巧用平面幾何性質 妙解解析幾何問題

李秋陽

(江蘇省包場高級中學,226151)

直線與圓是解析幾何中最基本的內容,直線和圓的性質以及直線與圓的位置關系十分重要,在高考中常以填空題的形式考查．利用性質解題可以簡化運算,被稱為“優(yōu)美解法”．在教學中應注意將幾何性質滲透到課堂教學的過程中,讓學生體會利用性質解題的優(yōu)越性．筆者在平時的教學中發(fā)現(xiàn)圓的一個性質經常在不同的題型中出現(xiàn),本文就這個性質的應用作一個簡單闡述．

性質從圓C外一點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則

(1)兩條切線長相等且?PAC,?PBC全等；

(2)P,C,A,B四點共圓且以PC為直徑；

(3)兩切點所在的直線方程即為兩圓的公共弦所在的直線方程．

一、利用性質解決最值或范圍問題

例1已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.

變式設C上存在點P,過點P向圓C1:x2+y2-2y-4=0作兩條切線PA,PB,切點為A,B,四邊形PAC1B的面積為10,求實數(shù)m的取值范圍.

評注例題和變式都是利用圓心、圓外的點和切點構成的三角形面積相等的性質來操作的,再使用數(shù)形結合,轉化與化歸的思想處理就輕而易舉了．這個性質可以拓展延伸:“過圓x2+y2=r2外一點P(m,n)引圓的兩條切線,切點為A,B,探究SΔPAB的值與定點和半徑的關系”．

二、利用性質解決定點問題

例2在平面直角坐標系xOy中,已知圓P的方程為x2+y2=4,過直線y=x-4上一點Q,作圓P的兩條切線,切點分別為A,B,證明直線AB恒過定點,并求出定點坐標．

變式已知圓C:x2+(y-4)2=1,直線l:2x-y=0,點P在直線l上,過點P作圓C的切線PA,PB,切點分別為A,B.求證:經過A,P,C三點的圓必經過定點,并求出所有定點的坐標．

評注這兩道題目是利用兩切點的直線即為公共弦以及兩切點、圓外的點、圓心四點共圓的性質來解決恒過定點問題的．這個性質還可以拓展延伸為:“已知圓的方程是x2+y2=r2,點P(m,n)是圓外一點，探究過點P的圓的切線與兩切點的直線方程的關系”．

三、利用性質解決實際問題

例3如圖1,陰影部分為古建筑物保護群所在地,其形狀是以O1為圓心、半徑為1 km的半圓面,公路l經過點O,且與直徑OA垂直,現(xiàn)計劃修建一條與半圓相切的公路PQ(點P在直徑OA的延長線上,點Q在公路l上),T為切點．

(1)按下列要求建立函數(shù)關系:① 設∠OPQ=a(rad),將?OPQ的面積S表示為α的函數(shù);② 設OQ=t(km),將?OPQ面積S表示為t的函數(shù);

(2)請您選用(1)中的一個函數(shù)關系,求?OPQ的面積S的最小值．

評注這道題目已知條件提供兩種方法,設角和設邊建立函數(shù)關系式．在設角的思路中,題目已經規(guī)定好設∠OPQ.本題解法是從隱含的幾何性質出發(fā),再尋求一種設角的方案,思路也比較清晰,操作簡單．同時還可以拓展延伸:“四邊形OBCD是邊長為3的正方形,P在邊BC上,Q在邊OD上，如何求四邊形OBPQ面積的最小值?”其中有關作切線的問題應用比較廣泛,不僅體現(xiàn)解析幾何的計算優(yōu)勢,而且還可以體現(xiàn)數(shù)學思想．

例4平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0,若直線y=k(x+1)上存在一點P,使過點P所作圓的兩條切線互相垂直,求實數(shù)k的取值范圍．

解 圓C的方程為x2+y2-4x=0,故圓心為C(2,0),半徑為R=2.設兩個切點分別為A,B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有可得點P的軌跡為(x-2)2+y2=8.又點P在直線上,即轉化為直線和圓有公共點,所以圓心到直線的距離小于等于由解得