MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差分析與建模

張 萌， 王 虹， 呂 東

(南京理工大學(xué)，南京 210000)

0 引言

MEMS(Micro-Electro-Mechanical System)陀螺儀具有尺寸較小、成本低廉、集成度高、可靠性好等一系列優(yōu)點(diǎn)，在慣性導(dǎo)航、工業(yè)控制、航空航天及電子產(chǎn)品等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。在軍事方面，常規(guī)武器的制導(dǎo)化與戰(zhàn)術(shù)制導(dǎo)武器的小型化已成為各國(guó)武器裝備的發(fā)展趨勢(shì)[1]。而制導(dǎo)武器所需的陀螺儀精度較高，受微機(jī)械工作原理、構(gòu)造及加工制作水平的影響，MEMS陀螺儀的測(cè)量精度往往無(wú)法滿足武器裝備信息化、數(shù)字化的使用需求，極大地制約了MEMS陀螺儀的發(fā)展和應(yīng)用。特別是MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移誤差，沒有明確的出現(xiàn)規(guī)律且較易受到外界環(huán)境的影響，是限制陀螺儀精度提高的主要因素。陀螺儀的隨機(jī)漂移誤差是由外干擾力矩引起的，隨時(shí)間做無(wú)規(guī)律變化，并且較易受到周圍環(huán)境的影響，嚴(yán)重限制陀螺儀精度提高。由此，本文針對(duì)MEMS陀螺儀采集的原始靜態(tài)數(shù)據(jù)，運(yùn)用改進(jìn)的Allan方差分析法辨識(shí)其隨機(jī)誤差成分，得出各項(xiàng)誤差的特征參數(shù)，建立隨機(jī)誤差的自回歸滑動(dòng)平均(Auto-Regressive and Moving Average，ARMA)模型。

1 MEMS隨機(jī)誤差分析

MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差辨識(shí)方法主要有自相關(guān)分析法、功率譜密度法和Allan方差分析法等[2]。其中：自相關(guān)分析法需要長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)據(jù)采集才能取得較好的效果，分析效率低；功率譜密度法從頻域角度分析誤差，但難以通過功率譜密度分離誤差；Allan方差能細(xì)致地辨識(shí)各項(xiàng)誤差源，計(jì)算簡(jiǎn)便。

1.1 Allan方差與隨機(jī)誤差關(guān)系

假設(shè)MEMS陀螺儀輸出的各誤差相互獨(dú)立，則Allan方差和MEMS陀螺儀的雙邊功率譜間有唯一確定的關(guān)系，即

(1)

研究表明，MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差主要包括量化噪聲、角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走和速率斜坡，可用Allan方差分別表示[3]。

1)量化噪聲(Quantization Noise)。

量化噪聲由A/D轉(zhuǎn)換過程產(chǎn)生，在采樣瞬間的誤差是隨機(jī)且不相關(guān)的，其Allan方差為

(2)

式中,Q為量化噪聲的方差。

2)角度隨機(jī)游走(Angle Random Walk)。

角度隨機(jī)游走是MEMS陀螺儀輸出的角速度白噪聲的時(shí)間積分，其Allan方差為

(3)

式中，N2為白噪聲功率譜密度。

3)零偏不穩(wěn)定性(Bias Instability)。

零偏不穩(wěn)定性誤差源自電子線路和其他元件的閃爍噪聲，主要指低頻的零偏抖動(dòng)，其可描述為

(4)

式中，B為零偏不穩(wěn)定系數(shù)。

4)角速率隨機(jī)游走(Angle Rate Random Walk)。

角速率隨機(jī)誤差來源不確定，可能是由MEMS陀螺儀內(nèi)部晶振老化引起的，其Allan方差為

(5)

式中，K為角速率隨機(jī)游走系數(shù)。

5)速率斜坡(Rate Ramp)。

漂移速率斜坡可以認(rèn)為是確定性誤差，可表示為

(6)

式中，R為速率斜坡系數(shù)。

1.2 改進(jìn)Allan方差原理

經(jīng)典Allan方差對(duì)MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差分辨率較低，隨機(jī)誤差項(xiàng)出現(xiàn)時(shí)間模糊[4]。本文采用改進(jìn)Allan方差法分析MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)，其原理描述如下。

