數(shù)學(xué)建模課程體系優(yōu)化與實(shí)踐探索

夏志樂，虞夢巧，周淑嫻，李韶偉

（臺州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

0 引言

當(dāng)前，科技迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域更加廣泛。國家對應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的需求加大［1］，促使越來越多的高校對數(shù)學(xué)建模課程進(jìn)行了一系列改革［2-7］。數(shù)學(xué)建模是一門培養(yǎng)應(yīng)用型人才的重要課程，是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用間的橋梁，受到了國內(nèi)外越來越多師生的重視。2021年，全國有14萬多大學(xué)生報名參加了全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling，CUMCM），參賽隊伍分別來自中國、馬來西亞及美國等國家［8］。基于近10年的參賽隊伍數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，如圖1所示，每年的參賽隊伍都呈穩(wěn)定增長趨勢，更加體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的重要性。

圖1 CUMCM歷年參賽隊伍變化趨勢

通過開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模理論、方法及意義，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)知識和計算機(jī)工具解決實(shí)際問題的能力，提高創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才培養(yǎng)的質(zhì)量。通過參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽、美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、“泰迪杯”數(shù)據(jù)挖掘挑戰(zhàn)賽、“深圳杯”數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽、五一數(shù)學(xué)建模競賽、華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽、華東杯數(shù)學(xué)建模邀請賽、“認(rèn)證杯”數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽、亞太地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（APMCM）等實(shí)踐類活動，可以增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力和團(tuán)隊意識。多年來，李大潛院士等［9-12］數(shù)學(xué)教育家都曾提倡在數(shù)學(xué)類課程教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模的方法和思想。但是，普通高等學(xué)校如何整合資源、優(yōu)化數(shù)學(xué)建模課程體系，在課程設(shè)置、課程內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)資源庫以及育人價值等諸多方面仍存在一系列問題需要解決。本文針對這些問題進(jìn)行了深入剖析并提出了改革方案。

1 問題描述

1.1 課程開設(shè)問題

數(shù)學(xué)建模作為一門通識選修課程，學(xué)生容量非常有限，與當(dāng)前開設(shè)的高等數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計、線性代數(shù)等課程相比，數(shù)學(xué)建模課程的受益學(xué)生人數(shù)非常少，這不利于高校的人才培養(yǎng)。如果不改變課程開設(shè)現(xiàn)狀，會導(dǎo)致很多學(xué)生根本不知道數(shù)學(xué)建模是一門什么樣的課程，更不知道有什么應(yīng)用。部分高校把數(shù)學(xué)建模這門課作為專業(yè)必修課，就需要開設(shè)與之關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生掌握了必備的編程能力，將有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程。我們必須要想辦法擴(kuò)大數(shù)學(xué)建模課程學(xué)生受益人數(shù)，想辦法整合資源，優(yōu)化數(shù)學(xué)建模課程體系。開設(shè)數(shù)學(xué)建模課程，可以使學(xué)生用掌握的數(shù)學(xué)知識和方法去分析和解決實(shí)際問題，而增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力是地方高校向應(yīng)用型大學(xué)轉(zhuǎn)型的一個重要環(huán)節(jié)。因此，高校應(yīng)將數(shù)學(xué)模型課程作為一門通識必修課程，分層分類設(shè)置數(shù)學(xué)建模課程體系，讓絕大多數(shù)學(xué)生受益。

