基于響應面法的爬壁機器人多目標優(yōu)化設(shè)計

仲昭杰，劉芳華，孫天圣，狄 澄，吳萬毅

(江蘇科技大學機械工程學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100)

0 引言

船體清潔機器人的工作是在近似垂面的船體壁面上清除附著物，其吸附功能作為主要功能，值得重點研究。通常根據(jù)實際負載需要，選擇足式、輪式和履帶式作為行走機構(gòu)，而吸附機構(gòu)有負壓吸附、永磁吸附、電磁吸附和推力吸附[1]。機器人在經(jīng)過焊縫時由于受到自身載荷與外界因素的原因，機身會發(fā)生一定的形變量，故對機器人機身進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化是需要迫切解決的問題。文獻[2]提出一種基于Box-Behnken響應面法與有限元相結(jié)合的輕量化設(shè)計方法。文獻[3]以質(zhì)量最小和扭轉(zhuǎn)剛度為優(yōu)化目標函數(shù)，經(jīng)過多目標優(yōu)化后對比白車身的基礎(chǔ)性能，使其達到輕量化目的。文獻[4]基于結(jié)構(gòu)應力和質(zhì)量響應面模型，對結(jié)構(gòu)質(zhì)量進行求解，并通過數(shù)值仿真和實驗測試對優(yōu)化方案進行可靠性分析。文獻[5]提出一種基于組合加權(quán)法設(shè)定子目標權(quán)重系數(shù)，通過拓撲優(yōu)化使材料更加合理分布。文獻[6]針對結(jié)構(gòu)中存在的不確定性，提出了具有區(qū)間不確定性參數(shù)識別的分步實施方法，通過質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)數(shù)值算例與鏡架系統(tǒng)實例，驗證方法的可行性與可靠性。文獻[7]使用DOE和響應面法技術(shù)對飛機機翼進行優(yōu)化設(shè)計，減少機翼應力和結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量。文獻[8]基于響應面法得到結(jié)構(gòu)變量和性能指標，計算出螺旋分離器最佳點的最大分離效率。

本文以爬壁機器人機身為研究對象，將機器人機身經(jīng)過焊縫時的靜態(tài)性能作為優(yōu)化目標，在參數(shù)相關(guān)性與響應面分析的基礎(chǔ)上，采用多目標遺傳算法優(yōu)化[9-10]，計算量小，效率高，滿足提高機器人結(jié)構(gòu)性能的要求。

1 爬壁機器人機身靜態(tài)特性有限元分析

1.1 機身有限元模型的建立

工作過程中，爬壁機器人的模型材料對性能產(chǎn)生較大影響，為提高機身機械性能，材料選用質(zhì)量輕、耐腐蝕、強度高的常用鋁合金6061型號，其材料力學性能如下：密度為2 700 kg/m2，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.33，屈服強度為275 MPa。

采用SolidWorks軟件建立機身三維模型，主要由底盤和側(cè)擋板組成，機身部分安裝元件，同時作為承載部分承受推進器、清洗裝置等部分的重量，通過螺栓與側(cè)擋板連接。由于螺栓、圓角、倒角和孔等特征對機身的靜態(tài)特性影響較小，故對模型進行簡化，并通過設(shè)計變量參數(shù)化直接輸出到Workbench中，可避免參數(shù)傳遞發(fā)生錯誤。對機身進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格大小為4。

1.2 有限元結(jié)果分析

機器人在爬行過程中遇到焊縫時，此時機器人履帶狀態(tài)為一側(cè)不動，將其設(shè)置為固定約束，另一側(cè)受到1個向上的支持力，載荷設(shè)置為20 N，同時機身的底盤受到元器件的所產(chǎn)生的重力，載荷設(shè)置為50 N。在經(jīng)過焊縫時，受到支持力載荷的一側(cè)發(fā)生較大的形變，位移形變最大值為0.63 mm；側(cè)擋板鏤空部分與底盤中間都有較大的應力產(chǎn)生，最大值為7.91 MPa。

