基于Matlab軟件和超星平臺(tái)的應(yīng)用型工科線性代數(shù)課程改革與實(shí)踐
——以蘭州工業(yè)學(xué)院為例

張?jiān)?祁麗娟,納仁花,王芳弟,汪海霞

(蘭州工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅 蘭州 730050)

1989年錢學(xué)森先生曾提出[1]：“工科的數(shù)學(xué)教學(xué)必須改革，數(shù)學(xué)課不是為了學(xué)生學(xué)會(huì)自己求解，而是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)理解電子計(jì)算機(jī)給出的答案?！?990年美國(guó)提出了利用新的計(jì)算技術(shù)進(jìn)行線性代數(shù)改革的建議[2]，其后實(shí)施了“利用軟件工具加強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)”的ATLAST計(jì)劃，Matlab成了美國(guó)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)必用的軟件。2009年由西安電子科技大學(xué)陳懷琛教授主持的“用 Matlab和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)課程”項(xiàng)目[3]，重點(diǎn)解決線性代數(shù)與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的實(shí)踐問題。針對(duì)新建應(yīng)用型本科院校學(xué)生的學(xué)情特點(diǎn),線性代數(shù)的課程特點(diǎn)及傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)狀況，2017年我們學(xué)習(xí)借鑒西安電子科技大學(xué)陳懷琛教授的做法，開展了基于Matalb 軟件和超星平臺(tái)的應(yīng)用型工科線性代數(shù)課程的改革與實(shí)踐。

1 線性代數(shù)課程教學(xué)改革的目標(biāo)及具體舉措

課程教學(xué)改革的總體目標(biāo)：在線性代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與手段、教學(xué)效果上，“突出應(yīng)用性、增強(qiáng)實(shí)踐性、體現(xiàn)現(xiàn)代化”。對(duì)標(biāo)學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)，重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容，沿著“掌握理論-操作軟件-應(yīng)用案例-實(shí)踐創(chuàng)新”四位一體的培養(yǎng)主線，側(cè)重應(yīng)用能力培養(yǎng)，體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，借助Matalb數(shù)學(xué)軟件，實(shí)現(xiàn)高效精準(zhǔn)計(jì)算，利用超星課程平臺(tái)豐富教學(xué)資源,延伸教學(xué)空間,完成學(xué)生學(xué)習(xí)過程精準(zhǔn)考核。圍繞改革目標(biāo)，課程組具體做了以下四方面的探索與實(shí)踐。

第一,對(duì)標(biāo)應(yīng)用型人才培養(yǎng)定位，重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容,增設(shè)綜合應(yīng)用實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐能力。課程教學(xué)內(nèi)容體系中,廣泛地聯(lián)系生活場(chǎng)景及其他相關(guān)學(xué)科，從學(xué)生熟悉和感興趣的問題出發(fā)，引出線性代數(shù)概念[4],突出知識(shí)的應(yīng)用背景實(shí)例。例如通過通訊網(wǎng)絡(luò)引出矩陣的概念，讓學(xué)生理解矩陣的主要作用是用來存儲(chǔ)信息的，而通過矩陣的運(yùn)算可以更加方便地處理相關(guān)信息；通過矩陣的特征值、特征向量來討論人口遷徙模型等。課程組開發(fā)了應(yīng)用逆矩陣知識(shí)的信息的加密、解密與破譯的實(shí)驗(yàn)[5]；應(yīng)用鄰接矩陣知識(shí)的航班可否到達(dá)城市判斷的實(shí)驗(yàn)；應(yīng)用線性相關(guān)性知識(shí)的混凝土的配比實(shí)驗(yàn)；應(yīng)用向量組線性方程組知識(shí)的化學(xué)反應(yīng)方程式配平實(shí)驗(yàn)；應(yīng)用矩陣方程知識(shí)的企業(yè)投入產(chǎn)出模型實(shí)驗(yàn)等。這些數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用實(shí)驗(yàn)增強(qiáng)了學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)知識(shí)和數(shù)學(xué)軟件的興趣及實(shí)踐創(chuàng)新能力。

