對接舊知，循“序”漸進，建模生長

蔡中婷

摘要：“移多補少”是指研究具有相差關(guān)系的兩個量，把多的量移給少的一部分，從而使兩個量相等的一類問題。文章以“移多補少”拓展性學(xué)材開發(fā)為例，探究了提升學(xué)生思維能力的方法。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)? 促生長? “移多補少”? ?學(xué)材開發(fā)

一、對接舊知：喚經(jīng)驗

舊知是新知的基礎(chǔ)，會對新知的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。因此，在編寫拓展性學(xué)材時，教師應(yīng)該對接舊知，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。

課本銜接：

①第一行擺：

第二行擺：

第一行比第二行多_____個氣球，第二行比第一行少_____個氣球。

②明明有5張郵票，東東有12張郵票，東東和明明相差_____張郵票。

解決“移多補少”問題，討論的是相差數(shù)和移動數(shù)之間的關(guān)系，有時候問題還涉及根據(jù)相差數(shù)和一個量求另一個量。因此，筆者設(shè)計了一組相差數(shù)問題，從象形圖入手，再到文字表征，契合學(xué)生的認知規(guī)律，為之后“移多補少”的學(xué)習(xí)做好基礎(chǔ)鋪墊。

二、循“序”漸進：建模型

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強調(diào)，教師的講解并不能直接將知識傳遞給學(xué)生，知識必須通過學(xué)生主動建構(gòu)才能獲得。因此，教師必須構(gòu)建序列型問題組，循“序”漸進，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)模型。

（一）從形入手，建表象

我們從形入手，給學(xué)生提供一個認知學(xué)習(xí)的“腳手架”，幫助學(xué)生建立知識表象，再逐漸過渡到抽象表征建模。

例1.1怎樣移動才能使兩行的鉛筆同樣多？

例1.2 要使兩行的三角形同樣多，怎樣移？

上述2個例題構(gòu)成一組，讓學(xué)生在紙上“畫一畫”，如果有困難也可以借助小圓片動手“移一移”，在操作過程中，學(xué)生要先找到多出來的部分，然后把多出來的部分其中的一半移給少的。此時，教師的教學(xué)重點應(yīng)落在追問上：“你是怎么移的？”獲取學(xué)生思維層次。第一層次：移錯，把多出來的部分全部移給少的;第二層次：知道不能把多出來的部分全部移給少的，會先一個一個少量移，結(jié)果正確但是不知道隱含的相差數(shù)和移動數(shù)之間的關(guān)系;第三層次：先找出相差數(shù)，再把多的部分平均分成兩份，一份留給自己，一份移給少的，明白其中的隱含關(guān)系。通過三個層次的對比，教師分層引導(dǎo)學(xué)生對比、討論，使學(xué)生初步建立“移多補少”的認知表象。

（二）動手操作，促認知

例2 動手剪一剪：把兩張不一樣長的紙條變成一樣長，不能丟棄任何一部分紙條。

通過上述在象形圖中移一移，學(xué)生已初步具備認知表象，但是部分學(xué)生對“移動數(shù)是相差數(shù)的一半”的認識不夠立體，所以通過剪紙帶的活動，教師將“移多補少”的方法進行半抽象化處理。學(xué)生剪出相差部分后，思考移動數(shù)時，不像之前的情況可以數(shù)出相差部分的數(shù)量嘗試著移，有“試誤”機會，而這里紙帶的長度未知，無法“試誤”，學(xué)生只能動手將多出來的部分對折，沿著折痕剪下后補給少的，兩段才會同樣長?！皩φ邸边@一操作巧妙地讓學(xué)生感悟到多出來的部分必須平均分成兩份，一份留給“自己”，一份移給少的，自然地過渡到“移動數(shù)是相差數(shù)的一半”的認知。

（三）從數(shù)到形，建模型

模型的建構(gòu)從“形”到“數(shù)”，“形”為“數(shù)”提供表象支撐，“數(shù)”為“形”延伸理解深度。

例3.1 小明有10個蘋果，小紅有4個蘋果，小明要給小紅幾個，他們才會同樣多？

例3.2 小明比小紅多6個蘋果，小明要給小紅幾個，他們才會同樣多？

之前的例題都給學(xué)生提供了輔助的腳手架——象形圖，在圖的幫助下學(xué)生逐漸建立起“移動補少”的認知表象。此時，教師可以適時抽離“腳手架”，以數(shù)代形，將信息的表征方式改為文字，將形象認知轉(zhuǎn)化為抽象認知。不同層次的學(xué)生可能會有不同水平的解決方式：第一層次的學(xué)生可能會自己畫出象形圖，然后在圖上移一移;第二層次的學(xué)生可能直接找“相差數(shù)和移動數(shù)之間的關(guān)系”來求“移動數(shù)”。