設(shè)置MEMS陀螺儀的采樣時(shí)間間隔為τ0，得到總數(shù)為L(zhǎng)的數(shù)據(jù)樣本ω1(τ0),ω2(τ0),…,ωL(τ0)，將數(shù)據(jù)劃分為不同長(zhǎng)度的子集，每個(gè)子集的采樣間隔為τ=nτ0，n=1,2,3,…,N1(N1≤(L-1)/2)[5]。當(dāng)n≥2時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行兩次分組，分別計(jì)算其Allan方差，取二者均值作為該組Allan方差值。

當(dāng)n=1時(shí)，角速率序列分組為：ω1(τ0),ω2(τ0),…,ωk(τ0)。當(dāng)n=2時(shí)，兩次分組的數(shù)據(jù)序列如圖1所示。

圖1 n=2時(shí)數(shù)據(jù)的分組情況

(7)

(8)

1.3 數(shù)據(jù)采集與誤差辨識(shí)

以STM32F103T8U6為核心芯片搭建MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，利用USB接口將采集到的陀螺儀靜態(tài)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳輸至PC機(jī)。本文所用的實(shí)驗(yàn)對(duì)象是1933GST2202003，設(shè)置溫箱為30 ℃，陀螺儀保溫1 h，采集數(shù)據(jù)如圖2(a)所示，陀螺儀輸出數(shù)據(jù)均值為3.047 8(°)/s。計(jì)算改進(jìn)Allan方差并繪制雙對(duì)數(shù)曲線如圖2(b)所示。

圖2 MEMS陀螺儀隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)和改進(jìn)Allan方差及擬合曲線

利用最小二乘法擬合陀螺儀誤差參數(shù)，與經(jīng)典Allan方差對(duì)比，結(jié)果如表1所示[6]。主要誤差表現(xiàn)為零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走以及速率斜坡。

表1 改進(jìn)前、后Allan方差對(duì)比

改進(jìn)前、后Allan方差的分析結(jié)果與產(chǎn)品提供的特征參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走和速率斜坡分別減少20.61%，17.54%，19.31%。本文改進(jìn)Allan方差的分析結(jié)果更加接近產(chǎn)品提供的特征參數(shù)，結(jié)果表明，改進(jìn)后的Allan方差分析效果更優(yōu)。

2 MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差建模

時(shí)間序列方法是一種經(jīng)典的信號(hào)處理方法，廣泛應(yīng)用于陀螺儀隨機(jī)誤差建模領(lǐng)域[7]。

2.1 MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)預(yù)處理

時(shí)間序列建模所用數(shù)據(jù)為滿足零均值、平穩(wěn)、正態(tài)等條件的隨機(jī)序列，因采集環(huán)境及MEMS陀螺儀工藝等問題，其輸出一般不滿足建模條件。因此，在建模前需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理和數(shù)據(jù)檢驗(yàn)[8]。

建模數(shù)據(jù)的預(yù)處理過程可分為野值剔除、零均值處理和趨勢(shì)項(xiàng)剔除3步。

1)野值剔除：MEMS陀螺儀野值是指采集過程中受到周圍環(huán)境影響產(chǎn)生的粗大誤差，根據(jù)萊依達(dá)準(zhǔn)則剔除野值的依據(jù)是以3倍標(biāo)準(zhǔn)差為閾值，將超過此值的數(shù)據(jù)剔除。

2)零均值處理：受采集系統(tǒng)的硬件及溫度等影響，原始數(shù)據(jù)一般為非零均值序列，將1)中數(shù)據(jù)均減去序列均值，即可得到零均值序列。

3)趨勢(shì)項(xiàng)剔除：選用最小二乘法擬合MEMS陀螺儀靜態(tài)數(shù)據(jù)中的趨勢(shì)項(xiàng)參數(shù)，零均值序列減去趨勢(shì)項(xiàng)即可。

MEMS陀螺儀原始數(shù)據(jù)與預(yù)處理后的數(shù)據(jù)見圖3。

圖3 MEME陀螺儀原始數(shù)據(jù)及預(yù)處理后數(shù)據(jù)

2.2 MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

MEMS陀螺儀數(shù)據(jù)檢驗(yàn)包括平穩(wěn)性檢驗(yàn)與正態(tài)性檢驗(yàn)，一般認(rèn)為陀螺儀的輸出數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，主要對(duì)平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。

