǎo)學(xué)生進一步印證“任意”平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算。在由“個”到“類”的印證過程中，向?qū)W生滲透了不完全歸納的思想。

（二）由“新”到“舊”，滲透轉(zhuǎn)化思想

周衛(wèi)東老師在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)過的平面圖形的面積計算方法，尤其是長方形的面積計算方法后，展示學(xué)生課前小研究中呈現(xiàn)的三種典型算法。學(xué)生在討論為什么方法③是對的時，想到了通過割補法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形。將“新知”轉(zhuǎn)化為“舊知”，從而順利推導(dǎo)出平行四邊形面積的計算公式。且在轉(zhuǎn)化過程中，立意于高觀點，周衛(wèi)東老師并未將學(xué)生的起點定位于實際操作，而是引導(dǎo)學(xué)生通過用“手”比畫、用“腦”想象，既滲透了轉(zhuǎn)化的思想，又提升了學(xué)生的空間想象能力。

（三）由“同”到“異”，滲透對應(yīng)思想

在學(xué)生探索出平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算后，周衛(wèi)東老師通過一道題，引發(fā)學(xué)生思考：為什么都是平行四邊形的底？為什么不能和給定的高相乘？從而引導(dǎo)學(xué)生思考“同”是底，卻“異”在高的不同上，因此，得出結(jié)論：計算平行四邊形面積時，必須用對應(yīng)的底乘對應(yīng)的高。在這樣辨析的過程中，滲透了對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。周衛(wèi)東老師在《高觀點、低結(jié)構(gòu)、中溫度——一種新的教學(xué)視角》一文中指出：“從數(shù)學(xué)教學(xué)角度看，一堂課新往往就新在思維過程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在學(xué)生參與活動的深度和廣度上。有思想深度的課，給學(xué)生留下長久的心靈激蕩和對知識的深度理解，以后即使具體的知識忘了，但數(shù)學(xué)地思考問題的思想方法卻將長久存在。”

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于高觀點的視角，可以將學(xué)生的思維引向更扎實、更高階的境界，從而讓學(xué)生主動建構(gòu)知識體系、完善認知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。