黃麗瓊,王園園
(1.商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院,陜西 商洛 726000;2.商洛學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院,陜西 商洛 726000)
輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題是當(dāng)前切換系統(tǒng)輸出控制的關(guān)鍵性問(wèn)題之一,一般通過(guò)設(shè)計(jì)反饋控制器消除外界干擾。然而,由于切換系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng),容易受到外界環(huán)境影響,存在系統(tǒng)穩(wěn)定性差的問(wèn)題。因此,離散切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性與反饋問(wèn)題是切換系統(tǒng)理論研究的重要內(nèi)容,除了強(qiáng)線性分析方法之外,在離散切換系統(tǒng)中,漸近式子系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行仍是一個(gè)難點(diǎn)。為此,需控制離散線性切換系統(tǒng)。
文獻(xiàn)[1]提出了基于平均駐留時(shí)間的反饋控制方法,該方法通過(guò)控制切換輸出反饋控制器和對(duì)切控制器控制離散線性切換系統(tǒng),該系統(tǒng)在每次切換時(shí),都要執(zhí)行復(fù)位操作,以保證每一個(gè)切換時(shí)刻的狀態(tài)都能實(shí)時(shí)地控制系統(tǒng)輸出結(jié)果,解決了切換系統(tǒng)輸出的調(diào)節(jié)問(wèn)題。文獻(xiàn)[2]提出的基于切換原理的反饋控制方法,把刷新時(shí)間間隔作為延時(shí)變量,并將其轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)不同子系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)切換,保證輸出結(jié)果趨于穩(wěn)定。上述2種方法受到外界環(huán)境干擾,導(dǎo)致控制效果不佳,因此,提出了干擾輸入影響下離散線性切換系統(tǒng)的反饋控制方法。
離散線性切換系統(tǒng)運(yùn)行時(shí),系統(tǒng)的控制層和輸入層決定了系統(tǒng)輸出結(jié)果,并且在該過(guò)程中,各個(gè)子系統(tǒng)在同一時(shí)間內(nèi)只能激活1個(gè)子系統(tǒng)。因此,子系統(tǒng)的輸入信號(hào)切換性能是決定整個(gè)系統(tǒng)的關(guān)鍵因素[3]。設(shè)定矩陣為對(duì)稱正定矩陣,描述離散線性切換系統(tǒng),即
x(k+1)=Aλ(k)x(k)+Bλ(k)u(k)+ω(k)
(1)
x(k)為離散線性切換系統(tǒng)輸入狀態(tài);u(k)為離散線性切換系統(tǒng)控制輸入;ω(k)為干擾輸入;Aλ(k)、Bλ(k)均為常數(shù)矩陣;λ(k)為依賴于離散線性切換系統(tǒng)輸入狀態(tài)x(k)的切換信號(hào)[4-5]。由此構(gòu)建的離散線性切換系統(tǒng)模型如圖1所示。
圖1 離散線性切換系統(tǒng)
由圖1可知,該系統(tǒng)的切換穩(wěn)定性不僅受到激活子系統(tǒng)影響,還受到切換規(guī)則的限制[6]。在整個(gè)信號(hào)切換過(guò)程中,一旦選擇的切換規(guī)則不當(dāng),就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)切換系統(tǒng)不穩(wěn)定[7]。
基于上述系統(tǒng),設(shè)定2種情況:
a.離散線性切換信號(hào)是唯一的。
如果外部干擾是存在的,則干擾信號(hào)ω(k)輸入需滿足
ω(k)Tω(k)≤Z
(2)
其中,Z≥0為常數(shù)。
b.離散線性切換信號(hào)是任意的。
如果外部干擾是不存在的,則離散線性切換系統(tǒng)可表示為
x(k+1)=Aλ(k)x(k)+Bλ(k)u(k)
(3)
充分考慮上述2種情況,設(shè)計(jì)線性切換狀態(tài)下的反饋控制器,即
(4)
分析所有可能影響系統(tǒng)的切換序列,判斷其穩(wěn)定條件,這對(duì)系統(tǒng)的反饋控制具有重要影響[8]。
在干擾輸入影響下的離散線性切換系統(tǒng)是一個(gè)動(dòng)態(tài)切換過(guò)程,被控對(duì)象描述為
(5)