2 機身響應面建模

2.1 DOE試驗設(shè)計

試驗設(shè)計的目的就是通過可調(diào)控因素來達到控制指標的目的。拉丁超立方抽樣屬于蒙特卡洛模擬法的一種，通過改進采樣策略做到以較小的采樣規(guī)模獲得較高的采樣精度，減少了迭代次數(shù)。本文提出一種基于參數(shù)敏感性篩選與拉丁超立方試驗相結(jié)合的試驗設(shè)計方法，提前對變量進行篩選。根據(jù)變量的敏感度高低進行不同水平的分層拉丁立方抽樣，可以剔除參數(shù)中對于響應面目標影響較小的參數(shù)，以減少響應面構(gòu)建或者直接優(yōu)化過程中的計算量。自定義初始變量如表1所示。

表1 自定義初始變量

L1為底盤的寬度;L2為底盤的長度;L3、L4、D1分別為側(cè)擋板中心圓距離、大小以及拉伸厚度，參數(shù)變化取值范圍為±10%。

靈敏度的數(shù)值反映設(shè)計變量對響應性能的影響，靈敏函數(shù)為

(1)

s為試驗目標uj對設(shè)計變量xi的敏感度系數(shù)。

假設(shè)有高低敏感度變量(m維)的水平數(shù)(P)和樣本數(shù)目K(P≤K)。對于其余n-m維變量，劃分為K個區(qū)間，在每個區(qū)間進行等概率抽樣，抽樣概率為1/K。為確定各區(qū)間內(nèi)樣本點數(shù)的具體位置，在[0,1]內(nèi)產(chǎn)生隨機數(shù)Ui(i=1,2,…,K)，與第K個區(qū)間對應的隨機數(shù)UK為

(2)

相關(guān)性分析是指對2個或多個具備相關(guān)性的變量進行分析，從而衡量2個變量因素之間的密切關(guān)系。在參數(shù)相關(guān)性分析中，采用Spearman分布，過濾值為0.5，平均值為0.01，標準偏差為0.02，抽取40個樣本點進行參數(shù)敏感性分析。如表2所示，可以得到底盤的寬度L1對最大位移變形T1影響較大；側(cè)擋板中心圓大小L4對機身質(zhì)量M影響較大；側(cè)擋板拉伸厚度D1對等效應力T2影響較大。篩選出參數(shù)L1、L4、D1作為設(shè)計變量進行目標優(yōu)化，這3個參數(shù)對機身的靜態(tài)性能提升相對較大，或?qū)p量化設(shè)計影響較大。其中，L1上下限分別為528 mm、432 mm；L2上下限分別為66 mm 、54 mm；D1上下限分別為11 mm、9 mm。

表2 參數(shù)相關(guān)性表

試驗設(shè)計方法為一種基于參數(shù)敏感性篩選與拉丁超立方試驗相結(jié)合的采樣方法，產(chǎn)生樣本點為15個，如表3所示，相比較直接采用拉丁超立方試驗抽取的100個樣本點，大大減少了計算量。

表3 拉丁超立方試驗設(shè)計數(shù)據(jù)

2.2 響應面模型的構(gòu)建

響應面優(yōu)化法考慮試驗隨機誤差，利用合理的試驗設(shè)計方法通過試驗得到一定數(shù)據(jù)，通過采用多項式回歸方程來擬合因素與響應值之間的函數(shù)關(guān)系，通過對回歸方程的分析來尋求最優(yōu)工藝參數(shù)。二次響應面的回歸方程為

(3)