1.2 課程內(nèi)容問題

數(shù)學(xué)建模課程涉及的知識面非常廣泛，綜合性交叉性很強(qiáng)，是一門對學(xué)生應(yīng)用能力要求很高的課程。例如，近幾年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽本科組的賽題包括：有軌穿梭小車RGV（Rail Guided Vehicle）的生產(chǎn)調(diào)度問題、隔熱服的生產(chǎn)設(shè)計問題、高壓油管的壓力控制、“同心協(xié)力”的策略研究、機(jī)場的出租車問題、爐溫曲線控制問題、穿越沙漠策略問題、中小微企業(yè)的信貸決策、500 m口徑“FAST”反射面形狀調(diào)節(jié)、乙醇制備C4烯烴、大型原材料訂購問題等等。由此可見，數(shù)學(xué)建模對學(xué)生和教師的各方面能力要求都非常高。尤其是對學(xué)生而言，如果不經(jīng)過數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)或培訓(xùn)，很大一部分人不知道如何將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為實(shí)際應(yīng)用。這就像手里有食材，但不一定能做好菜。此外，在數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)、講座以及暑期集訓(xùn)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差別比較大，參差不齊。例如，有的學(xué)生除了掌握微積分、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計等基礎(chǔ)課程外，還了解了數(shù)學(xué)建模的一些常用的算法；有的學(xué)生能非常熟練地運(yùn)用一種甚至多種數(shù)學(xué)軟件；而有的學(xué)生卻沒有接觸過任何數(shù)學(xué)軟件，或根本不熟練，不能利用編程解決實(shí)際問題。在數(shù)學(xué)建模課程學(xué)習(xí)前，學(xué)生首先應(yīng)該了解或掌握一些數(shù)學(xué)建模常用的基本軟件，如綜合類軟件Matlab、Maple、Mathematica等；優(yōu)化類軟件 Lingo（Linear Interactive and General Optimizer）；統(tǒng)計類軟件 SAS（Statistical Analysis System）、SPSS（Statistical Product and Service Solutions）、R 語言等；還有 C、C++、Java等。在眾多計算機(jī)語言中，Python語言近年來得到了長足的發(fā)展。它的優(yōu)點(diǎn)很多，首先是開源和免費(fèi)的；其次，它有一個可供學(xué)生建模時選擇使用的相對完整的函數(shù)庫和豐富的數(shù)據(jù)處理功能。比如：數(shù)值計算模塊Numpy可以實(shí)現(xiàn)高效的矩陣運(yùn)算；模塊Scipy含有諸如積分、優(yōu)化、統(tǒng)計、插值、信號處理、線性代數(shù)、快速傅里葉變換等眾多功能，可用于數(shù)學(xué)建模的數(shù)據(jù)處理，可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)爬蟲功能；與Matlab類似，模塊matplotlib能提供多種高質(zhì)量的繪圖。因此，Python語言非常適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)生使用［13-16］。為了培養(yǎng)應(yīng)用型人才，一方面學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論的同時增加實(shí)踐的應(yīng)用；另一方面，開展數(shù)學(xué)建?；顒又?、建模協(xié)會等活動，也是一種很好的途徑。還可以實(shí)行導(dǎo)師制，開展匯報討論等。總之，數(shù)學(xué)建模是一門與實(shí)際結(jié)合密切且應(yīng)用性很強(qiáng)的課程，它的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該與時俱進(jìn)，隨社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展而作實(shí)時地調(diào)整，及早落實(shí)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模必備知識和必備技能。

1.3 教學(xué)模式問題

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式很重要，但不能完全滿足學(xué)生自主學(xué)習(xí)的需求。在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，網(wǎng)絡(luò)資源相當(dāng)豐富，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生吸收好的資源，拓展第二課堂，如在線微課程的學(xué)習(xí)、建設(shè)，在線答疑，在線互動等。隨著移動網(wǎng)絡(luò)和諸如手機(jī)、平板電腦等移動設(shè)備的發(fā)展，學(xué)生可以隨時隨地根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇性地學(xué)習(xí)自己需要的內(nèi)容。同時，數(shù)學(xué)建模課程應(yīng)建設(shè)一定數(shù)量的應(yīng)用案例，并把相關(guān)內(nèi)容制作成微課視頻，上傳到網(wǎng)絡(luò)平臺，供需要的學(xué)生使用。綜上，應(yīng)充分利用網(wǎng)絡(luò)資源和交流平臺，全方位地為學(xué)生服務(wù)，實(shí)現(xiàn)課內(nèi)課外雙結(jié)合的教學(xué)模式。

1.4 課程思政問題

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)與社會科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)家故事等都含有豐富的思政育人元素。高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計等課程覆蓋面廣，幾乎覆蓋大學(xué)各個專業(yè)。然而，目前大部分老師上課以傳授專業(yè)知識為主，對課程所蘊(yùn)含的育人價值和實(shí)踐價值知之甚少，很少進(jìn)行深入探索。當(dāng)前，國家要求門門課程有思政，但又要杜絕“兩張皮”問題。這就要求數(shù)學(xué)教師在課程的教學(xué)過程中要有效地融入思政育人元素。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)類課程融入思政育人元素的紐帶。對于數(shù)學(xué)建模課程的育人價值，已有一些有意義的研究成果，如許少欣等［17］提出數(shù)學(xué)建?？梢藻憻捯粋€人的毅力，且數(shù)學(xué)家的故事對人生道路的前進(jìn)方向也有正確的引導(dǎo)作用。李大潛院士［18-19］充分闡述了數(shù)學(xué)建模在推動社會發(fā)展及培養(yǎng)創(chuàng)新型、應(yīng)用型人才方面的重要性。王美娜［20］研究了通過數(shù)學(xué)建模如何培養(yǎng)學(xué)生的探究精神、科學(xué)精神，以及如何增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信。鄭子蘋［21］給出了數(shù)學(xué)建?？梢耘囵B(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。但這些文獻(xiàn)的研究結(jié)果篇幅較短，闡述得不夠具體。如何將數(shù)學(xué)建模課程的育人元素有機(jī)融入其他數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)過程中，是當(dāng)前要解決的重要問題。