第二，引入Matlab軟件，實(shí)現(xiàn)高階復(fù)雜計(jì)算問題的高效精準(zhǔn)求解。在教學(xué)組織上體現(xiàn)“機(jī)筆同講、先筆后機(jī)、機(jī)筆并重、考核機(jī)算”的原則，在教給學(xué)生手工計(jì)算方法的同時(shí)教給學(xué)生Matlab機(jī)算方法，低階問題學(xué)生可以手工求解，高階問題學(xué)生可以利用Matlab機(jī)算方法高效精準(zhǔn)求解，考試只要求學(xué)生機(jī)算完成。例如用det(A)命令，求矩陣A對(duì)應(yīng)行列式的值；inv(A)命令，求矩陣A的逆；rank(A)命令，求矩陣A的秩；eig(A)命令，求矩陣A的特征向量等；用Matlab編程求解線性方程組。

第三，搭建超星課程平臺(tái)，豐富教學(xué)資源,延伸教學(xué)空間,實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程精準(zhǔn)考核。課程組搭建了超星課程教學(xué)平臺(tái)，目前課程平臺(tái)已建成了包含微視頻、實(shí)驗(yàn)報(bào)告、電子習(xí)題等109個(gè)任務(wù)點(diǎn)的線上學(xué)習(xí)任務(wù)群，通過超星課程平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了觀看視頻、閱讀資料、課堂考勤、討論、作業(yè)提交、單元測(cè)試、線上實(shí)驗(yàn)、輔導(dǎo)答疑等教學(xué)環(huán)節(jié)，全程記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)痕跡，重視過程性評(píng)價(jià)，使得本課程的管理和運(yùn)行更加真實(shí)客觀、高效規(guī)范。

第四，改進(jìn)教學(xué)手段，精研教學(xué)方法，探索以學(xué)生為中心、以任務(wù)為驅(qū)動(dòng)、以問題為導(dǎo)向的線上線下的混合教學(xué)模式[6]。課前，學(xué)生通過觀看超星課程平臺(tái)上錄制“Matlab入門及編程初步”微視頻任務(wù)點(diǎn)完成軟件的入門自主學(xué)習(xí)，觀看“預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)”微視頻完成預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)任務(wù)；通過查閱資料、思考討論，完成超星平臺(tái)上教師布置的學(xué)習(xí)任務(wù)和問題進(jìn)行課前預(yù)習(xí)。課中，教師通過平臺(tái)手機(jī)端完成課堂考勤，選人答題，記錄學(xué)生課堂回答問題成績(jī)；在超星平臺(tái)上在線完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告填寫；教師課堂線下教學(xué)，教師作為引導(dǎo)者注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，檢查學(xué)生線上學(xué)習(xí)效果，探索翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式。課后學(xué)生可以通過超星課程平臺(tái)進(jìn)行知識(shí)回顧，整理復(fù)習(xí)，完成課后作業(yè)，教師在線進(jìn)行輔導(dǎo)答疑。通過實(shí)踐總結(jié)探索出了線上和線下相結(jié)合，理論和應(yīng)用相結(jié)合，講授和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，軟件求解和手工推演相結(jié)合的“四結(jié)合”教學(xué)模式。

例如在《線性方程組》這一章的教學(xué)過程中，課前在超星課程平臺(tái)布置“二元線性方程組的幾何意義是平面上兩直線的公共點(diǎn)”“三元線性方程組的幾何意義是空間上三個(gè)平面的公共點(diǎn)”的閱讀資料，并布置4項(xiàng)任務(wù)點(diǎn)，分別是“任務(wù)一：可以用線性方程組求解的一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)際問題；任務(wù)二：3個(gè)不同情況解的二元線性方程組，并結(jié)合閱讀資料畫出線性方程組的圖像；任務(wù)三：制作空間中三個(gè)平面的位置關(guān)系的模型；任務(wù)四：結(jié)合之前所學(xué)知識(shí)，利用Matlab求出三種不同情況解的增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形，并求出系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩”，為課堂教學(xué)做好準(zhǔn)備。