例3.3 小明有10個蘋果，比小紅多6個蘋果，小明要給小紅幾個，他們才會同樣多？

正確的做法有兩種：第一種，先求出小紅的蘋果數(shù)量，再求出他們的差，再根據(jù)相差數(shù)求移動數(shù);第二種，直接根據(jù)“小明比小紅多6個蘋果”得出相差數(shù)就是6，再根據(jù)相差數(shù)求移動數(shù)。大多數(shù)學(xué)生可能會“舍近求遠”選擇第一種做法。這就是一種思維慣性，即一定先求出另一個未知的量，兩個量都已知后，在圖上把兩個量都畫出來，在圖上找相差數(shù)確定移動數(shù)。從內(nèi)部結(jié)構(gòu)來分析，“移多補少”模型的建立分為兩個階段：第一階段是在實物圖感知經(jīng)驗的基礎(chǔ)上建立的，在學(xué)生的頭腦中有著牢固的表象基礎(chǔ)，這種形象支撐讓學(xué)生更容易理解模型。第二階段是直接找“相差數(shù)和移動數(shù)之間的關(guān)系”從而確定移動數(shù)，是建立在第一階段基礎(chǔ)上的一種理論概括，更具抽象性。它不僅僅是知識層面的拓展，更是一個從形象到抽象的拓展。

所以例3.3存在的目的就是打破思維慣性，讓學(xué)生理解這個模型的本質(zhì)是找到相差數(shù)從而確定移動數(shù)，如果相差數(shù)已知就不需要再去求相差數(shù)，這個“小插曲”能使學(xué)生建立的模型更加完善，對模型的理解也更透徹深入。

（四）逆向而行，固模型

逆向思維也叫“求異思維”，可以想成“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚姘l(fā)展，從問題的相反面深入探索，進一步完善知識結(jié)構(gòu)。如對例1進行逆向思考，形成可逆關(guān)系的一組題。

聯(lián)1：要使上面一行比下面一行的鉛筆多4支，可以怎么移？

聯(lián)2：上面一行的鉛筆移2支到下面一行后，兩行的鉛筆就同樣多，原來上面一行比下面一行多幾支？

聯(lián)3：按要求擺一擺，畫一畫。要求：從第一行移動2個○到第二行，兩行就同樣多。

以上題組的內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析如表1所示，聯(lián)1是將例1、2的條件作等價變換，結(jié)構(gòu)是和例題一致的，聯(lián)2是例題的逆向結(jié)構(gòu)，即已知移動數(shù)反過來求相差數(shù)，聯(lián)3則是在聯(lián)2的基礎(chǔ)上的深化，已知移動數(shù)求相差數(shù)后，再根據(jù)相差數(shù)和其中一個量求另一個量。正向和逆向的雙向思考，可以使該類型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)清晰明了，更有助于學(xué)生建立認知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，鞏固模型。

三、多維拓展：促生長

（一）橫向而行，拓寬度

1. 拓“對象”，由二元到多元

例4.1圖1中一共有多少個小正方體？

例4.2 圖2中一共有多少個棋子？

例4.3 一分鐘內(nèi)，三個學(xué)生跳繩分別為80、75、85下，可以把這三個學(xué)生的成績都看成1分鐘（）下。

例4.4 把下列加法算式改寫成加數(shù)相同的加法算式。

①4+5+6=? ? ? ? ? ? ? ? ? ②4+5+6+7+8=

①與原例題相比，對象拓寬，從2個增加到3個，但是解決問題的模型沒變，仍然是找相差數(shù)后求移動數(shù)，但是思維難度加深

2.拓“解法”，由單一到多種

例5 兔哥哥采了6個蘑菇，兔弟弟采了4個蘑菇，兔媽媽把她采的10個蘑菇分給兔哥哥和兔弟弟，怎么分，兩人擁有的蘑菇同樣多？

這題可以用“移多補少”的方法，先將兔弟弟比兔哥哥少的2個蘑菇補齊，然后將剩下的蘑菇平均分，還可以將三人的蘑菇合起來，再平均分成兩份分給兔哥哥和兔弟弟。一題多解能開闊學(xué)生視野，豐富學(xué)生的解題思路。

（二）縱向而行，拓深度

縱向?qū)栴}進行深度上的拓展，即對原問題進行半等價變化，如加強或減弱原問題的條件，可得到原命題的抽象或弱抽象命題，這就是一種半等價變化。

例6.1 哥哥比妹妹多9張郵票，哥哥給妹妹幾張后，還比妹妹多3張？

例6.2 哥哥比妹妹多9張郵票，哥哥給妹妹幾張后，哥哥反而比妹妹少3張？

例6.3 哥哥給妹妹5張郵票后，哥哥還比妹妹多2張，原來哥哥比妹妹多幾張郵票？

例6.4 哥哥給妹妹5張郵票后，哥哥還比妹妹少2張，原來哥哥比妹妹多幾張郵票？

這組例題在原例題的基礎(chǔ)上，將問題從“同樣多”變更為“還比妹妹多3張”，再將“多3張”變更為“少3張”，將問題半等價化拓展深度，通過對比尋“變”，而尋“變”過程中知“不變”，通過多維延伸拓展探尋出“不變”的本質(zhì)。而例6.3和例6.4則是從逆向角度，同樣將問題半等價化拓寬深度，再次在“變”中探尋到“不變”的本質(zhì)特征，也算從另一個方向驗證結(jié)果，正向和逆向雙向貫通，更能加深學(xué)生對知識內(nèi)部結(jié)構(gòu)的深度理解。

總之，在編寫拓展性學(xué)材時，教師應(yīng)注重讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)序列，感受建模之路，促進學(xué)生知識和能力的生長。

參考文獻：

[1]喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.

[2]孔凡哲.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2012.

（作者單位：浙江省玉環(huán)市城北學(xué)校）