2 課程內(nèi)容優(yōu)化、方案實(shí)施及實(shí)踐

針對上述問題，普通高等學(xué)校提出以下改革內(nèi)容及實(shí)施方案。

2.1 內(nèi)容優(yōu)化

數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，涉及的知識面不僅廣，而且還具有一定的深度，僅僅靠一兩個老師無法完成。首先，要對內(nèi)容進(jìn)行改革，按模塊分類，再安排各模塊對應(yīng)的老師，主要包括以下幾方面措施。

（1）大力整合和建設(shè)數(shù)學(xué)建模課程常用的數(shù)據(jù)處理方法。整合機(jī)器學(xué)習(xí)、蒙特卡羅方法、統(tǒng)計分析、參數(shù)估計、線性或非線性擬合、插值、規(guī)劃、回溯搜索法、圖論、分支定界算法及數(shù)值分析算法等各種數(shù)據(jù)處理方法。

（2）開設(shè)相關(guān)線上或線下課程。幫助學(xué)生了解并掌握Python和Matlab語言的使用入門、數(shù)據(jù)處理、畫圖，建設(shè)與內(nèi)容（1）相對應(yīng)的程序資源庫。

（3）建立相應(yīng)的教學(xué)課件、教學(xué)案例資源庫。充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，將部分內(nèi)容制作成微課，有步驟、有計劃、分層分類地實(shí)施有針對性的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革，使更多學(xué)生從中受益。

（4）深入挖掘數(shù)學(xué)建模課程育人元素。數(shù)學(xué)建模從問題分析與假設(shè)開始，到模型構(gòu)建與求解，再到模型檢驗(yàn)與改進(jìn)，最后到論文寫作、實(shí)際應(yīng)用等，都滲透著豐富的育人元素。如：建模案例新冠肺炎病毒傳播機(jī)制的研究［22］，可以激發(fā)學(xué)生珍愛生命、尊重科學(xué)、熱愛祖國的熱情；通過具體問題的分析可以培養(yǎng)學(xué)生深入理解現(xiàn)象與本質(zhì)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)（主要變量）進(jìn)行研究的能力；論文的寫作過程可以引導(dǎo)學(xué)生形成實(shí)事求是、尊重科學(xué)、遵守學(xué)術(shù)道德的科研態(tài)度；模型的應(yīng)用與檢驗(yàn)可以培養(yǎng)學(xué)生理解理論與實(shí)踐關(guān)系的能力；小組競賽可以培養(yǎng)學(xué)生的溝通能力和合作意識。經(jīng)過這樣一個學(xué)習(xí)過程，學(xué)生解決實(shí)際問題的能力得到了加強(qiáng)，同時也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不畏艱難的精神，與國家和教育部關(guān)于“課程思政”的相關(guān)精神完全契合。

2.2 實(shí)施方案

有效的改革需要具體的實(shí)施方案，主要從以下四方面進(jìn)行。

（1）根據(jù)不同的專業(yè)，由淺入深地建立數(shù)學(xué)建模課程體系。任課教師和競賽團(tuán)隊成員需要搜集大量資料，閱讀大量文獻(xiàn)，篩選并整合網(wǎng)絡(luò)資源，系統(tǒng)化整理多年來在數(shù)學(xué)建模教學(xué)與一系列教學(xué)改革中所積累的大量素材，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模課程、講座、培訓(xùn)、輔導(dǎo)等形成體系，做到內(nèi)容循序漸進(jìn)且不重復(fù)。參與數(shù)學(xué)建模課程改革和數(shù)模競賽培訓(xùn)的老師，定期參加一次數(shù)學(xué)建模交流或培訓(xùn)會議，及時將獲取的前沿新動態(tài)和交流心得引入教學(xué)中。

（2）繼續(xù)第一階段的工作，重點(diǎn)完成資源庫建設(shè)。形成學(xué)生項(xiàng)目，讓學(xué)生參與相應(yīng)的程序編寫工作，使學(xué)生從中受益，以戰(zhàn)促進(jìn)步。數(shù)學(xué)建模課程先修課程是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，最好也學(xué)習(xí)一些概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識。因此，教師教學(xué)中需及時將數(shù)學(xué)建模課程相關(guān)的一些基礎(chǔ)知識建立相應(yīng)教學(xué)資源庫，供學(xué)生使用。

