淺談直角坐標(biāo)系中含特殊角綜合題的處理策略

【摘 要】從分析“怎么想到這樣做”入手，提煉構(gòu)造（或挖掘）直角三角形是解決直角坐標(biāo)系中含特殊角綜合題的通性通法，以優(yōu)化學(xué)生的思維方式，提升他們處理同類問題的類化能力，詮釋了研究習(xí)題教學(xué)的又一條重要途徑.

【關(guān)鍵詞】習(xí)題教學(xué);通性通法;類化能力

近年來，在各地中考中常常出現(xiàn)一類與特殊角（30°，45°與60°）有關(guān)的函數(shù)壓軸題，主要有兩種類型：一是題目條件或結(jié)論中直接呈現(xiàn)特殊角;二是以直線y=kx+b中的k（或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)）含有1、2和3等特殊值來隱含特殊角（即直線與坐標(biāo)軸所成角為特殊角）.由于特殊角常與直角三角形共存，故而挖掘圖中現(xiàn)有直角三角形或構(gòu)造直角三角形并結(jié)合其他條件逐步轉(zhuǎn)化是處理此類問題的基本策略.1 基本策略1.1 直接構(gòu)造含特殊角的直角三角形計(jì)算

無論是題目的條件或求解的目標(biāo)中含有特殊角，通過構(gòu)造含特殊角的直角三角形往往能使問題迎刃而解，并且遇到30°或60°角通常構(gòu)造含30°角的直角三角形，面對(duì)45°角則構(gòu)造等腰直角三角形.

例1 （2021年山東棗莊）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-12x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=13x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

（1）求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）點(diǎn)E是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB，EA，當(dāng)△EAB的面積等于252時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo);

（3）將直線AB向下平移，得到過點(diǎn)M的直線y=mx+n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D（2，0），連接DM，求證：∠ADM-∠ACM=45°.

思路分析 （1）易得拋物線的解析式為y=13x2-2x，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-3）;

（2）由于△ABE的三邊均與坐標(biāo)軸不平行（或在坐標(biāo)軸上），所以需通過某一頂點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，把△ABE分割成兩個(gè)有邊與坐標(biāo)軸平行的三角形來求面積.考慮到點(diǎn)E為動(dòng)點(diǎn)，不妨過點(diǎn)E作EH∥y軸交AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，13x2-2x），得點(diǎn)H（x，-12x+3），則S△EAB=S△EHB+S△EHA=12EH×OA=12×6×（-12x+3-13x2+2x）=252，解得x=1或72，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，-53）或（72，-3512）;

（3）易知∠ADM-∠ACM=∠DMC，所以問題轉(zhuǎn)化為證明∠DMC=45°，即構(gòu)造以∠DMC為底角的等腰直角三角形，故想到過點(diǎn)D作DF⊥CM，如圖2，垂足為點(diǎn)F（或過C作MD的垂線），至此問題又轉(zhuǎn)化為證明DF=MF（或利用銳角三角函數(shù)求角）.而在平面直角坐標(biāo)系中，理所當(dāng)然想到利用求線段長來證明線段相等.

鑒于直線MC的解析式可由待定系數(shù)法求得為y=-12x-32，從而得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），進(jìn)而可得MC=35、MD=10與CD=5.又邊CD在x軸上，所以想到用△CMD的面積列方程求得DF的長為5，再由勾股定理可得MF=5，故得證.

說明 處理兩角差的策略主要有作圖（即在大角內(nèi)部構(gòu)造一個(gè)小角）或運(yùn)用知識(shí)源“三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”，從而把多角間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩角相等關(guān)系.

1.2 挖掘含特殊角的直角三角形并利用等角轉(zhuǎn)化

有時(shí)，利用條件挖掘圖中隱含特殊角的直角三角形實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或銳角三角形函數(shù)，逐步解決線段長計(jì)算問題，也是處理此類問題的常用策略.

例2 （2021年江蘇連云港）如圖3，拋物線y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（3，0）.

（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC=S△ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

思路分析 （1）m=-1，直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3.

