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    “一流本科課程”背景下線性代數(shù)案例啟發(fā)教學(xué)的探索

    2022-06-24 05:53:10趙東紅魏海瑞
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年3期
    關(guān)鍵詞:感者本科課程案例

    趙東紅, 魏海瑞, 劉 宇

    (北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,北京100083)

    1 引 言

    2019年4月,教育部啟動(dòng)“雙萬(wàn)計(jì)劃”.2019年10月31日,教育部印發(fā)《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見(jiàn)》[1],在這樣的大背景下,淘汰“水課”,獎(jiǎng)勵(lì)“金課”,把最好的資源給本科生,從根本上提高本科育人質(zhì)量.正如教育部高等教育司司長(zhǎng)吳巖表示,要全面振興本科教育,推進(jìn)質(zhì)量革命.

    線性代數(shù)作為重要基礎(chǔ)課程之一,在教學(xué)中面臨著諸多問(wèn)題.一方面,學(xué)生經(jīng)常反映課程內(nèi)容枯燥、概念抽象、計(jì)算繁瑣,低年級(jí)學(xué)生尚未完全擺脫應(yīng)試教育影響,獨(dú)立思考能力相對(duì)薄弱,對(duì)概念和定義的理解能力欠缺,直接導(dǎo)致學(xué)生不能系統(tǒng)理解和掌握課程知識(shí);另一方面,線性代數(shù)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的眾多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用,歷史文化內(nèi)涵是極其豐富的,但國(guó)內(nèi)許多教材中過(guò)分注重?cái)?shù)學(xué)本身的邏輯結(jié)果,教學(xué)內(nèi)容更偏重于理論學(xué)習(xí),忽視了其應(yīng)用價(jià)值和未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì),導(dǎo)致許多學(xué)生不了解線性代數(shù)的真實(shí)用途,對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣日趨下降,從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí),只是單純地為了應(yīng)試,為了拿到課程學(xué)分,而沒(méi)有從根本上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,學(xué)習(xí)源動(dòng)力不足,學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不端正,學(xué)習(xí)后勁不足,不能將線性代數(shù)應(yīng)用到自己的研究方向和課題方面.“激發(fā)學(xué)習(xí)者的好奇與興趣,培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的直覺(jué)與洞察力,這是創(chuàng)新人才除了知識(shí)的積累和分析解決問(wèn)題能力以外的重要素質(zhì)”是朱清時(shí)院士關(guān)于創(chuàng)新人才培養(yǎng)的一段論述.為了激發(fā)數(shù)學(xué)方面的好奇心與興趣,融入應(yīng)用案例到抽象的知識(shí)點(diǎn)是重要手段,能使許多抽象的數(shù)學(xué)概念更具有實(shí)際意義.

    文獻(xiàn)[2]將線性代數(shù)與應(yīng)用案例相結(jié)合是必要的和緊迫的;文獻(xiàn)[3]引導(dǎo)學(xué)生一步步建立數(shù)學(xué)模型描述和解決實(shí)際問(wèn)題,在解決問(wèn)題的過(guò)程中引出概念和方法;文獻(xiàn)[4]探討了工科公共計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)課程的線上教學(xué)和應(yīng)用方案;文獻(xiàn)[5]就如何構(gòu)建全方位、立體式研究型教學(xué)進(jìn)行分析,在教學(xué)設(shè)計(jì)方面談了幾點(diǎn)看法;文獻(xiàn)[6]以應(yīng)用案例庫(kù)建設(shè)進(jìn)行示范,突出線性代數(shù)的思維和方法在信息大類學(xué)科中的應(yīng)用,以培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.但是,以上線性代數(shù)應(yīng)用案例實(shí)現(xiàn)過(guò)程更偏重于教材基本知識(shí)點(diǎn),主要是挖掘現(xiàn)有的應(yīng)用案例,比如人口遷移問(wèn)題、遞推問(wèn)題、圖像加密、密碼破譯等.具體來(lái)說(shuō),線性代數(shù)很多章節(jié)中都可以引入實(shí)際案例,以完成案例為主線實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的傳授.在講線性方程組時(shí),引入交通流量計(jì)算模型、化學(xué)方程式配平問(wèn)題、電路網(wǎng)節(jié)點(diǎn)處電流模型[7]等,當(dāng)然對(duì)于不同專業(yè)的學(xué)生,可以有側(cè)重點(diǎn)的選擇與其專業(yè)有關(guān)的案例模型,管理專業(yè)的學(xué)生以生產(chǎn)總值問(wèn)題和工資分配問(wèn)題[8]作為講解案例;講向量組線性相關(guān)性,藥方配制問(wèn)題作為實(shí)際案例完成教學(xué)內(nèi)容,可以降低線性相關(guān)和極大無(wú)關(guān)組的抽象性;講相似矩陣及矩陣對(duì)角化,可以引入人口流動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)問(wèn)題,讓學(xué)生體會(huì)相似矩陣的神奇妙用.

