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    奇異級數(shù)的均值研究

    2022-06-24 05:52:44孫同順吳小勝
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年3期
    關(guān)鍵詞:素數(shù)級數(shù)整數(shù)

    孫同順, 吳小勝

    (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230601)

    1 引 言

    設(shè)Dk是k個元素的整數(shù)集.本文討論的是奇異級數(shù)

    (1)

    2004年,參考文獻(xiàn)[7]證明了一個更為詳細(xì)的漸近公式

    (2)

    其中γ是歐拉常數(shù).Cramr模型預(yù)測:對于0≤x≤N和Nε≤H≤N1-ε,Ψ(x+H)-Ψ(x)是均值為~H和方差為~HlogN的近似正態(tài)分布.Montgomery和Soundararajan利用漸近公式(2)發(fā)現(xiàn)Cramr模型是不夠精確的,即當(dāng)Nε≤H≤N1/k時,方差應(yīng)為~Hlog(N/H).

    為了理解連續(xù)素數(shù)之間最可能的差異,即跳躍冠軍問題;參考文獻(xiàn)[8]建立了一個特殊的奇異級數(shù)均值的漸近公式

    參考文獻(xiàn)[9]把這個漸近公式推廣到更一般的情況:當(dāng)yε≤x≤y,有

    更進(jìn)一步的被Feng和Wu[10]加強(qiáng),即對于x≤y,有

    奇異級數(shù)的相關(guān)研究不僅包含以上方面,而且在其它文章中也有所涉及[11-12].

    常用符號說明 用ε來表示一個任意小的正常數(shù),它的值可以隨具體情況變化,用p表示素數(shù),并且文中的O和?的隱含常數(shù)是依賴于k或ε的.

    2 均值漸近公式及其證明

    定理對于任意整數(shù)k≥2和任意整數(shù)集合Ak={d1,d2,…,dk}且滿足d1

    (3)

    成立,且常數(shù)

    (4)

    由Ak唯一確定,其中P0={p|VAk(p)=p,p≤k}.

    (5)

    其中記

    (6)

    則式(5)可寫為

    (7)

    (8)

    把(8)應(yīng)用到a(p,VDk(p))中,得到

    (9)

    通過可乘性質(zhì)將a(p,VDk(p))的定義推廣到無平方因子數(shù)q,定義函數(shù)

    (10)

    將(10)應(yīng)用到(7)中,得到

    (11)

    設(shè)M≤x是一個稍后給定的整數(shù),根據(jù)q≤M和q>M將(11)中的q求和分為兩部分.當(dāng)對奇異級數(shù)S(Dk)中的d求和時,第一部分q≤M將會貢獻(xiàn)出主項;對于第二部分q>M,可以推導(dǎo)出它的上界,即設(shè)C是一個充分大的僅依賴于k的正常數(shù),令q=q1q2,且滿足q1|dΔk和(q2,dΔk)=1,那么就有

    應(yīng)用(9)式,可得

    (12)

    其中Ω(q1)表示q1的所有素因子的個數(shù),Ω(q2)類似.

    由(11)和(12),對d進(jìn)行求和,有

    (13)

    在(13)的內(nèi)和中,將對d求和改寫為對V進(jìn)行求和得到

    (14)

    (15)

    其中f(p,VDk(p))表示d模p的剩余類可以選擇的種類數(shù)目,且

    (16)

    結(jié)合對q的求和,可以得到

    (17)

    為了處理(17)式的右邊,首先計算A(q).將A(q)中的乘積按照VAk(p)>1和VAk(p)=1分成兩部分,那么結(jié)合(6)和(16)可以得到

    (18)

    由此可給出

    (19)

    因此有

    (20)

    (21)

    由(17),(19),(20)和(21)可得

    將上式應(yīng)用在(13)式中,可得到

    在上述誤差項中取M=x1/2即可完成定理的證明.

    3 結(jié) 論

    本文的出發(fā)點是Hardy-Littlewood素數(shù)k元組猜想中的奇異級數(shù),基于經(jīng)典的Gallagher方法與素數(shù)的分布性質(zhì),給出了奇異級數(shù)的一類均值漸近公式.

    致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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