（2）由于△PBC與△ABC是共邊三角形，若面積相等，則需分點(diǎn)P與點(diǎn)A在BC的同側(cè)與異側(cè)兩種情形討論.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A在同側(cè)時(shí)，AP與直線BC平行，由拋物線y=-x2+4x-3得A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），所以直線AP的解析式為y=x-1，與拋物線的解析式聯(lián)立解方程組得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）;當(dāng)點(diǎn)P、A位于BC的異側(cè)時(shí)，點(diǎn)P在與BC平行且與點(diǎn)A到BC的距離相等的直線P1P2上.又因?yàn)橹本€PA、BC在y軸上的截距分別為-1與-3，所以直線P1P2在y軸上的截距為-5，得直線P1P2的解析式為y=x-5，與拋物線的解析式聯(lián)立解方程組得點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)為（3-172，-7-172）與（3+172，-7+172）. 圖4（3）顯然點(diǎn)Q只能在直線AC右側(cè)的拋物線上（如圖4）.若用交軌法求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，則需先求直線CQ的解析式，又已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），所以還需知道直線CQ上另一點(diǎn)的坐標(biāo)（或k的值），理所當(dāng)然選擇直線CQ與x軸的交點(diǎn)D（因?yàn)樽鴺?biāo)軸上的點(diǎn)易求坐標(biāo)），即求BD的長.注意到△OCB為等腰直角三角形，即∠OCB=45°=∠ACQ，所以∠OCA=∠BCD.又BC=32，所以想到以△BCD為目標(biāo)三角形構(gòu)造一個(gè)與其相似的三角形，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出BD的長.又知∠CEA=135°，所以想到在OC上截取OE=OA，得等腰直角三角形OAE，則∠CEA=135°，故△BCD∽△ECA，所以CBCE=BDEA，得BD=3.再由待定系數(shù)法得CD的解析式為y=12x-3，與拋物線的解析式聯(lián)立解方程組得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（72，-54）.

說明 本題是根據(jù)已知長度線段間的數(shù)量關(guān)系，挖掘等腰直角三角形OBC和構(gòu)造等腰直角三角形OAE，再通過特殊角尋找角與角之間的數(shù)量關(guān)系，并利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例而找到解題突破口的.

當(dāng)然，例2也可構(gòu)造特殊的直角三角形處理.如圖5，過點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，則△ACF為等腰直角三角形.根據(jù)上面的分析可知關(guān)鍵是求出BD的長，鑒于△ACD有一邊在x軸上，不妨依據(jù)其面積列出關(guān)于BD的等式，從而求出BD的長.易求AC=10，進(jìn)而得AF=5，所以S△ACD=12AD·OC=12CD·AF，3（2+BD）=5·（3+BD）2+9，也可得BD=3.

1.3 利用特殊值挖掘含特殊角的直角三角形

當(dāng)直線y=kx+b中的k的值是1、2、3或33（或點(diǎn)的坐標(biāo)中含有這些數(shù)值）時(shí)，往往圖形中就隱含著30°，45°與60°的特殊角，若善于利用這些隱形的角解題，往往可起到事半功倍之效.

例3 （2020上海靜安二模考）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（23，0）、B（0，6）、M（0，2），點(diǎn)Q在直線AB上，把△BMQ沿著直線MQ翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，聯(lián)結(jié)PQ.如果直線PQ與直線AB所構(gòu)成的夾角為60°，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

思路分析 雖然AB是定直線，但由于點(diǎn)Q在直線AB上運(yùn)動(dòng)與直線PQ的位置不斷變化，導(dǎo)致可能存在四個(gè)位置.另外，由于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為23，所以可能存在隱含的特殊角，而由tan∠ABO=OAOB=33，知∠ABO=30°且∠BAO=60°.

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的右上方且∠AQP=60°時(shí)（如圖6），則PQ∥OA，因此只需求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)與PQ的長度，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).鑒于AB的長度為43，且點(diǎn)A與B的坐標(biāo)又已知，所以只需求出BQ的長度即可知道BQBA，進(jìn)而利用比例求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).因?yàn)椤螾=∠ABO=30°，所以∠BNM=∠PNQ=90°，又BM=4，所以BN=23，故問題轉(zhuǎn)化為求出BQ與QN的數(shù)量關(guān)系.又易知∠QMN=∠QMB=∠MBN=30°，得BQ=QM=2QN，故BQ=433=PQ，所以BQBA=13，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（233，4），從而得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（23，4）.當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的左下方且∠AQP=60°時(shí)（如圖7），則∠BQM=∠PQM=∠BAO=60°，所以MQ∥x軸，即MQ⊥y軸，由翻折的性質(zhì)知點(diǎn)P落在y軸上，且MP=BM=4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-2）; 圖8當(dāng)點(diǎn)P在直線AB的左下方且∠BQP=60°時(shí)（如圖8），則∠BQM=∠PQM=30°.連結(jié)AM，由勾股定理計(jì)算得AM=4=BM，所以∠MAB=∠MBA=30°，得點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，否則∠BQM或小于30°（點(diǎn)Q在BA延長線上），或大于30°（點(diǎn)Q在線段AB上），此時(shí)QP在x軸上且QP（即AP）=QB（即AB）=43，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-23，0）.