（3）在以上實(shí)施的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)建模案例庫建設(shè)。案例的選取要有代表性、實(shí)用性，還要考慮學(xué)生的實(shí)際學(xué)情。鼓勵學(xué)生以小組為單位開展案例討論，部分優(yōu)秀案例可以制作成微課程，并發(fā)布在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺上，供其他學(xué)生學(xué)習(xí)與借鑒。依托在線網(wǎng)絡(luò)平臺和信息技術(shù)，將理論與實(shí)踐分層分類，邊建設(shè)邊開展數(shù)學(xué)建模講座、全校通識平臺課和數(shù)學(xué)建模專業(yè)必修、選修課，真正做到以學(xué)生的“學(xué)”為中心，拓寬學(xué)生的視野，增長學(xué)生的知識面。

（4）最后，在整個改革實(shí)施過程中有機(jī)融入思政育人元素。針對章節(jié)內(nèi)容，深入挖掘與內(nèi)容相呼應(yīng)的思政育人元素；結(jié)合案例，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，訓(xùn)練學(xué)生的系統(tǒng)思維能力，從根本上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的情懷。

2.3 實(shí)踐成效

指導(dǎo)思想需要在實(shí)踐中學(xué)習(xí)，就好比在游泳中學(xué)會游泳。數(shù)學(xué)建模課程剛開始時，教師主要介紹建模的方法、論文的寫作，以及Lingo、Matlab對數(shù)據(jù)、規(guī)劃的應(yīng)用，鼓勵學(xué)生參加“泰迪杯”數(shù)據(jù)挖掘挑戰(zhàn)賽、“深圳杯”數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽、五一數(shù)學(xué)建模競賽以及校賽等。在這些比賽中，學(xué)生都是全身心投入，邊做邊學(xué)，知識、能力在一次次實(shí)戰(zhàn)中得到極大的提高。這些參賽項(xiàng)目都將計入課程平時考核分?jǐn)?shù)，學(xué)生能夠積極參與，過程中也能深刻體會學(xué)與用的區(qū)別，更能激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和求知欲等。在實(shí)踐中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足，找出短板，再開始學(xué)習(xí)、充電，迎接下一次挑戰(zhàn)。這樣幾輪下來，在論文的寫作、建模的認(rèn)識上學(xué)生都上了一個臺階。再經(jīng)過假期嚴(yán)格、系統(tǒng)的訓(xùn)練，學(xué)生會熱情飽滿地參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽。臺州學(xué)院數(shù)學(xué)建模經(jīng)過了多年的實(shí)踐，效果顯著，如圖2～3所示，自2019年以后的報名參賽隊伍均穩(wěn)定在25支以上，且2019年是教學(xué)改革措施實(shí)施的第一年，參賽成績就達(dá)到了歷史最高。2020年受疫情影響，將線下集訓(xùn)改為線上集訓(xùn)，導(dǎo)致教學(xué)成效大大降低，2021年依舊成績斐然，參賽獲獎率也高達(dá)50%。除此之外，2019年國賽獎項(xiàng)中包含國家二等獎，省賽獎項(xiàng)含省級一等獎；2020年國賽獎項(xiàng)中包含國家二等獎，美賽獎項(xiàng)突破H獎；2021年美賽獎項(xiàng)突破兩個H獎。獎項(xiàng)質(zhì)量大大提高，由此可見，教學(xué)改革措施實(shí)施效果顯著，值得推廣。

圖2 臺州學(xué)院參賽隊伍變化趨勢

圖3 臺州學(xué)院獲獎率變化趨勢

3 結(jié)語

在地方高校向應(yīng)用型轉(zhuǎn)型的背景下，本文針對數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革中所面臨的問題，探究了改革內(nèi)容并提出了相應(yīng)的解決方案。借助當(dāng)前互聯(lián)網(wǎng)和信息技術(shù)，結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)模式（數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)建模必修課、校通識平臺課程、暑期集訓(xùn)、講座、公共類課程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想等）和線上（將教學(xué)資源上傳到互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)平臺，學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際情況與需要選擇性自主學(xué)習(xí)，還可以在線提問，老師在線答疑等）線下共享模式，采取多種方法多種途徑擴(kuò)大學(xué)生的受益面。因此，繼續(xù)深入開展數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)改革，并在課程中有效融入思政育人元素對于培養(yǎng)應(yīng)用型復(fù)合人才有重要的實(shí)際意義。