Cλ為常數(shù)矩陣;Sc為被控對(duì)象。假設(shè)被控對(duì)象在kT+tik時(shí)延下采集到的輸入信號(hào)為u(kT+tik),i=1,2,…,p,經(jīng)過(guò)零階保持器處理后,能夠產(chǎn)生一個(gè)連續(xù)信號(hào)u(t),即為被控對(duì)象的輸入信號(hào)[9]。零階保持器在信號(hào)處理過(guò)程中,能夠保持刷新時(shí)間不變[10]。
結(jié)合離散線性切換系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用情況,簡(jiǎn)化信號(hào)非統(tǒng)一輸入過(guò)程,詳細(xì)內(nèi)容為:
a.實(shí)際上在不均勻輸入過(guò)程中,輸入信號(hào)一般具有時(shí)滯性,當(dāng)前輸入信號(hào)與過(guò)去的歷史信號(hào)是相關(guān)的,即
u(kT+tik)=u(kT-ZT)
(6)
為了計(jì)算方便,Z取整數(shù);T為輸入周期。
b.產(chǎn)生的連續(xù)信號(hào),可表示為
(7)
其中,τk為刷新時(shí)間,也是時(shí)延。
c.輸入周期是由N個(gè)最小周期T0組成的,可表示為
T0=T/N
(8)
由式(8)可知,零階保持器HΓ存在固有的刷新周期。
上述3點(diǎn)在實(shí)際不均勻輸入系統(tǒng)中是常見(jiàn)的,如離散線性切換系統(tǒng)的延遲、切換時(shí)的信號(hào)交換延遲等[11]。
通過(guò)描述輸出反饋的問(wèn)題可知,時(shí)延變化范圍為0≤τk≤T,在任意切換時(shí)間內(nèi),都存在2個(gè)控制量,分別為u(kT)和u(kT-T),將這2個(gè)控制量同時(shí)作用于被控對(duì)象,由此得到的控制信號(hào)時(shí)序,如圖2所示。
圖2 控制信號(hào)時(shí)序
由圖2可知,控制信號(hào)u(k)經(jīng)過(guò)時(shí)延τk=t1-kT后,到達(dá)零階保持器端,零階保持器在kT+3T0時(shí)間范圍內(nèi)讀取輸入值,將u(k-1)更新為u(k)[12]。
針對(duì)任意k>0的輸入值,將u(kT)和u(kT-T)這2個(gè)控制量同時(shí)作用于被控對(duì)象,作用的時(shí)間分別為n0(k)T0和n1(k)T0,則有
(9)
n1(k)值與時(shí)延大小有關(guān)。對(duì)式(9)進(jìn)行離散化處理時(shí),應(yīng)充分考慮時(shí)延大小,離散線性切換模式的2個(gè)輸入矩陣與n1(k)和n0(k)大小有關(guān)[13]。當(dāng)離散線性切換模式具有多變性時(shí),說(shuō)明n1(k)和n0(k)的值不一致;當(dāng)離散線性切換模式具有唯一性時(shí),說(shuō)明n1(k)和n0(k)的值一致[14]。因此,式(9)可視為子系統(tǒng)數(shù)目有限的切換系統(tǒng)[15]。
2.3.1 降階控制律設(shè)計(jì)
為了使離散線性切換系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,設(shè)計(jì)了降階控制律,使其具有加權(quán)增益性能。假設(shè)α為系統(tǒng)的切換信號(hào),[t1,t2]為時(shí)間間隔,Nα(t1,t2)為切換次數(shù)。
對(duì)于任意條件N0≥1,τa>0,則有
(10)
τa為平均駐留時(shí)間;N0為活動(dòng)界限。
2.3.2 有限時(shí)間鎮(zhèn)定反饋控制
通過(guò)構(gòu)造一階輸出反饋律,設(shè)計(jì)干擾輸入影響下的有限時(shí)間鎮(zhèn)定反饋控制方案。在離散線性切換系統(tǒng)切換過(guò)程中,由于離散線性切換系統(tǒng)受到外部環(huán)境的干擾,會(huì)產(chǎn)生延遲和丟包現(xiàn)象。
以下是通過(guò)緩沖器的信號(hào)與信號(hào)是否傳輸成功之間的關(guān)系,即
(11)
(12)
假定對(duì)切換系統(tǒng)作出如下假設(shè):
a.時(shí)延小于系統(tǒng)的切換周期。
b.以時(shí)間驅(qū)動(dòng)方式,保持切換周期一致。
c.在切換過(guò)程中,信號(hào)可能隨時(shí)出現(xiàn)丟失情況,且信號(hào)丟失情況一般存在上界。
在假設(shè)條件下,若存在對(duì)稱矩陣,則S>0;如果存在變量代換矩陣Y,則實(shí)數(shù)γ≥1,則有
(13)
因此,狀態(tài)反饋控制器可以用離散線性切換系統(tǒng)來(lái)表示為
u′(k)=YS-1x(k)
(14)
在式(14)下,離散線性切換系統(tǒng)處于有限時(shí)間穩(wěn)定狀態(tài)。
