2021年高考數(shù)學試卷綜合難度研究
——以教育部考試中心命制的四份理科試卷為例

朱秋霞 左浩德

(揚州大學數(shù)學科學學院,225009)

一、問題的提出

2014年,《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》(以下簡稱《意見》)要求,使用“全國卷”的省份將于2015年后逐年增加,迄今為止已增加到27個,成為推進高考改革的一部分．2021年,高考綜合改革在多地推進,山東、福建、廣東、江蘇、湖南、湖北、河北使用新高考I卷;遼寧、重慶、海南使用新高考II卷;原有的全國III卷改為全國甲卷,適用于云南、廣西、貴州、四川、西藏;原有的全國I卷、II卷合并為全國乙卷,適用河南、山西等12個省份．在此背景下,新高考卷的難度成為多方關注的焦點．但僅從試卷的命題形式判斷其難度變化只能得到淺顯的結(jié)論,為此需要進行深入研究．

本研究所參照的綜合難度模型,由Nohara 2001年提出,以總體難度(Overall difficulty)概念為基礎．在該模型的指導下,我國學者鮑建生以中英兩國的數(shù)學教材為載體,對例習題的難度加以比較,改進了Nohara綜合難度模型存在的缺憾,建立基于我國教育現(xiàn)狀的數(shù)學課程綜合難度模型．隨后幾年,教材難度比較類文章俯拾皆是,在理論研究方面有更進一步的發(fā)展,能夠更加科學地分析數(shù)學試題的綜合難度．本文以2021年的高考試卷為研究對象,給出進一步的定量和定性分析．

二、研究方法

1.研究對象

2021年全國甲、乙卷的文、理科數(shù)學試卷,新高考I卷、II卷的數(shù)學試卷(不分文理),共6套.由教育部考試中心命制．為了方便比較,本文選取2021年的四份高考試卷,分別為全國I卷、II卷,全國甲卷(理)和乙卷(理)．全國I卷、II卷各22題,全國甲卷(理)和乙卷(理)為23題．

2.研究工具

參考張怡、武小鵬在鮑建生難度模型基礎上改進的高考試題綜合難度模型．他們考慮到教材與標準化考試尤其是高考試題的不同,以鮑建生難度模型為基礎,增加了“思維方向”和“是否含參”因子，吸收前人研究成果.本研究主要從背景因素、數(shù)學認知、運算水平、推理能力、知識綜合、思維方向和是否含參7個維度展開．

為了量化分析每個水平,需要對各個維度中的不同水平賦予一定的權(quán)重系數(shù),根據(jù)具體情況對試題中的7個維度進行編碼,再利用下列模型進行計算.

(1)

其中,di(i=1,2,3,4,5,6,7)表示不同的維度,dij為第i個維度中的第j個水平的權(quán)重(依水平分別取1，2，3…)，nij則表示這組數(shù)第i個維度中國的第j個水平的題目的個數(shù),n表示題目的總體數(shù)量,以此分析該組題目的綜合難度模型,見圖1.

按照武小鵬對各難度水平內(nèi)涵的描述,對2021年高考數(shù)學4份試卷進行編碼,編碼示例如下:

例1(2021年新高考I卷22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1) 討論f(x)的單調(diào)性;

此試題包含以下特征:無背景(建立在純數(shù)學知識條件下)、分析水平(解題時需要深入分析并綜合應用各個條件)、復雜符號運算(涉及復雜關系的證明)、復雜推理(推理步驟大于3步)、兩個以上知識點(導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造函數(shù)證明不等式,利用導數(shù)研究極值點)、逆向思維(按照已掌握知識的順序,逆向解決問題)、有參數(shù)(含參數(shù)a,b)．

例2(2021年新高考II卷9)下列統(tǒng)計量中,能度量樣本x1,x2,…,xn的離散程度的是( )

(A)樣本x1,x2,…,xn的標準差

(B)樣本x1,x2,…,xn的中位數(shù)

(C)樣本x1,x2,…,xn的極差

(D)樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)

此題特征:無背景(建立在純數(shù)學知識條件下)、理解水平(只需要理解標準差,中位數(shù),極差,平均數(shù)的概念)、無數(shù)值運算(未涉及數(shù)值計算)、簡單推理(直接由概念即可推出結(jié)果)、兩個以上知識點(考查了標準差,中位數(shù),極差,平均數(shù)的概念)、順向思維(按照已掌握知識安排順序,順向解決問題)、無參數(shù)(未涉及到參數(shù))．

三、研究結(jié)果

本研究對2021年高考數(shù)學全國I卷、II卷、全國甲卷(理)和乙卷(理)四份試卷7個不同的難度因子進行比較,繼而用綜合難度模型進行整體分析．

1.背景因素

四套試卷所選試題大部分以無背景為特征,圍繞數(shù)學知識本身展開,雖對背景因素考察較少,但并非完全沒有涉及.就所考查到的背景因素來看,每份試卷各有側(cè)重,全國I卷以民間剪紙術(shù)、“一帶一路”知識競賽為背景,主要考查數(shù)學與人文藝術(shù);全國II卷以北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)、微生物群體繁殖為背景,考查數(shù)學與科技;全國甲卷有4題含背景的題目,分別包含某地農(nóng)戶家庭年收入、青少年視力問題、三角高程測量法測珠峰、機床生產(chǎn)產(chǎn)品等公共生活方面的內(nèi)容,都是數(shù)學與生活類的試題；只有全國乙卷第9題借助劉徽《海島算經(jīng)》考查數(shù)學史知識．總體來說,全國I，II卷含有背景的都只有2題,占比9.1%,全國甲卷占比最多,約17.4%,但沒有一套試卷能涵蓋所有的背景元素．

