類(lèi)比概括 回歸本質(zhì)
——“弧度制”教學(xué)實(shí)錄

宮建紅

(1.華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，200062;2.江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué),212200)

章建躍博士說(shuō)過(guò):“概念教學(xué)的核心就是概括,概念教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷概括的過(guò)程,要精雕細(xì)琢地設(shè)計(jì)概念的概括過(guò)程”.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)核心是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力,讓學(xué)生體會(huì)從具體感知到抽象形成的完整過(guò)程.本文以“弧度制”的教學(xué)為例，以背景——定義——表示——聯(lián)系——應(yīng)用為主線,從度量的本質(zhì)出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)定義生成、知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程,探索概念教學(xué)的方法和具體的教學(xué)環(huán)節(jié).現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程記錄如下,以供交流研討.

一、 創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)定義

環(huán)節(jié)1 梳理體系,形成大觀念

師:上節(jié)課我們對(duì)角的概念進(jìn)行了推廣,從靜態(tài)地刻畫(huà)角變成了動(dòng)態(tài)刻畫(huà);知道了描述一個(gè)任意角,需要兩個(gè)關(guān)鍵因素是——旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量;并對(duì)任意角進(jìn)行了分類(lèi),分為——正角、零角和負(fù)角.在實(shí)際生活中,尤其是在天文、航海、測(cè)繪等方面有著非常廣泛的應(yīng)用,因而還需要對(duì)角進(jìn)行定量表示以及數(shù)據(jù)運(yùn)算.今天,我們就一起來(lái)探討角的度量問(wèn)題.

環(huán)節(jié)2 提出問(wèn)題,回到最近發(fā)展區(qū)

問(wèn)題1怎樣度量一個(gè)角的大小?(PPT)

師:給你一個(gè)角,你會(huì)度量它的大小嗎?

生(齊):用量角器.

師:這里運(yùn)用的是“角度制”,以周角的1/360為1度的角,用度作為單位度量角的大小,并規(guī)定:60′=1°,60″=1′.因此，角度制是多少進(jìn)制?

生:60進(jìn)制.

師:這種“以角量角”的度量方法起源于古巴比倫.為什么將圓周角等分成360份,說(shuō)法很多,但都無(wú)從考證.可以考證的是當(dāng)時(shí)對(duì)弧長(zhǎng)、半徑等長(zhǎng)度的度量也是采用的60進(jìn)制.

環(huán)節(jié)3 分析舊知,構(gòu)建概念同化基礎(chǔ)

師:從三角學(xué)的發(fā)展歷史看,三角學(xué)是依托圓而存在的.因此,我們可以采用等分的思想,先定義度量的單位——1度的角,再進(jìn)行度量.盡管“角度制”的定義依托圓周,但一定大小的角與圓周的大小(即半徑大小)是無(wú)關(guān)的.大家一定都記得,在小學(xué)時(shí)的一個(gè)實(shí)驗(yàn):用大小不同的量角器去度量同一個(gè)角,大小不變,這是“角度制”定義合理性的一個(gè)有力證明.(同步板書(shū))

環(huán)節(jié)4 創(chuàng)設(shè)情境,形成認(rèn)知沖突

師:角度既可以度量角,也可以進(jìn)行運(yùn)算.

情境129°28′46″+48°51′36″=?

學(xué)生獨(dú)立運(yùn)算,給出答案 78°20′22″.(由于不是熟悉的十進(jìn)制,沒(méi)能快速報(bào)出答案)

師:如果是熟悉的十進(jìn)制,計(jì)算速度就快多了.隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)使用10進(jìn)制更為便捷.

情境2如圖1所示,某航海家從A點(diǎn)航行一定的距離到達(dá)B點(diǎn),已知他的起始位置和航行距離,怎么確定運(yùn)動(dòng)后航船的位置呢?

師:從地心觀察,小船進(jìn)行的是圓周運(yùn)動(dòng),如果知道移動(dòng)的角度,也就知道了經(jīng)度和緯度,就可以進(jìn)行導(dǎo)航了.這時(shí)還能用量角儀器量嗎?

生:不能.

師:這時(shí)候“以角量角”行不通了,還可以用其它量去度量角的大小嗎?

環(huán)節(jié)5 自主探究,建構(gòu)定義

問(wèn)題2還可以用其它量度量角的大小嗎?

生:我覺(jué)得可以用半徑r,弧長(zhǎng)l來(lái)度量.因?yàn)榻堑淖兓c半徑和弧長(zhǎng)有關(guān)系：若角α給定,半徑r越大，弧長(zhǎng)l越大；若半徑r給定，角α越大,弧長(zhǎng)l越大.

師：能否用其它量來(lái)度量角的大小,且與圓的半徑大小無(wú)關(guān)？

師:通過(guò)從特殊到一般的方法,發(fā)現(xiàn)弧與它所在圓的半徑的比值是一個(gè)常數(shù),與半徑大小無(wú)關(guān).

師:通過(guò)代數(shù)方法驗(yàn)證:利用已知的弧長(zhǎng)公式,探索圓心角、所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值隨角的確定而唯一確定.