設(shè)考慮被控對(duì)象為
(15)
采樣周期為10 ms,將采樣周期均等分為10份,每份為1 ms,控制器可表示為
(16)
假設(shè)控制器工作的最大時(shí)延為4 ms,輸入5種輸入信號(hào)時(shí)延的取值情況,即τ(k)∈{0,1,2,3,4},也說(shuō)明離散線性切換系統(tǒng)存在5個(gè)子系統(tǒng)。用Sci(i=0,1,2,3,4)表示這5個(gè)子系統(tǒng),對(duì)應(yīng)的輸入矩陣都是由n1(k)和n0(k)決定的,相應(yīng)的取值依次為[0 10],[1 9],[2 8],[3 7],[4 6]。
當(dāng)時(shí)延為0時(shí),Sc0為閉環(huán)采樣系統(tǒng)模型;當(dāng)時(shí)延發(fā)生改變時(shí),Sc1為閉環(huán)采樣系統(tǒng)模型。結(jié)合LMI的可行解問(wèn)題解算器feasp,確定對(duì)稱矩陣的可行解,即
上述得到的解滿足輸入條件,即指數(shù)衰減率滿足最小解,因此,輸出反饋控制器能夠使離散線性切換系統(tǒng)保持穩(wěn)定,仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。
圖3 系統(tǒng)x1(k+1)輸出
圖4 系統(tǒng)x2(k+1)輸出
在圖3和圖4中,模擬結(jié)果顯示,系統(tǒng)明顯收斂到0,且是逐漸穩(wěn)定的,由此也說(shuō)明在滿足切換條件下,離散線性切換系統(tǒng)輸出指數(shù)穩(wěn)定。
為了證明所研究方法的有效性,在最大時(shí)延6 ms情況下,輸入7種輸入信號(hào)時(shí)延的取值情況,τ(k)∈{0,1,2,3,4,5,6},也說(shuō)明離散線性切換系統(tǒng)存在7個(gè)子系統(tǒng),與此對(duì)應(yīng)的x1(k)、x2(k)響應(yīng)曲線,如圖5所示。
圖5 最大時(shí)延上界為6 ms的控制情況
由圖5可知,x1(k)、x2(k)輸出指數(shù)呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系,在時(shí)間為0~100 s時(shí),x1(k)輸出指數(shù)變化范圍為0.10~0,x2(k)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10~0。在時(shí)間為100~300 s時(shí),x1(k)、x2(k)輸出指數(shù)一致,均為0,趨于穩(wěn)定狀態(tài)。
基于此,分別使用平均駐留時(shí)間的反饋控制方法、基于切換原理的反饋控制方法和基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制研究方法,對(duì)比分析x1(k+1)、x2(k+1)響應(yīng)曲線變化情況,如圖6所示。
圖6 3種方法x1(k+1)、x2(k+1)響應(yīng)曲線變化對(duì)比
由圖6可知,使用平均駐留時(shí)間的反饋控制方法,在時(shí)間為0~300 s時(shí),x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10~-0.02,x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10~0.02,相交點(diǎn)為100 s,此時(shí)x1(k+1)、x2(k+1)輸出指數(shù)均為0;使用基于切換原理的反饋控制方法,在時(shí)間0~300 s時(shí),x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10~0,x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10~0,相交點(diǎn)為150 s,此時(shí)x1(k+1)、x2(k+1)輸出指數(shù)均為0;使用基于輸出反饋的魯棒鎮(zhèn)定控制方法,在時(shí)間為0~300 s時(shí),x1(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為0.10~0,x2(k+1)輸出指數(shù)變化范圍為-0.10~0,相交點(diǎn)為100 s,與實(shí)際最大時(shí)延上界為6 ms的控制情況一致,說(shuō)明使用該方法反饋控制效果較好。
本文提出了一種用于求解具有平均停留時(shí)間的切換離散線性內(nèi)容的降階控制律,將控制問(wèn)題引入到綜合控制問(wèn)題中,并在統(tǒng)一的框架下建立了具有保證穩(wěn)定性和最佳加權(quán)增益性能的降階控制器。