    在教育部號(hào)召“一流本科課程”建設(shè)的指導(dǎo)意見(jiàn)下,線性代數(shù)教學(xué)團(tuán)隊(duì)認(rèn)真學(xué)習(xí)了《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見(jiàn)》,指出一流本科課程建設(shè)的總體要求、總體目標(biāo)和建設(shè)原則.具體來(lái)說(shuō),“優(yōu)化重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容與課程體系,破除課程千校一面”“杜絕單純知識(shí)傳遞、忽視能力素質(zhì)培養(yǎng)的現(xiàn)象,強(qiáng)化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合”[1].本文體現(xiàn)的教學(xué)改革正是讓學(xué)生忙起來(lái),以激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力和專業(yè)志趣為著力點(diǎn),加強(qiáng)計(jì)算機(jī)信息技術(shù)與課程知識(shí)點(diǎn)的融合,提升課程學(xué)習(xí)的廣度和學(xué)習(xí)深度.所以本文案例的學(xué)習(xí)需要學(xué)生增加閱讀量和和探究式學(xué)習(xí)過(guò)程.所涉及知識(shí)點(diǎn)充分體現(xiàn)一流本科課程建設(shè)的總體目標(biāo)和基本原則,特別是提高高階性思維,突破習(xí)慣性認(rèn)知模式,培養(yǎng)學(xué)生深度分析、大膽質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的精神和能力.基于此,本文深度挖掘了最小生成樹(shù)求解、集合劃分、動(dòng)力系統(tǒng)等案例,融合了更有深度的知識(shí)點(diǎn),增加了挑戰(zhàn)度,提高學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合能力.

    教學(xué)團(tuán)隊(duì)針對(duì)自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)等專業(yè)的學(xué)生,重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),挖掘適合此類專業(yè)學(xué)生的應(yīng)用案例,豐富擴(kuò)充原有的教學(xué)內(nèi)容,研發(fā)可以提高學(xué)生應(yīng)用能力,創(chuàng)新能力的教案,開(kāi)展翻轉(zhuǎn)課堂,大大增加了課程內(nèi)容前沿性和應(yīng)用性,培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考能力與學(xué)以致用能力.

    本文最后設(shè)計(jì)了科學(xué)的調(diào)查問(wèn)卷,通過(guò)分析數(shù)據(jù),可以看到在教務(wù)評(píng)價(jià)系統(tǒng)中,同學(xué)們對(duì)應(yīng)用案例融于教學(xué)內(nèi)容的反饋取得了令人滿意的成效.初步實(shí)現(xiàn)了適合計(jì)算機(jī)等專業(yè)的線性代數(shù)課程內(nèi)容重整,教學(xué)設(shè)計(jì)更新,全面提升教學(xué)效果和學(xué)生素質(zhì).由于篇幅限制,本文僅以矩陣乘法、矩陣冪運(yùn)算、行列式為知識(shí)點(diǎn),拓展應(yīng)用案例,激發(fā)學(xué)生興趣,學(xué)生了解線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值、未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)和真實(shí)用途.

    2 主要內(nèi)容

    2.1 矩陣高次冪運(yùn)算應(yīng)用到遞推公式求解問(wèn)題

    矩陣高次冪運(yùn)算在諸多領(lǐng)域,如數(shù)值計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)以及人工智能等扮演了重要的角色.利用求矩陣高次冪運(yùn)算求解遞推問(wèn)題是常見(jiàn)的方法,但計(jì)算瓶頸在于矩陣乘法,因此給同學(xué)們嘗試優(yōu)化計(jì)算機(jī)中矩陣高次冪算法.

    例1斐波那契數(shù)列:分析了遞推算式中矩陣高次冪的計(jì)算方法,此算法可以應(yīng)用到所有需要矩陣高次冪計(jì)算的方面.

