由2022年八省聯(lián)考第8題引發(fā)的研究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

1 題目呈現(xiàn)

題目(2022年八省聯(lián)考第8題) 設(shè)a，b都是正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea+1+b

A.ab>eB.b>ea+1C.ab

學(xué)生普遍反映本題無(wú)從下手，很難建立題設(shè)與問(wèn)題間的關(guān)系.根據(jù)2021年全國(guó)高考乙卷第12題的結(jié)構(gòu)、命題點(diǎn)位、解題方法，考生有大概的思路：構(gòu)造，再利用單調(diào)性作答，但是很難具體實(shí)施解題思路.

2 試題解答

解析由aea+1+b

aea+1

①

提取公因式,得aea+1

②

③

④

⑤

⑥

⑦

因?yàn)閍，b都是正數(shù)，

⑧

⑨

3 解答說(shuō)明

本題還有其他構(gòu)造方法，只是構(gòu)造更加巧妙，對(duì)學(xué)生要求能力更高，尤其是等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，抽象概括的能力！

另解1 設(shè)φ(x)=xlnx-x，則

φ′(x)=lnx+1-1=lnx.

由前文知b>e，所以φ′(x)>0.

所以φ(x)=xlnx-x在(e,+∞)上單調(diào)遞增.

又φ(ea+1)=ea+1lnea+1-ea+1=(a+1)ea+1-ea+1=aea+1,由aea+1+b

所以φ(ea+1)<φ(b).所以b>ea+1.

另解2 設(shè)λ(x)=lnx+x(x>0)，

則λ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

由aea+1+b0,得

0

取自然對(duì)數(shù),得

lnaea+1

化簡(jiǎn),得lna+a+1

移項(xiàng),得lna+a

所以λ(a)<λ(lnb-1).

因此a

解得b>ea+1.

4 追根溯源

關(guān)于構(gòu)造思想，教材在不同章節(jié)均有一些思想滲透，我們要深入領(lǐng)悟.對(duì)導(dǎo)數(shù)而言，在人教A版選修2-2的第32頁(yè)安排了以下經(jīng)典證明習(xí)題：

(1)ex>1+x(x≠0).

(2)lnx

這兩個(gè)習(xí)題給我們提供了學(xué)習(xí)構(gòu)造法的平臺(tái)，從代數(shù)的角度可以分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1(x≠0)，h(x)=lnx-x(x>0)，g(x)=x-ex(x>0)，再利用這些函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.

也可以依托函數(shù)y=ex，y=1+x，y=x，y=lnx，在同一直角坐標(biāo)系中，通過(guò)圖象直觀感知不等式的正確性.事實(shí)上，基于這兩個(gè)不等式結(jié)構(gòu)和條件，我們可以構(gòu)造大量的不等式，例如：

(3)ex≥1+x((1)式擴(kuò)大定義域).

(4)ex-1>x(將(1)中x換成x-1).

(6)2lnn

5 常見(jiàn)構(gòu)造模式

(1)已知f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)g(x).

(7)已知f′(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)=exf(x).

(8)已知xf′(x)+f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)=xf(x).

(9)已知xf′(x)+nf(x)>0，構(gòu)造函數(shù)h(x)=xnf(x).

顯然，以上條件不等式中不等號(hào)變?yōu)樾∮谔?hào)，不影響函數(shù)構(gòu)造.

6 高考鏈接

A.a

C.b

于是f(0)=0，g(0)=0，h(0)=0，f(0.01)=a，g(0.01)=b，h(0.01)=c.

分別求導(dǎo)，得

所以g′(x)

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得b

故選B.

例2 (2015年全國(guó)高考Ⅱ卷理科第12題)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( ).

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1，+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0，1)∪(1，+∞)

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0,故當(dāng)x>0時(shí)，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，

故函數(shù)g(x)是偶函數(shù).

所以g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.

又g(-1)=g(1)=0,

當(dāng)00,則f(x)>0;

當(dāng)x<-1時(shí)，g(x)<0,則f(x)>0.

綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).

故選A．