在課堂教學(xué)中，是以4個(gè)問題為導(dǎo)向，即“問題一：為什么學(xué)習(xí)線性方程組？問題二：線性方程組有沒有解？有多少解？問題三：如何判別線性方程組解的情況？能否借助 MATLAB 實(shí)現(xiàn)？問題四：如果線性方程組的解不唯一時(shí)，如何求出線性方程組的所有解”？引導(dǎo)學(xué)生一步步自主探索線性方程組的解。首先通過任務(wù)一的分析求解——回答問題一；第二，通過任務(wù)二和任務(wù)三引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出線性方程組的解有三種情況，無解、唯一解和無窮多解——回答問題二；第三，通過任務(wù)四的計(jì)算和觀察——回答問題三；最后，通過任務(wù)四中線性方程組的具體求解，總結(jié)方法步驟——回答問題四。在教學(xué)中踐行以學(xué)生為中心、以任務(wù)為驅(qū)動(dòng)、以問題為導(dǎo)向的教學(xué)理念。

2 線性代數(shù)課程教學(xué)改革的效果

2.1 學(xué)生考試成績(jī)顯著提升

1)教改班與傳統(tǒng)班學(xué)生考試成績(jī)比較。

對(duì)歷年來教改班與傳統(tǒng)班期末考試平均成績(jī)做橫向?qū)Ρ确治?見圖1)，教改班的考試成績(jī)趨于正態(tài)分布，及格率高于傳統(tǒng)班13.96%，平均分高于傳統(tǒng)班6.36分。從考試成績(jī)來看教學(xué)改革取得了較好的效果。其中教改班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是自2016—2017學(xué)年第二學(xué)期開展教學(xué)改革以來6個(gè)學(xué)期，41個(gè)教學(xué)班，共計(jì)1 607名學(xué)生的期末考試平均成績(jī)；傳統(tǒng)班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是選自相應(yīng)6個(gè)學(xué)期，41個(gè)教學(xué)班，共計(jì)1 647名學(xué)生的期末考試平均成績(jī)。

圖1 教改班與傳統(tǒng)班期末考試綜合成績(jī)對(duì)比

2)近三學(xué)期教改班考試成績(jī)比較。

對(duì)教改班近三學(xué)期末考試綜合成績(jī)做縱向?qū)Ρ确治?見圖2)，三學(xué)期教改班考試成績(jī)均呈正態(tài)分布，成績(jī)優(yōu)秀率持續(xù)提升，不及格率持續(xù)下降。2020—2021學(xué)年春季學(xué)期比2018—2019學(xué)年春季學(xué)期成績(jī)優(yōu)秀率提高了3.88%，不及格率下降了7.07%，說明教學(xué)改革效果持續(xù)提升。其中教改班的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是近三學(xué)期24個(gè)教改班共計(jì)961名學(xué)生的期末考試綜合成績(jī)。

圖2 教改班近三學(xué)期期末考試綜合成績(jī)對(duì)比

2.2 學(xué)生對(duì)教學(xué)改革效果滿意度高

為全面了解教改班同學(xué)對(duì)“基于Matlab的線性代數(shù)”課程教學(xué)改革的認(rèn)識(shí)、態(tài)度及取得的成效，以便進(jìn)一步為同學(xué)提供良好的教學(xué)服務(wù)。2021年9月課程組采取網(wǎng)絡(luò)問卷形式，以不記名方式對(duì)教改班同學(xué)進(jìn)行“基于Matlab的線性代數(shù)”教學(xué)改革情況滿意度問卷調(diào)查。調(diào)查對(duì)象覆蓋了全校教改班同學(xué)，調(diào)查共收到有效問卷348份。由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，本次調(diào)查結(jié)果比較全面地反映了教改班同學(xué)對(duì)“基于Matlab的線性代數(shù)”課程教改效果的滿意度，教改班同學(xué)對(duì)該課程教改效果總體滿意度達(dá)到93.96%，說明該課程教改整體質(zhì)量較高，學(xué)生較滿意。學(xué)生對(duì)該課程教學(xué)改革的支持率為98.85%，學(xué)生對(duì)該課程的實(shí)驗(yàn)課形式滿意率為94.54%，學(xué)生對(duì)該課程的考核方式滿意率為93.97%(見圖3)。