    根據(jù)矩陣乘法的定義將斐波那契數(shù)列遞推式表示為

    遞推可得

    同理,遞推表達(dá)式采取類似的方式,F(xiàn)n=aFn-1+bFn-2+cFn-3+dFn-4,化為

    觀察可知,需要求解遞推矩陣n次冪.那么,如何求解矩陣n次冪呢?

    對(duì)于計(jì)算機(jī)而言,λn的計(jì)算仍然十分耗時(shí),而且矩陣對(duì)角化對(duì)于計(jì)算機(jī)需要相當(dāng)大的計(jì)算量.此時(shí)需要一種能夠快速計(jì)算矩陣高次冪的方法.在這個(gè)問(wèn)題上,為學(xué)生拓展了三種計(jì)算矩陣高次冪的優(yōu)化算法,對(duì)比數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

    第一種:平凡算法

    第二種:快速冪優(yōu)化

    通過(guò)課堂上介紹的基本計(jì)算方法,可以分析出有兩個(gè)部分進(jìn)行優(yōu)化,分別是矩陣乘法計(jì)算和矩陣冪運(yùn)算.對(duì)于一個(gè)矩陣的高次冪An,分類如下:

    第三種:基本內(nèi)存再優(yōu)化

    由于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存是由連續(xù)的物理單元組成的,二維數(shù)組則是在邏輯上的二維,實(shí)際上還是在一條一維的內(nèi)存.所以,在進(jìn)行更換行號(hào)時(shí),計(jì)算機(jī)需要額外的時(shí)間來(lái)計(jì)算下一行在什么位置,這消耗了許多時(shí)間,如果調(diào)整循環(huán)次序,使得計(jì)算時(shí)可以連續(xù)讀取內(nèi)存,則可以實(shí)現(xiàn)矩陣乘法的加速.課堂上引導(dǎo)同學(xué)們利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)三種算法的對(duì)比.

    實(shí)驗(yàn)得出,規(guī)模較大時(shí),計(jì)算矩陣高次冪采用上述快速冪算法可以大幅提高效率,利用計(jì)算機(jī)內(nèi)存性質(zhì)進(jìn)一步小幅度優(yōu)化.根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)于矩陣冪運(yùn)算,同學(xué)們感到計(jì)算過(guò)程過(guò)于繁瑣,部分同學(xué)學(xué)習(xí)興趣有所下降.此案例的引入,讓同學(xué)們理解,掌握了基本知識(shí)點(diǎn)后,可以不需要?jiǎng)邮钟?jì)算,引導(dǎo)和鼓勵(lì)同學(xué)們利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法,增強(qiáng)科學(xué)計(jì)算本領(lǐng),有效地將線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)相結(jié)合,提高計(jì)算效率,增強(qiáng)同學(xué)們對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣.

    2.2 行列式應(yīng)用到圖論最小生成樹(shù)求解問(wèn)題

    本文研究對(duì)象是計(jì)算機(jī)和自動(dòng)化兩個(gè)專業(yè)學(xué)生,根據(jù)調(diào)研情況,授課學(xué)生專業(yè)課程需要學(xué)習(xí)程序設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),而且專業(yè)課程需要學(xué)習(xí)最小生成樹(shù)和掌握最小生成樹(shù)的應(yīng)用.基于此,線性代數(shù)課程改革里面增加了矩陣在最小生成樹(shù)方面的應(yīng)用.大作業(yè)布置一個(gè)類似的題目讓學(xué)生自己課下解決,例如利用最小生成樹(shù)求解通信線路總代價(jià)最小的最佳方案.對(duì)于一些感覺(jué) “吃不飽”的同學(xué),可以布置如何用最少的電線給一所房子安裝電路.讓學(xué)生使用拓展的知識(shí)點(diǎn)和MATLAB知識(shí)解決,提高學(xué)生自學(xué)能力和應(yīng)用能力,體會(huì)在計(jì)算機(jī)上解決問(wèn)題的準(zhǔn)確與簡(jiǎn)潔.在解決問(wèn)題的過(guò)程中,加深理解抽象數(shù)學(xué)概念,實(shí)現(xiàn)“一流本科課程”的指導(dǎo)意見(jiàn)——拓展學(xué)習(xí)深度和廣度.

    例2生成樹(shù)的數(shù)量問(wèn)題:連通圖的生成樹(shù)是它的極小連通生成子圖,求解圖的生成樹(shù),是圖論中一個(gè)重要的問(wèn)題.而圖的最小生成樹(shù)可能有多個(gè),使數(shù)目與圖的線性性質(zhì)緊密相關(guān).給定圖G,求G的生成樹(shù)數(shù)量.