師:通過(guò)幾何方法類(lèi)比弦長(zhǎng)/半徑,得到弧長(zhǎng)/半徑也是定值.不論是特殊到一般、代數(shù)方法還是幾何方法,都能得出共同的結(jié)論:同一個(gè)圓心角所對(duì)的弧與它所在圓的半徑的比值是一個(gè)常數(shù),與圓半徑的大小無(wú)關(guān).也就是說(shuō),角可以由弧長(zhǎng)與半徑的比值去度量,并且如此度量角的大小是唯一確定的.如果選取單位圓,取r=1,也就是可以用弧的長(zhǎng)度去度量角的大小了,所以把這種用弧長(zhǎng)去度量角的方式稱(chēng)之為“弧度制”.弧度制的本質(zhì)是使用線段長(zhǎng)度度量角的大小,這就是300多年前歐拉定義的“弧度制”,也是今天所要共同學(xué)習(xí)的“弧度制”.

問(wèn)題3如何建立一種新的度量角的制度?首先要定義“單位”!

師: 如何定義1弧度的角呢?

生:弧長(zhǎng)/半徑值為1的角,稱(chēng)為1弧度的角.

師:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度(rad)的角;特別地,在單位圓中，長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角就為1 rad的角,用符號(hào)1 rad表示讀作1弧度.因?yàn)榛￠L(zhǎng)/半徑,為兩個(gè)長(zhǎng)度之比,所以今后用弧度制表示角的時(shí)候,只要不引起歧義,“弧度”二字或“rad”通常略去不寫(xiě).

二、正例強(qiáng)化，理解定義

師: 如何用弧度制度量角呢?解決情境2中的問(wèn)題.

師: 有了度量的單位,你能度量其它角嗎?如圖4所示(動(dòng)態(tài)生成,考慮角的旋轉(zhuǎn)方向)

生口答:∠AOB為1弧度角,∠AOC為2弧度角,∠DOA為-3弧度角,一周角為2π弧度角.

師:度量角我們可以用角度、弧度不同的單位制.生活中還有哪些是可以用不同單位制去度量的呢,你能想到嗎?

生:度量長(zhǎng)度可以用米、英尺、碼、千米、公里、光年等;度量重量可以用千克、克、磅等.

師:我們知道一個(gè)量可以用不同的單位制來(lái)度量,不同的單位制各有優(yōu)點(diǎn),且互相可以轉(zhuǎn)化,這樣不同的單位制就給解決不同的問(wèn)題帶來(lái)方便.現(xiàn)在已經(jīng)有了兩種角的度量制,它們之間應(yīng)如何換算呢？

問(wèn)題4“角度制”和“弧度制”之間如何互相轉(zhuǎn)化?

學(xué)生回答、總結(jié)角度與弧度的互化,明確核心公式π=180°，以及換算公式:

設(shè)計(jì)意圖在建構(gòu)弧度制的有關(guān)概念之后,應(yīng)思考，對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從不同的角度去研究它,所得的結(jié)論一定有內(nèi)在聯(lián)系.所以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)聯(lián)系兩種度量制的橋梁，可以讓學(xué)生進(jìn)一步明確角度制和弧度制之間的聯(lián)系,在此基礎(chǔ)上深化對(duì)角度與弧度之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)和理解.

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用，鞏固深化

練習(xí)1特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表(表1):

表1

練習(xí)2非特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的轉(zhuǎn)化(例題略).

練習(xí)3引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)在弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式:

師:弧度制下扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式得到大大簡(jiǎn)化,這是弧度制優(yōu)越性的又一個(gè)體現(xiàn)(表2).以后學(xué)到三角函數(shù)以及學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以后,還可以進(jìn)一步體會(huì)到使用弧度制的優(yōu)越性.

表2

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),需要與原有知識(shí)建立聯(lián)系,在相互對(duì)比中思考其優(yōu)劣,在尋求聯(lián)系中完善其結(jié)構(gòu),在追求真實(shí)簡(jiǎn)潔、和諧美妙中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神.這里,通過(guò)新舊知識(shí)的對(duì)比,讓學(xué)生體會(huì)弧度制的優(yōu)越性.在此環(huán)節(jié)重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn):(1)角度制與弧度制的互化，緊扣360°=2π rad;(2)弧度制下扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式的簡(jiǎn)潔性.

四、總結(jié)拓展，分層作業(yè)

師: “角度制”和“弧度制”之間有什么區(qū)別、聯(lián)系呢?

學(xué)生回答,教師總結(jié)提煉,并完成黑板上的表格.

(1)角度制是以“度”為單位度量角的制度,弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度;角度的單位不能省略,弧度的單位可以省略.

(2)角度制是六十進(jìn)制的,弧度制是十進(jìn)制的(弧度制優(yōu)越性的體現(xiàn)).采用弧度制，任意角的集合和實(shí)數(shù)集可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,即每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng),同時(shí)每個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角與它對(duì)應(yīng).

(3)不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值;

(5)互化公式、弧長(zhǎng)公式和面積公式.

師:本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?掌握了哪些方法?體會(huì)了哪些思想?今后還要學(xué)習(xí)什么呢?

設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課類(lèi)比長(zhǎng)度和角度的單位制構(gòu)建的過(guò)程,探究發(fā)現(xiàn)度量角的新單位制(弧度制),在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,可以為研究三角函數(shù)提供理論的準(zhǔn)備,帶來(lái)很大的方便.通過(guò)小結(jié),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:構(gòu)建一種單位制的一般過(guò)程,即從特殊事物中揭示一般規(guī)律,不僅要學(xué)習(xí)弧度制這方面知識(shí),還要梳理、概括出研究過(guò)程是什么,促進(jìn)學(xué)生明確研究?jī)?nèi)容,掌握研究的方法,體會(huì)研究的價(jià)值,感悟獲得這些知識(shí)的心路歷程.