解三角形與向量交匯 凸顯對能力的考查

張子芳

在知識點(diǎn)交匯處設(shè)計試題，這是近年高考卷命題的一個顯著特點(diǎn)，有利于考查學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)思想方法、知識的綜合運(yùn)用能力，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).基于此，關(guān)注解三角形與平面向量交匯問題的多解探究，就顯得非常重要，能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生處理有關(guān)向量等式問題的技能技巧，能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生分析、解決具有綜合性問題的實(shí)際能力，能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的探究、創(chuàng)新意識以及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，

二、試題分析

本題以熟悉的三角形做為幾何背景，以平面向量的線性表示做為聯(lián)系紐帶，側(cè)重考查學(xué)生分析、解決問題的能力，考查學(xué)生對相關(guān)知識的綜合運(yùn)用能力，同時，試題設(shè)計為填空題，也有利于考查學(xué)生靈活處理問題的機(jī)智，涉及解題策略的靈活選用，

三、多解探究

視角一 由于本題是填空題，不需要完整、準(zhǔn)確的解答過程，又注意到所給三角形沒有進(jìn)行限制，具有任意性，所以可考慮“特殊化”解題策略在解題中的靈活運(yùn)用.

從而，可知2m =2，即m=1.又注意到1=sinA，所以據(jù)此可推測：實(shí)數(shù)m= sinA.

評注上述解法1、解法2均是考慮特殊的三角形加以推測，在解法l中需要關(guān)注等邊三角形“四心合一”，考慮重心的特性易得2 AD =3 AO;在解法2中需要關(guān)注直角三角形的外接圓的圓心就是斜邊的中點(diǎn).

從而易得AB+AC=2 AO.對比可知，解法2比較簡單。

一般地，解題時需要關(guān)注“三化”策略的靈活運(yùn)用.遇到一般問題，可考慮“特殊化”策略：遇到動態(tài)問題，可考慮“極限化”策略：遇平面問題，可考慮“坐標(biāo)化”策略.

視角二由于題設(shè)給出了形如a= xb+ yc的向量線性表示，所以可考慮“點(diǎn)乘”向量技巧在解題中的靈活運(yùn)用.具體解題時，可通過兩邊點(diǎn)乘向量a（或b，或c）進(jìn)行分析，

評注 上述兩種解法均靈活運(yùn)用了“點(diǎn)乘”向量技巧，對比可知其中解法4比較簡單，所以在具體問題中合理選取進(jìn)行“點(diǎn)乘”的向量，往往有利于優(yōu)化解題過程，避免一些差錯的產(chǎn)生，此外，也可通過對已知向量等式兩邊點(diǎn)乘向量“AC”加以靈活分析，請讀者自行完成.

視角三遇到形如a= xb+ yC的向量等式，可考慮“平方”技巧的靈活運(yùn)用，有利于將平面向量問題轉(zhuǎn)化為熟悉的字母形式的代數(shù)運(yùn)算、化簡問題，便于解決目標(biāo)問題，

評注 該解法在“平方”變形的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用了有關(guān)平面向量、正弦定理以及三角恒等變換知識，顯然對運(yùn)算求解能力的要求較高，需要具有較強(qiáng)的運(yùn)算、化簡基本功.

視角四 由于本題涉及△ABC的外心，且向量AB.AC.A0之間具有線性表示的關(guān)系等式，所以可考慮“奔馳定理”在解題中的靈活運(yùn)用，以便順利分析、解決目標(biāo)問題.

解法6設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則OA=OB= OC =R.又根據(jù)同弧所對圓周角是圓心角的一半，易知∠BOC =2∠A.∠AOC =2∠B，∠AOB =2∠C.

評注 該解法的切入點(diǎn)是“奔馳定理”，同時需要將三角形的面積公式、向量減法的幾何意義以及三角恒等變換等知識加以靈活、綜合運(yùn)用，對變形、化簡能力的要求較高.

以上，呈現(xiàn)了解三角形與向量交匯問題的多視角探究，側(cè)重考查了解三角形、平面向量以及三角恒等變換知識的綜合運(yùn)用，明確了常用解題技巧，拓寬了學(xué)生的解題思維視野，培養(yǎng)了學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神，強(qiáng)化了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，進(jìn)一步提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).故關(guān)注知識交匯，關(guān)注多解探究，有利于提高解題能力，進(jìn)而落實(shí)素質(zhì)教育的到位實(shí)施.