    第一步:提取生成樹(shù)問(wèn)題中的特征,根據(jù)節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間的連通關(guān)系定義矩陣

    第二步:寫出M,以Mt表示圖的子樹(shù),Mt是M去掉最后一行再抽出m-n+1列形成的矩陣;

    第三步:計(jì)算行列式detMt;

    若detMt=0,Mt未形成樹(shù);若detMt=±1,Mt形成樹(shù);

    進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),枚舉G的所有子樹(shù),統(tǒng)計(jì)生成樹(shù)的個(gè)數(shù),首先輸入兩個(gè)正整數(shù)m,n表示節(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù),每行兩個(gè)正整數(shù)ui,vi表示第i條邊的起點(diǎn)與終點(diǎn),最后輸出一個(gè)自然數(shù),即圖G生成樹(shù)的個(gè)數(shù).

    圖1 矩陣高次冪優(yōu)化算法耗時(shí)對(duì)比

    圖2 生成矩陣M 圖3 G的生成樹(shù)的個(gè)數(shù)

    通過(guò)將圖進(jìn)行矩陣化,可以處理大量的連通關(guān)系,這一處理過(guò)程是將圖進(jìn)行抽象化,抽象和直觀是互相輔助,利用抽象矩陣表達(dá)直觀的圖,更加讓學(xué)生看到線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值,特別是對(duì)以上兩個(gè)專業(yè)的同學(xué),相當(dāng)于一個(gè)課堂實(shí)踐過(guò)程,能與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序設(shè)計(jì)中知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合引出此案例,既提高了學(xué)生專業(yè)素養(yǎng),又提高了學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣,增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)源動(dòng)力.

    2.3 矩陣乘法和布爾型矩陣在確定集合的等價(jià)關(guān)系上的應(yīng)用

    在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,集合劃分問(wèn)題一直是一個(gè)非常重要的問(wèn)題.以百度、谷歌搜索引擎為例,當(dāng)今世界信息量與日俱增,每分鐘可能都有上百萬(wàn)的信息要存入這些搜索引擎,那么如何對(duì)這些信息進(jìn)行分類就成了一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題.在“一流本科課程”建設(shè)的指導(dǎo)意見(jiàn)下,課程內(nèi)容強(qiáng)調(diào)廣度和深度,需要增加學(xué)生閱讀和探究式的學(xué)習(xí)過(guò)程,拓展矩陣類型——布爾型方陣,即元素只有0或1的方陣(又稱位矩陣).

    分析如何運(yùn)用矩陣的相關(guān)知識(shí)對(duì)集合進(jìn)行劃分.

    例3同鄉(xiāng)關(guān)系問(wèn)題:有6個(gè)人,1說(shuō)3是他同鄉(xiāng),2說(shuō)5和6是他同鄉(xiāng),4說(shuō)6是他同鄉(xiāng),以同鄉(xiāng)關(guān)系這個(gè)性質(zhì)確立等價(jià)關(guān)系,求出這6人的等價(jià)關(guān)系矩陣.

    第一步:在理解布爾型矩陣定義基礎(chǔ)上,引導(dǎo)同學(xué)們使用布爾型方陣A描述這六個(gè)人的關(guān)系;

    若A(i,j)=1,則代表第i個(gè)人是第j個(gè)人的同鄉(xiāng),A(j,i)=1,代表第j個(gè)人是第i個(gè)人的同鄉(xiāng),若A(i,j)=1,A(j,i)=0,則代表i是j的同鄉(xiāng),j不是i的同鄉(xiāng).

    第二步:對(duì)方陣A求完對(duì)稱閉包,自反閉包,傳遞閉包后所得矩陣即為等價(jià)關(guān)系矩陣;

    第三步:利用計(jì)算機(jī)功能將以上過(guò)程進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn);

    圖4 布爾型方陣圖 圖5 對(duì)稱閉包

    圖6 自反閉包 圖7 傳遞閉包

    圖8 等價(jià)關(guān)系矩陣

    有了布爾型矩陣定義的介紹,結(jié)合已學(xué)習(xí)的等價(jià)關(guān)系,很自然地引出了等價(jià)關(guān)系矩陣定義.如果矩陣同時(shí)滿足三個(gè)條件:

    (i) 矩陣是一個(gè)布爾型矩陣;

    (ii) 矩陣確定了給定集合U到U的關(guān)系R;

    (iii) 矩陣是對(duì)稱矩陣,其中關(guān)系R具有對(duì)稱性、反身性、傳遞性,即R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系,則矩陣為等價(jià)關(guān)系矩陣.此例中,所反映的同鄉(xiāng)關(guān)系為一個(gè)等價(jià)關(guān)系矩陣.最終的等價(jià)關(guān)系矩陣中所有值1的元素所在行和列對(duì)應(yīng)的人均為同鄉(xiāng)關(guān)系.

