如何運用函數(shù)的單調性解題

郭麗娜

函數(shù)的單調性，也稱函數(shù)的增減性，是函數(shù)的重要性質之一.在求函數(shù)的單調區(qū)間、求函數(shù)的最值、判斷函數(shù)的單調性、證明不等式等問題時，往往要運用到函數(shù)的單調性.下面結合實例，談一談如何運用函數(shù)的單調性來解答下列三類問題.

一、求函數(shù)的單調區(qū)間

一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對于當x₁2時，都有f（x₁）2），那么函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù);當x₁2時，都有f（x₁）>f（x₂），那么函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù).運用函數(shù)的單調性求函數(shù)的單調性區(qū)間，需靈活運用函數(shù)單調性的定義.首先在函數(shù)定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上任意選取兩個自變量的值x₁，x₂（x₁2），然后將f（x₁）與f（x₂），作差或作商，比較出二者的大小若f（x₁）2），則該區(qū)間為函數(shù)的遞增區(qū)間;若f（x₁）>f（x₂），則該區(qū)間為函數(shù)的遞減區(qū)間.

解：由題意可知x²+3x-10>0，

解得x>2或x<-5，

當x<-5時，隨著x的增大u減小，而y增大;

當x>2時，隨著x的增大u增大，而y減小.

二、求函數(shù)的最值

一般地，若函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間[a，b]上單調遞增，則函數(shù)在該區(qū)間上的最大值為f（b），最小值為f（a）;函數(shù)y=f（x）單調遞減，則函數(shù)在該區(qū)間上的最大值為f（a），最小值為f（b）.在運用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值時，要首先確定函數(shù)的定義域以及在定義域上的單調性，然后將區(qū)間的端點值代入函數(shù)解析式中，即可求得函數(shù)的最值.

若已知函數(shù)的單調性或易判斷函數(shù)的單調性，則可直接根據(jù)函數(shù)的單調性來求函數(shù)的最值，這樣可以大大提升解題的效率.若函數(shù)存在多個單調區(qū)間，可結合函數(shù)的圖象來找到最大值和最小值.

三、證明不等式

在證明不等式時，可根據(jù)不等式的結構特征，構造函數(shù)模型，然后根據(jù)函數(shù)單調性的定義，或導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性，便可根據(jù)函數(shù)的單調性求得最值，或比較出不等式左右兩邊式子的大小.

可見，函數(shù)的單調性是解題的重要“工具”.同學們在日常學習中，要熟練掌握函數(shù)單調性的定義，熟記一些簡單基本函數(shù)的單調性，這樣在求函數(shù)的單調區(qū)間、求函數(shù)的最值、證明不等式時，就能根據(jù)函數(shù)的單調性，建立合適的關系式，快速求得問題的答案.6D5550D2-61F0-48AE-954F-357FF8B98DB2