β為二階多項式響應面的擬合系數(shù)；xj、xj為設(shè)計變量；ε為誤差項；n為設(shè)計變量個數(shù)。

通過對試驗設(shè)計矩陣數(shù)據(jù)的多元回歸分析，最終得到了擬合曲線。如圖1所示，給出了基于樣本空間設(shè)計點的2階多項式響應面擬合曲線圖，通過曲線可以看出，不同目標變量的響應面預測值隨設(shè)計點的變化呈斜率為1的線性變化，3個優(yōu)化目標中，最大等效應力的實際值偏離預測值有一定偏差，而質(zhì)量與最大位移變形基本上與預測值符合。

圖1 響應面模型擬合度曲線

采用標準二階響應面建模，通過Central Composite Design中心組合設(shè)計試驗法建立響應面模型。響應面模型如圖2所示，其中， 圖2a為底盤寬度、側(cè)擋板中心圓大小與機身質(zhì)量之間的響應模型，可以看出質(zhì)量隨著底盤寬度的增加而增大，而隨著中心圓直徑變大，質(zhì)量則逐漸變?。粓D2b為底盤寬度、側(cè)擋板拉伸厚度與位移變形之間的響應模型，可以看出隨著底盤寬度增大而位移變形減?。粓D2c側(cè)擋板中心圓大小、側(cè)擋板拉伸厚度與等效應力之間的響應模型，可以看出在中心圓直徑大小在55～60 mm之間，等效應力隨中心圓直徑增大無明顯變化，維持在7.5 MPa左右。

圖2 響應面模型

2.3 響應面質(zhì)量評價

選擇標準二階響應面構(gòu)建，擬合度是指根據(jù)15組樣本點所得到的標準二階響應面表達式是否滿足系統(tǒng)的評判標準，擬合精度只是代表響應面的樣本點表達式的滿足情況，并非是指所建立的響應面模型是符合真實的設(shè)計變量與響應目標之間的關(guān)系。

(4)

(5)

(6)

表4 質(zhì)量評價

3 爬壁機器人機身優(yōu)化設(shè)計

3.1 多目標優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型

目前，對機器人實現(xiàn)輕量化設(shè)計主要通過采用新型材料減小質(zhì)量，使最大位移變形最小和最大應力承受力最大，結(jié)構(gòu)優(yōu)化包括尺寸、形狀優(yōu)化，目標函數(shù)、狀態(tài)變量和設(shè)計變量都是預定義好的。則多目標優(yōu)化問題可描述為：設(shè)b1,b2,…,bs為設(shè)計變量，則模型的總重量M、最大位移變形T1、最大應力T2均為b1,b2,…,bs的函數(shù)。

目標函數(shù)為

F(b1,b2,…,bs)

(7)

F為關(guān)于設(shè)計變量b1,b2,…,bs的誤差泛函。

總重量約束為

(8)

最大位移變形約束為

(9)

最大應力約束為

(10)

變量選值范圍為

(11)

F為目標函數(shù)，由s個單目標函數(shù)組成；εi為設(shè)計變量上下限差值的絕對值。

在進行優(yōu)化時，系統(tǒng)將所建立的響應面表達式傳遞到優(yōu)化模型當中，采用MOGA多目標遺傳優(yōu)化算法，即NSGA-Ⅱ，第二代非基因支配策略的遺傳算法，該方法需要計算的樣本數(shù)較少，且通過分析計算可得到Pareto最優(yōu)解可行域。初始種群生成3 000個樣本，每次迭代600個樣本，最大允許遺傳代數(shù)為20代，其中變異系數(shù)為0.01，交叉系數(shù)為0.98。最大允許Pareto比例設(shè)置為60%，收斂穩(wěn)定性設(shè)置為2%。通過多目標遺傳算法與帕累托法進行計算后，獲取3個Pareto最優(yōu)解，如表5所示。

表5 Pareto最優(yōu)解

將強量化作為首要優(yōu)化目標，3組候選點中選擇第1組，優(yōu)化后質(zhì)量大小為9.51 kg，最大變形量為0.53 mm，最大應力為6.55 MPa。由于側(cè)擋板中心圓大小與拉伸厚度均變小，所以在保證輕量化與最大位移變形較小的情況下，使等效應力變小，屬于正常現(xiàn)象。