    在線性代數(shù)課程教學(xué)中,以“一個(gè)例子比十個(gè)定理有效(牛頓)”這句數(shù)學(xué)名言為主旨,在授課過(guò)程中,有意識(shí)地去印證這個(gè)名言.實(shí)踐表明:雖然只是線性代數(shù)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn),但卻可以解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 使得學(xué)生加深理解矩陣的應(yīng)用價(jià)值,課堂更加生動(dòng)、形象,加強(qiáng)了師生間相互交流,充分體現(xiàn)了線性代數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具,有效地培養(yǎng)了高階數(shù)學(xué)思維.

    2.4 矩陣與向量乘法在線性動(dòng)力系統(tǒng)上的應(yīng)用

    2020年新冠疫情肆虐,如果能對(duì)未來(lái)疫情趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè),那么將能夠通過(guò)預(yù)測(cè)結(jié)果使人們提高警惕,或緩解緊張情緒,于是更有效率的抵御病毒侵襲.

    例4流行病動(dòng)力學(xué)案例:5%易感者會(huì)感染疾病,1%已感者會(huì)由于疾病身故,10%易感者會(huì)康復(fù)并產(chǎn)生免疫,4%已感者會(huì)康復(fù),但沒(méi)有免疫(他們?cè)俅纬蔀橐赘姓?,剩余85%易感者將仍然是已感者.提出兩個(gè)小問(wèn)題:

    (i) 試用矩陣運(yùn)算,描述四個(gè)不同人群比例流動(dòng)關(guān)系;

    (ii) 通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬,反應(yīng)四個(gè)不同人群比例發(fā)展趨勢(shì).

    首先需確定(xt+1)1,即下一天易感者的數(shù)量.這些人包括今天的易感者數(shù)量中沒(méi)有被感染0.95(xt)1,與今天的已感者中康復(fù)了但沒(méi)有產(chǎn)生免疫的人,即0.04(xt)2.它們的和是

    (xt+1)1=0.95(xt)1+0.04(xt)2, (xt+1)2=0.85(xt)2+0.05(xt)1,

    (xt+1)3=(xt)3+0.10(xt)2, (xt+1)4=(xt)4+0.01(xt)2,

    矩陣表示

    其中x為向量,A為動(dòng)力學(xué)矩陣,計(jì)算短期內(nèi)的下一個(gè)狀態(tài),是一種瞬態(tài)分析算法.線性動(dòng)力系統(tǒng)是一種簡(jiǎn)化的認(rèn)為下一狀態(tài)滿足上一狀態(tài)的線性函數(shù).

    通過(guò)數(shù)值模擬,運(yùn)用矩陣乘法計(jì)算每一個(gè)值下四個(gè)人群狀態(tài)比例,函數(shù)圖像表示:

    圖9 四種人群狀態(tài)比例

    推廣在更新方程中可以附加一些新的項(xiàng)

    xt+1=Atxt+Btut+Ct,t=1,2…

    假設(shè)人口的每個(gè)年齡段的人作為變量,則在記錄人口狀態(tài)的向量組B中,Bt可以穩(wěn)定地向Bt+1轉(zhuǎn)化,Bt擁有一定的死亡率.而處于特定年齡段的人口,則有穩(wěn)定的生育率,可推算出B1的下一狀態(tài).將上例留給同學(xué)作為大作業(yè),有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí),培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力.

    當(dāng)前各學(xué)科之間相互交叉、相互滲透,是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì),不同學(xué)科之間的界限日益突破傳統(tǒng)的認(rèn)知[9].可以看出,雖然這是數(shù)學(xué)應(yīng)用到生物學(xué)的一個(gè)簡(jiǎn)單例子,但是對(duì)低年級(jí)的學(xué)生而言,此案例又與當(dāng)下的實(shí)際背景息息相關(guān),同學(xué)們?cè)跇?gòu)造模型和理解模型時(shí),充分體會(huì)矩陣乘法運(yùn)算意義,矩陣作為計(jì)算工具的有效性和簡(jiǎn)潔性.構(gòu)造了動(dòng)力系統(tǒng)這種流動(dòng)關(guān)系,拓展了數(shù)學(xué)視野和培養(yǎng)了高階數(shù)學(xué)思維,激發(fā)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的熱情.