采用逆序檢驗(yàn)法對(duì)預(yù)處理數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，設(shè)預(yù)處理后的時(shí)間序列為x1,x2,x3,…,xn,n≤L，將其分成I個(gè)子序列，求出每個(gè)子序列的均值{u1,u2,u3,…,ui}，對(duì)于其中任一均值up(p≤i)，若有up>uq(p

(9)

(10)

Rvar=I(2I2+3I-5)/72

(11)

(12)

當(dāng)取顯著水平a=0.05時(shí)，若|Z|≤1.96，則該序列為平穩(wěn)序列[9]。

將預(yù)處理后的數(shù)據(jù)分成10組，按上述方法計(jì)算Z的值為0.214 1，滿足平穩(wěn)性要求，認(rèn)為處理后的數(shù)據(jù)適用于時(shí)間序列建模。

2.3 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ妥R(shí)別與定階

經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理及檢驗(yàn)，可通過建立時(shí)間序列模型來擬合陀螺儀隨機(jī)誤差，最常用的模型為自回歸模型(AR)、滑動(dòng)平均模型(MA)以及結(jié)合兩者的自回歸滑動(dòng)平均模型[10]。MEMS陀螺儀輸出數(shù)據(jù)的時(shí)域遞推形式，即ARMA(p,q)模型，為

(13)

式中：ε(n)為高斯白噪聲；φk為自回歸系數(shù)；φk為滑動(dòng)平均系數(shù)。p=0時(shí)，式(13)為MA(q)模型；q=0時(shí)，式(13)為AR(p)模型。具體模型可由數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)(ACF)與偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)確定[11]，如表2所示。MEMS陀螺儀的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)見圖4。

表2 平穩(wěn)時(shí)間序列自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)特征

圖4 MEMS陀螺儀的自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)

如圖4所示，自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)均表現(xiàn)出明顯的拖尾性，適用ARMA(p,q)模型。

模型階次可由最小信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)確定[12]。AIC是一種廣泛應(yīng)用的ARMA模型的定階準(zhǔn)則，定義為

(14)

AIC應(yīng)用于簡(jiǎn)單的時(shí)間序列模型，在分析大樣本時(shí)，確定的模型階次比真實(shí)的階數(shù)高。BIC彌補(bǔ)了AIC的缺陷，其定義為

(15)

計(jì)算MEMS陀螺儀的AIC與BIC值，ARMA(1，1)模型的值使二者最小，故選擇ARMA(1，1)建立MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差模型,即

x(t)=0.476 425x(t-1)+ε(t)-0.455 909ε(t-1)

(16)

式中,ε(t)～N(0,0.006 3)。

經(jīng)上述過程得到所選MEMS陀螺儀的漂移誤差模型(即式(16))，繪制預(yù)處理后實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與建模結(jié)果前100 點(diǎn)，對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 隨機(jī)誤差與建模結(jié)果對(duì)比

陀螺儀的隨機(jī)漂移誤差可認(rèn)為是白噪聲過程，當(dāng)陀螺儀上電后，輸出逐漸平穩(wěn)，可假定此時(shí)的輸出數(shù)據(jù)為該陀螺儀的隨機(jī)漂移誤差，因此適用于式(16)模型。陀螺儀處于振動(dòng)環(huán)境時(shí)的誤差為靜態(tài)時(shí)的誤差疊加振動(dòng)輸入相關(guān)的誤差，也可用式(16)模型代替該陀螺儀靜態(tài)時(shí)的誤差。

陀螺儀的刻度因素誤差、安裝誤差和確定性漂移能夠通過標(biāo)定實(shí)驗(yàn)進(jìn)行補(bǔ)償，但剩余的隨機(jī)漂移誤差卻無(wú)法通過標(biāo)定來確定，本文采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為標(biāo)定后的陀螺儀輸出數(shù)據(jù)，所建立的模型為陀螺儀隨機(jī)漂移誤差模型。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文采用改進(jìn)Allan方差法對(duì)實(shí)測(cè)陀螺儀數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定各項(xiàng)誤差的特征參數(shù)，與產(chǎn)品提供數(shù)據(jù)手冊(cè)對(duì)比可知,用改進(jìn)Allan方差分析MEMS 陀螺儀隨機(jī)誤差是有效的。對(duì)預(yù)處理后的陀螺儀X軸數(shù)據(jù)建立時(shí)間序列模型，在誤差允許范圍內(nèi)，陀螺儀隨機(jī)誤差與建模數(shù)據(jù)基本一致，實(shí)現(xiàn)了MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差的時(shí)間序列建模。