求三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的幾種題型

田素偉

(上海市泥城中學(xué) 201300)

?？汲Ｐ碌娜呛瘮?shù)問(wèn)題，一直是高考的一個(gè)重點(diǎn)，近年來(lái)，數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)了一些重視基礎(chǔ)，考查能力的新型試題，特別是在三角函數(shù)中含參數(shù)的問(wèn)題更是精彩紛呈，如何求這類三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說(shuō)明.

1 構(gòu)造函數(shù)解不等式

例1已知實(shí)數(shù)a滿足sina2+sina>a2+a，則a的取值范圍是____.

解析將sina2+sina>a2+a變形為

sina2-a2>-(sina-a).

構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx-x，

所以sina2-a2>-(sina-a)可化為

f(a2)>-f(a).

又因?yàn)閒(-x)=sin(-x)-(-x)=-(sinx-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).

所以f(-a)=-f(a).

所以f(a2)>f(-a).

由f′(x)=cosx-1≤0知，f(x)在R上為減函數(shù).所以a2<-a.解得-1

所以a的取值范圍是-1

評(píng)析本題是通過(guò)觀察題中式子特征構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx-x，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式.

解析把eα-eβ=cosα-2cosβ變形為

eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ，

所以eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ可化為

f(α)=f(β)-cosβ.

因?yàn)閒(x)=ex-cosx,則f′(x)=ex+sinx>0.

所以f(β)-f(α)=cosβ>0.

所以f(β)>f(α).所以β>α.

2 雙變量問(wèn)題先確定主變量

解析由f(x)=x2021+x，顯然f(x)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，

即f(msinθ)>f(m-1)恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

設(shè)t=sinθ,則t∈[0,1].

所以msinθ>m-1可化為mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

這里有兩個(gè)變量m和t，因?yàn)閠的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù).

設(shè)f(t)=mt-m+1,

(1)當(dāng)m=0時(shí),此時(shí)f(t)=1>0符合題意;

(2)當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)f(t)=mt-m+1是關(guān)于t的一次函數(shù),

解得m<1且m≠0.

綜上可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1).

評(píng)析本題利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩個(gè)變量m和t的不等式，因?yàn)閠的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),一般情況下含兩個(gè)變量m和t的不等式，如果其中一個(gè)變量的取值范圍能確定，那么就以這個(gè)變量為主變量，另外一個(gè)變量作為參數(shù).

3 利用函數(shù)單調(diào)性求解

評(píng)析本題是含參數(shù)的三角不等式的恒成立問(wèn)題，不等式的恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.一般方法是不等式同解變形為a>f(x)或者af(x)恒成立(有解)?a>fmax(x)(a>fmin(x))；a

4 利用換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題

因?yàn)閠=cosx+sinx，所以t2=(cosx+sinx)2.

所以sin2x=t2-1.

不等式2sin2x-a(sinx+cosx)≤0可化為

2(t2-1)-at≤0.

所以本題可轉(zhuǎn)化為

評(píng)析本題通過(guò)換元把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的不等式恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

5 數(shù)形結(jié)合求解

圖1