    3 教學(xué)效果與評(píng)價(jià)

    3.1 教學(xué)效果

    為了檢驗(yàn)教學(xué)效果,針對(duì)自動(dòng)化和計(jì)算機(jī)兩個(gè)專業(yè)同學(xué),進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,設(shè)計(jì)了三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo),分別為引導(dǎo)作用、培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提高學(xué)習(xí)興趣,評(píng)價(jià)等級(jí)為非常有效、一般有效、無(wú)效三個(gè)層次.兩個(gè)專業(yè)人數(shù)分別為149人和180人,其中140人和170人自愿參加了調(diào)查問(wèn)卷,調(diào)查結(jié)果如圖10所示.

    圖10 調(diào)查數(shù)據(jù)餅圖

    實(shí)踐表明,絕大多數(shù)同學(xué)對(duì)案例啟發(fā)教學(xué)是肯定的.在案例教學(xué)中,同學(xué)們拿到案例后,先要進(jìn)行消化,而且是主動(dòng)進(jìn)行的.捕捉這些理論知識(shí)后,還要進(jìn)行深入思考,提出解決問(wèn)題方案.教師給予引導(dǎo),這個(gè)過(guò)程是雙向的,促使教師加深思考,根據(jù)不同學(xué)生的不同理解補(bǔ)充新的教學(xué)內(nèi)容,大大地提高了學(xué)生創(chuàng)新能力,培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)也說(shuō)明了將案例融于數(shù)學(xué)類課程內(nèi)容,值得研究和探索,將在今后的教學(xué)中繼續(xù)應(yīng)用與改進(jìn).

    3.2 教學(xué)評(píng)價(jià)

    為了反映案例啟發(fā)教學(xué)在課程建設(shè)過(guò)程中的作用,針對(duì)自動(dòng)化和計(jì)算機(jī)專業(yè)同學(xué)的評(píng)教體系進(jìn)行改變.評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表1.

    表1 教學(xué)評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)

    注 線性代數(shù)課程樣本總數(shù)310

    從表1中可以看出,將案例融入到課程教學(xué)中,提高了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考能力,學(xué)生對(duì)教師各方面評(píng)分較高,特別對(duì)案例啟發(fā)式教學(xué)有效性評(píng)價(jià)較高.下面對(duì)表1中第2題和第3題進(jìn)行詳細(xì)分析.

    從圖11和圖12中可以看到,融入案例的線性代數(shù)課程受到了學(xué)生認(rèn)可和喜愛(ài),但也看出個(gè)別同學(xué)覺(jué)得加入案例內(nèi)容與課程融合度比較弱,說(shuō)明后面要繼續(xù)努力挖掘應(yīng)用案例,實(shí)現(xiàn)傳授知識(shí)與應(yīng)用案例融合無(wú)縫對(duì)接,實(shí)現(xiàn)更佳的育人效果.

    圖11 圖12

    4 結(jié) 論

    在線性代數(shù)案例啟發(fā)式教學(xué)過(guò)程中,貫徹了教育部號(hào)召的“一流本科課程”建設(shè)目標(biāo).給學(xué)生案例后,同學(xué)先要進(jìn)行消化,然后查閱必要的理論知識(shí),無(wú)形中加深了理解,主動(dòng)理解這些理論知識(shí)后,同學(xué)們經(jīng)過(guò)縝密地思考,提出解決問(wèn)題方案,這一步應(yīng)視為能力上的升華.教師隨時(shí)給予指導(dǎo),促使教師加深思考,這種教學(xué)形式對(duì)教師提出了更高要求,是一個(gè)教學(xué)相長(zhǎng)過(guò)程.實(shí)踐表明,這一教學(xué)改革不僅解決了學(xué)與用之間的壁壘,而且增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)了學(xué)生高階思維,提高了學(xué)生計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力,全面提升了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

    致謝非常感謝審稿專家對(duì)本文提出的寶貴意見(jiàn),這些意見(jiàn)對(duì)本文的修改和完善起了很大的幫助作用,作者受益匪淺,在此表示衷心的感謝.

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