用“點(diǎn)差法”解題．切記嚴(yán)謹(jǐn)

甘志國(guó)

“點(diǎn)差法”是平面解析幾何中的一種重要解題方法，特別是在求圓錐曲線的中點(diǎn)弦所在直線的斜率時(shí)很簡(jiǎn)潔且程序化，備受青睞，但本文欲闡述的觀點(diǎn)是：用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)！

對(duì)此“解”的分析 由“線段AB的垂直平分線與x軸相交”可得直線AB的斜率存在，所以②在這里成立（但在解題過(guò)程中應(yīng)交代清楚）.

當(dāng)且僅當(dāng)直線AB的斜率不為0即x1+x2≠0時(shí)③成立，從④推得⑤還要說(shuō)明y1+y2≠0.當(dāng)然這可由⑤推理得結(jié)論成立（但在解題過(guò)程中應(yīng)有所交代），此時(shí)以上解答正確.

當(dāng)直線AB的斜率為0即x1+x2=0時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性及“線段AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)P（ x0，0）”可得x0=0，此時(shí)欲證結(jié)論也成立.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立，平分線l即y軸，它經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

綜上所述，可得當(dāng)且僅當(dāng)x1 +x2 =0時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

總之，用“點(diǎn)差法”解題，切記嚴(yán)謹(jǐn)：

（1）把等積式變成比例式時(shí)（比如把①變成②，⑥變成⑦，⑧變成⑨，⑩變成（11）），要注意分母不為0（若分母的值為0，則中點(diǎn)弦所在直線的斜率不存在，須另行研究，比如例4）;

（2）除非題設(shè)中有“中點(diǎn)弦所在的直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)”（比如例2，例4與例5）.否則要檢驗(yàn)中點(diǎn)弦所在的直線與圓錐曲線確實(shí)交于不同的兩點(diǎn)（比如例1與例3）;

（3）遇到中點(diǎn)弦的垂線問(wèn)題時(shí)，中點(diǎn)弦所在直線的斜率為0的情形要單獨(dú)討論，因?yàn)榇藭r(shí)中點(diǎn)弦的垂線的斜率不存在（比如例2與例5）.

下面的例6-8均是用點(diǎn)差法來(lái)求解的，且均是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?5B0AD55F-5C46-41EA-AA26-BB19484B50A0