2.數(shù)學認知

不難發(fā)現(xiàn),高考對學生數(shù)學認知水平方面的考查較為全面,全國II卷和全國甲卷(理)在認知水平的三個層次上差異不大,對理解和分析層次考查較多,而全國I卷對應用層次的考查明顯高于其他三套試卷,但是理解層次的考查難度最低．

3.運算水平

4.推理能力

四套試卷在推理水平上存在較大差異,全國I卷對復雜推理的考查達到60%,例如第12題所包含的立體幾何線面的位置關系問題,需要運用線線垂直、線面垂直、線面平行的判定定理等知識,并多次進行演繹推理,推理過程較為復雜,屬于難題．而甲卷(理)的比重約為35%,全國I卷、II卷、甲卷(理)、乙卷(理)需要簡單推理的試題數(shù)量逐漸增多,而需復雜推理的試題數(shù)量逐漸降低．

5.知識綜合

雖然四套試卷所考查的知識點各有側(cè)重,但是知識綜合這一水平的考查均涉及兩個及以上知識點,高考的綜合性特征由此可見．全國I卷、II卷兩個以上知識點的含量相當,相較甲、乙卷,I卷和II卷在題型設置上增設多選題一類,而多選題往往涉及多個知識點,要想拿到全分要求學生精確理解題目中所包含的定義,并且融會貫通,所以知識綜合性較強．全國甲卷理科對兩個知識點的考查遠遠高于其他三套試卷,達到60%,但是三個及以上的知識點占比較低．

6.思維方向

四套試卷對逆向思維的考查數(shù)量遞增趨勢:全國I卷<全國乙卷(理)<全國甲卷(理)<全國II卷,說明全國II卷更加重視學生的逆向思維、發(fā)散思維．但從上表可以發(fā)現(xiàn),試卷的考查仍以順向思維為主導,可見高考試卷大多以順向思維為主,重視在學生自主構(gòu)建過程中提升思維品質(zhì),培養(yǎng)其創(chuàng)新意識和理性思維能力．

7.含參情況

從表1可以看出,甲卷理科和乙卷理科含參的題目相同,并且I卷的基本情況與這兩份試卷相差不大,II卷含參數(shù)的試題與不含參數(shù)的試題各占一半,可以發(fā)現(xiàn)高考中還是無參數(shù)的試題居多,由此可見,在高考中,試題的命制以學生的基礎知識、基本技能和基本數(shù)學思想方法為主要考查方面．

表1 全國I卷、國II卷和國甲卷(理)、乙卷(理)試題綜合統(tǒng)計

8.綜合難度

統(tǒng)計各維度的題目數(shù)量,以此更加深入分析本研究所選的四套試卷的綜合難度水平,并利用公式(1),計算各因素的加權(quán)平均,得到下表2.

表2 四套高考試卷難度因素的加權(quán)平均

經(jīng)過各方比較,為更加科學地反映上述試卷的綜合難度,可以形成以下試題綜合難度系數(shù)模型,如圖2．

通過四套試卷的雷達圖可以看到:四份試卷考查的側(cè)重點整體相近,運算水平、推理能力、數(shù)學認知存在明顯差異,全國I卷部分維度系數(shù)較大,難度較高．從表2可以發(fā)現(xiàn),全國I卷難度系數(shù)為13.46,試卷難度最大,全國乙卷理科難度系數(shù)為12.72,難度最?。?/p>

四、教學建議

從難度的角度分析,結(jié)合以上四套試卷比較情況,提出以下教學建議．

1.強化數(shù)學思維,提升認知水平

上述研究可知,高考試卷對學生的認知水平有一定的要求,而認知水平需要學生的思維能力．在教學中,要重視基本概念的生成過程,挖掘概念的本質(zhì),幫助學生構(gòu)建知識體系和方法體系,并通過一題多解、一法多用、一題多變等手段建構(gòu)知識脈絡,促進學生思維能力的發(fā)展,理性思維和科學精神的養(yǎng)成以及認知水平的提升．

2.緊跟命題思路,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

綜合難度模型為我們提供了可供參考的信息,運算水平、知識綜合、認知水平等難度因素與所提倡的數(shù)學六大核心素養(yǎng)密切相關,對試題綜合難度的分析可以看出,高考數(shù)學試題命題緊緊圍繞數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng),對學生的綜合能力進行考查,所以在高考復習過程中,也應緊緊圍繞學生核心素養(yǎng)開展教學,只有緊跟命題思路,重視培養(yǎng)學生核心素養(yǎng),才能夠讓復習工作達到駕輕就熟的境地,面對高考得心應手．

3.遵循課程標準,參照高考評價體系

本文的試卷綜合難度分析并不是功利化的表現(xiàn),可以引導教師理解考綱,準確把握考綱,適應考綱,即要把考綱放在一定的問題中,遵循課程標準,參照評價體系．在高考復習時堅持獨立思考,不人云亦云,同時腳踏實地,將盡可能全面地將知識內(nèi)化吸收,這樣在高考復習中才能達到游刃有余的境地,最終收獲成功．