應(yīng)當(dāng)指出的是，當(dāng)點(diǎn)Q位于線段AB的延長線上，點(diǎn)P在直線AB的左下方，∠BQP小于60°（因?yàn)椤螧QM小于∠ABO）;當(dāng)點(diǎn)Q位于線段AB上，且點(diǎn)P在直線AB的右上方時(shí)，由于∠BQM小于150°，所以翻折后所得的二倍角小于300°，故而∠BQP大于60°.

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（23，4）、（0，-2）或（-23，0）.

說明 本題極容易漏解和多解，避免犯錯(cuò)的關(guān)鍵是要理解直線PQ與直線AB所構(gòu)成的夾角的定義，以及當(dāng)點(diǎn)Q在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，翻折△BQM所得兩直線夾角各種可能性及其生成的本質(zhì).特別是，要緊扣點(diǎn)Q在AB上按某一方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在直線AB兩側(cè)的位置變化與∠AQP（或∠BQP）大小變化的規(guī)律，以便找對(duì)找全點(diǎn)P的位置.

2 兩點(diǎn)思考

2.1 解題分析要從“怎樣想到這樣做”入手

常規(guī)的解題分析往往只是解題過程的簡(jiǎn)述，學(xué)生所謂懂了也僅限于理解每一步推理的依據(jù)，對(duì)于解題思路生成（即怎么想到這樣做 ）其實(shí)并不清晰，故而成為他們提升分析能力的短板.為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析，本文均從“怎樣想”入手，依據(jù)特殊角與直角三角形的依賴關(guān)系，著重闡述挖掘題中已有直角三角形和構(gòu)造直角三角形的基本策略，并對(duì)結(jié)合條件如何挖掘與構(gòu)造也作了詳盡分析，以豐富學(xué)生尋找解題突破口的有效手段.如例2的第（3）題就是從點(diǎn)Q的生成（直線CD與拋物線y=-x2+4x-3的交點(diǎn)）入手，結(jié)合拋物線的解析式已求，綜合分析出用交軌法求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)而求直線CD的解析式.再依據(jù)待定系數(shù)法，在已知點(diǎn)C坐標(biāo)的情況下，想到求直線與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)（因?yàn)樽鴺?biāo)軸上點(diǎn)坐標(biāo)相對(duì)易求），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求BD的長，使問題迎刃而解.這些完整呈現(xiàn)解題思路生成過程的分析，不僅讓學(xué)生“知其然更知其所以然”，而且還“知道為何然”，從而學(xué)會(huì)“怎樣想”[1]，并優(yōu)化了思維方式，提升了分析能力.

2.2 策略提煉要以通性通法為本

一般地，中考綜合題很難有一個(gè)固定的模板供學(xué)生套用，而任何方法也不可能解決所有問題，但同類問題往往有些處理的基本策略與思考方向，即通性通法.毫無疑問，挖掘與構(gòu)造直角三角形就是處理平面直角坐標(biāo)系內(nèi)含特殊角綜合題的通性通法，也是解題的突破口.此外，例1第（2）題關(guān)于求三邊均與坐標(biāo)軸不平行的三角形面積時(shí)就提煉出要過某一頂點(diǎn)向坐標(biāo)軸作平行線，把原三角形分割成兩個(gè)有邊與坐標(biāo)軸平行的三角形分別處理的策略;而例2第（2）題關(guān)于處理面積相等兩三角形問題時(shí)又提煉出需分兩三角形第三個(gè)頂點(diǎn)是在共邊同側(cè)（兩頂點(diǎn)連線平行于共邊）和異側(cè)（過定點(diǎn)關(guān)于共邊直線對(duì)稱點(diǎn)作共邊平行線）兩種情形分類討論的通性通法.毫無疑問，這些通性通法必將成為學(xué)生分析問題與解決問題的基本策略，也將是處理同類問題的重要遷移點(diǎn).

總之，研究中考題時(shí)一定要以分析“怎么想到這樣做”為抓手，以提煉通性通法為指導(dǎo)思想，全面提升學(xué)生分析問題與解決問題的類化能力，力求以題會(huì)類的習(xí)題教學(xué)最高境界.

參考文獻(xiàn)

[1]劉華為.淺談直角坐標(biāo)系中兩角相等問題的構(gòu)圖與轉(zhuǎn)化[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（04）：52-54.

作者簡(jiǎn)介 劉華為（1968—），男，安徽肥東人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究;發(fā)表文章160余篇，出版?zhèn)€人專著《基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》.