圖3 學(xué)生對(duì)該課程教改效果的滿意度

2.3 課程組教師所指導(dǎo)學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)不斷提高

2017—2020年，課題組教師指導(dǎo)學(xué)生參加的近4屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，取得了省級(jí)特等獎(jiǎng)2項(xiàng)，省級(jí)一等獎(jiǎng)1項(xiàng)，省級(jí)二等獎(jiǎng)3項(xiàng)的好成績(jī)，說明通過該課程的改革與實(shí)踐，教師和學(xué)生的Matlab編程和應(yīng)用實(shí)踐能力均得到了提升。

2.4 課程平臺(tái)資源不斷豐富

五年來，通過對(duì)41個(gè)班級(jí)1 607余名學(xué)生的教學(xué)實(shí)踐，已建成了較為豐富的課程平臺(tái)資源。建成76個(gè)教學(xué)微視頻、1 009道電子習(xí)題、109個(gè)任務(wù)點(diǎn)的線上學(xué)習(xí)任務(wù)群等。隨著教學(xué)改革的逐步深入，教學(xué)內(nèi)容不斷完善，教學(xué)方法不斷優(yōu)化，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情不斷高漲(截至目前，本課程超星課程平臺(tái)瀏覽量已達(dá)435.69萬余次)，教學(xué)改革效果逐步凸顯。

3 線性代數(shù)課程改革的設(shè)想及推廣應(yīng)用前景

盡管蘭州工業(yè)學(xué)院線性代數(shù)課程教學(xué)改革效果較為顯著，但教學(xué)改革是長(zhǎng)期探索和研究的過程，課程建設(shè)永遠(yuǎn)在路上。本著教學(xué)活動(dòng)為培養(yǎng)目標(biāo)服務(wù)的原則，今后我們將嘗試做到以下幾點(diǎn)：一是補(bǔ)充更新豐富課程實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、擴(kuò)充題庫(kù)、更新視頻，豐富課程平臺(tái)教學(xué)資源。二是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)一步提煉思政元素，將其融入課程組編寫的《基于Matlab的應(yīng)用線性代數(shù)》教材中，融入教學(xué)過程中，進(jìn)一步發(fā)揮好課程育人的功能。三是在超星課程平臺(tái)中給學(xué)生精選推送考研相關(guān)內(nèi)容，彌補(bǔ)課程內(nèi)容體系對(duì)線性代數(shù)理論性的削弱，為準(zhǔn)備考研和深入學(xué)習(xí)的學(xué)生進(jìn)行知識(shí)補(bǔ)充。

基于Matlab軟件和超星平臺(tái)的應(yīng)用型工科線性代數(shù)課程改革與實(shí)踐，就線性代數(shù)課程而言可向應(yīng)用型本科院校、高職高專院校推廣；其教學(xué)模式可向應(yīng)用軟件類課程推廣，如在我校已在運(yùn)籌學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中進(jìn)行了推廣應(yīng)用，并取得較好的教學(xué)效果。

4 結(jié)語

線性代數(shù)課程的教學(xué)改革，遵循“理論學(xué)習(xí)必須以應(yīng)用為目的”的教學(xué)指導(dǎo)思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。同時(shí)選取有專業(yè)背景的問題進(jìn)行線性代數(shù)知識(shí)應(yīng)用訓(xùn)練，培養(yǎng)理工科學(xué)生分析問題與解決問題的能力以及計(jì)算機(jī)程序開發(fā)和數(shù)據(jù)分析能力，切實(shí)提高線性代數(shù)教學(xué)效果和人才培養(yǎng)成效，使更多的學(xué)生能在新模式教學(xué)中受益，亦希望我們的改革模式能夠?yàn)閼?yīng)用型院校線性代數(shù)教學(xué)改革提供參考借鑒。