3.2 模態(tài)分析

爬壁機器人在船面上行駛經(jīng)過焊縫時由于受到船面不平整產(chǎn)生的激勵，履帶一側(cè)受到向上的支持力，致使整個機身產(chǎn)生振動，若是機器人本身產(chǎn)生的固有頻率接近船面激勵頻率，則會發(fā)生共振現(xiàn)象，長期這樣會發(fā)生安全隱患，故要求機身低階模態(tài)頻率必須高于或低于船面激勵頻率。

這里將整體機身看作為簡支梁，利用模態(tài)分析經(jīng)驗方程得

(12)

將其作為模態(tài)方程的解，導出振型方程及固有頻率，即

(13)

聯(lián)立得到底盤的固有頻率為

(14)

設(shè)置為零約束，由于前6階頻率近似趨近0，選擇第7階與第8階模態(tài)振型分析，得到模態(tài)振型如圖3所示。通過模態(tài)分析可知，圖3a與圖3c第7階模態(tài)為扭轉(zhuǎn)狀態(tài)，機身兩側(cè)沿Z軸扭轉(zhuǎn)，底盤中間部分剛度較強，振型表現(xiàn)較弱，而側(cè)擋板兩端振型較為明顯，優(yōu)化前固有頻率為21.48 Hz，優(yōu)化后固有頻率為26.32 Hz；圖3b與圖3d第8階模態(tài)為彎曲狀態(tài)，沿XOY平面彎曲，側(cè)擋板與底盤接觸部分剛度較小，振型表現(xiàn)較為明顯，優(yōu)化前固有頻率為35.48 Hz，優(yōu)化后固有頻率為40.86 Hz。即扭轉(zhuǎn)模態(tài)固有頻率增大22%，彎曲模態(tài)固有頻率增大15%，靜態(tài)性能得到明顯改善。

圖3 機身第7階、第8階模態(tài)振型

3.3 優(yōu)化前后性能對比

經(jīng)過設(shè)計變量參數(shù)相關(guān)性分析，從5個設(shè)計變量篩選出3個靈敏度較高的參數(shù)，說明側(cè)擋板的形狀與厚度對機器人在經(jīng)過焊縫時的基礎(chǔ)性能影響較小。經(jīng)過多目標優(yōu)化后，底盤寬度增加，側(cè)擋板的參數(shù)都是相對減小，優(yōu)化結(jié)果為機身質(zhì)量減少1.7 kg，最大位移變形減小0.1 mm，最大等效應力減少1.36 MPa。如表6所示，總的來說，機身的基礎(chǔ)性能的變化比例控制在較小的誤差內(nèi)，說明即使不改變材料的前提下，也可以實現(xiàn)機器人的輕量化與結(jié)構(gòu)性能優(yōu)化。

表6 優(yōu)化結(jié)果對比

4 結(jié)束語

a.本文提出一種基于靈敏度分析篩選的拉丁超立方試驗的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，通過篩選靈敏度較高的變量作為新的設(shè)計變量，能夠大大減小計算量。

b.建立包括最大位移變形、最大等效應力和機身質(zhì)量的響應面模型，對響應面模型進行質(zhì)量評價時，復相關(guān)系數(shù)R2都是等于或者趨近1，模型精度高。

c.采用非支配排序遺傳算法對機器人機身進行多目標優(yōu)化設(shè)計，在不改變模型材料的前提下，機身質(zhì)量減少1.7 kg，最大位移變形減小0.1 mm，最大等效應力減少1.36 MPa。

d.對比機器人機身的第7、8階模態(tài)，在進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，扭轉(zhuǎn)模態(tài)固有頻率增大22%，彎曲模態(tài)固有頻率增大15%，避免機器人在經(jīng)過焊縫時發(fā)生激勵共振現(xiàn)象。