三類抽象函數(shù)問(wèn)題的解法探究

郭美玲

因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)沒有具體的函數(shù)表達(dá)式，所以很多同學(xué)不能正確地理解抽象函數(shù)，在面對(duì)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)不知所措.對(duì)此，筆者對(duì)抽象函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、不等式問(wèn)題進(jìn)行了研究，并對(duì)這三類問(wèn)題的解法作了歸納，下面結(jié)合實(shí)例加以說(shuō)明.

一、抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

求解抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，需首先在函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上任意選取兩個(gè)自變量的值x、x（x<x），然后將f（x）與f（x）作差或作商，比較出二者的大小.若f（x）<f（x），則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增;若f（x）>f（x），則函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.對(duì)于復(fù)合函數(shù)，需遵循“同增異減”的原則來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

例1.已知函數(shù)y=f（x）是一個(gè)奇函數(shù)，在區(qū)間[3，7]上單調(diào)遞增，且f（x）=5，那么在區(qū)間[-7，-3]上（）.

A.f（x）單調(diào)遞增且f（x）=-5

B.f（x）單調(diào)遞增且f（x）=-5

C.f（x）單調(diào)遞減且f（x）=-5

D.f（x）單調(diào)遞減且f（x）=-5

解：已知函數(shù)y=f（x）是一個(gè)奇函數(shù)，且在區(qū)間[3，7]上單調(diào)遞增，所以f（-x）=-f（x），

則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-7，-3]上單調(diào)遞增.

畫出函數(shù)的圖象，如圖所示.

因?yàn)樵趨^(qū)間[3，7]上f（x）=5，

由圖可知，當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）=-5.所以正確答案選B.

解答本題，需根據(jù)函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.一般地，奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

二、抽象函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題

一般地，若f（x）=f（-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)f（x）是偶函數(shù);若f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)f（x）是奇函數(shù);若f（a-x）=f（a+x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱;若f（a-x）=-f（a+x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱.求解抽象函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，需將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為上述關(guān)系式，據(jù)此找到函數(shù)的對(duì)稱軸或者對(duì)稱點(diǎn).

解：由f（2-x）=f（2+x）可知函數(shù)y=f（x）關(guān)于x=2對(duì)稱，

因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）在區(qū)間（-∞，2）上單調(diào)遞減，

由f（2-x）=f（2+x），可得f（0）=f（4）

由f（2-x）=f（2+x）得到函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為x=2，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較出它們的大小.在解答抽象函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)辨別奇偶函數(shù)、f（a-x）=f（a+x）、f（a-x）=-f（a+x），明確它們的對(duì)稱性.

三、抽象函數(shù)不等式問(wèn)題

求解抽象函數(shù)不等式問(wèn)題，需重點(diǎn)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，通過(guò)賦值和恒等變換，將不等式中的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f”，建立關(guān)于x的不等式，解不等式即可求得原不等式的解集.

例3.若f（x）在R上單調(diào)遞增，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y均滿足f（x+y）+2=f（x）+f（y）.當(dāng)x>0時(shí)，恒有f（x）>2，f（3）=5.解不等式f（a-2a-2）<3.

解：令x=y=0，由f（x+y）+2=f（x）+f（y）可得f（0）=2，令x=y=1，得f（2）=2f（1）-2，

令x=2，y=1，可得f（1）=3，

因此f（a-2a-2）<3，即為f（a-2a-2）<f（1）

又因?yàn)閒（x）在R上單調(diào)遞增，

所以a-2a-2<1，解得：-1<a<3.

解答本題，需通過(guò)三次賦值，求得f（1）的值，以便將目標(biāo)不等式左右兩邊的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“f”，便可將抽象函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式.

雖然抽象函數(shù)問(wèn)題的考查形式多樣，但無(wú)論怎么變化，我們只要重點(diǎn)研究函數(shù)的定義域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，就能把握抽象函數(shù)的性質(zhì)，從而順利解題.