對一道立體幾何動點問題的思考

劉海濤

一、問題的提出

數(shù)學(xué)解題的目的是什么？是求出問題的答案嗎？是，但不全是！解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、落實數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗，因此，在平時的學(xué)習(xí)中不能為了解題而解題，而應(yīng)該在解完一些典型問題后，及時予以反思，問題蘊含的數(shù)學(xué)背景是什么？問題包含的命題的逆命題是否成立？能否予以變式拓展？等等！

二、試題呈現(xiàn)與分析

題目 如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC.∠ADC= 90°，AD =2BC =2CD =2.P為四邊形ABCD所在平面外一動點，且PA= PB，∠APB= 90°.設(shè)M為PD的中點，則CM的值為_____，

分析 該題是筆者所在學(xué)校高三的一道?？继羁疹}，試題結(jié)構(gòu)簡單明了.形式上為求線段的長度問題，主要考查了空間中的平行與垂直關(guān)系，解三角形等知識，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).但筆者發(fā)現(xiàn)該題內(nèi)涵豐富，題中并未說明平面PAB與平面ABCD所夾角的大小，即P為空間中一動點，于是M亦為動點，但為何線段CM長度卻為定值呢？遂筆者對該題深入剖析，現(xiàn)與讀者分享交流，

三、解法的探究與評注

思考1 由題意知線段CM的長度為定值，因為不知二面角P-AB -D的大小，所以無法得到線段PC，PD的長度，因此難以在△PCD中解出線段CM長度，而由題設(shè)條件可以確定等腰直角△PAB的各邊長度，故考慮利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化到△PAB中求解.

解法1 如圖2所示，取PA，AD中點分別為Q，，N，連結(jié)QB，QM，NC.易知△DCN中，DN⊥DC，且DN= DC=1.則NC=√2.由AN∥BC，且AN= BC=1.得四邊形ABCN為平行四邊形，則AB=√2，又P=PB，且∠APB= 90°，得PA= PB=1.

評注 解答該題的關(guān)鍵是將長度為定值的線段CM，平移到一確定△PAB內(nèi)求解，在解一些有關(guān)動點的立體幾何問題時，常用的解題策略即為將動直線放入一確定的平面內(nèi)，將一動線段放入一確定的平面多邊形中，這樣就能達(dá)到“以靜制動”的解題效果.如2021年全國甲卷立體幾何題的第（1）問.

評注 解法2實為對解法l的優(yōu)化，將長度為定值的線段CM構(gòu)造為一確定三角形的一條邊，直觀展示出線段CM的長度不受二面角P-AB-D大小的影響.實際上，立體幾何中有很多這樣的例子，如下面這道問題.

如圖5所示，已知矩形ABCD中，AB= 4/3 BC =8，△BAC沿AC翻折，使B到達(dá)P點的位置，連接PD，得到三棱錐P-ACD，則其外接球的體積為_____，

分析 題中并未說明二面角P-AC -D的大小，也就是三棱錐P -ACD是一個不定三棱錐，而由題目的設(shè)問可以確定該三棱錐的外接球半徑為定值，這是為何呢？如圖5，在矩形ABCD中，連結(jié)BD，交AC于點O，則OA=OB=OC=OD =5.而隨著△BAC的翻折，注意到O為定點，且其到三棱錐P -ACD四個頂點長度保持不變，因此O為三棱錐尸-ACD的外接球的球心，5為半徑，所以外接球體積為4/3π×5 3：500π/3.

思考3 利用空間向量解決立體幾何問題，可以大大降低空間思維難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系來分析點P.從而分析出點M的情況.

評注 引入空間向量解決立體幾何問題，避開了傳統(tǒng)方法中對平行、垂直、角、距離等問題所進(jìn)行的大量繁瑣的“定性分析”，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行“定量分析”.使得立體幾何問題得到很大的優(yōu)化，降低了對空間想象能力的要求，如下面這道問題

分析 該題要想做出點M的軌跡，難度很大，一來不知道其軌跡為何種曲線，二來純粹的幾何方法對學(xué)生的空間想象思維能力要求很高，因此考慮利用建立空間直角坐標(biāo)系的方法，利用向量對問題進(jìn)行分析.由題設(shè)不難

五、反思總結(jié)

本文所探究的立體幾何題，雖然學(xué)生的得分率很高，從考試的角度來說是一道中等難度的題，甚至說一道簡單題，但是從教學(xué)的角度來說它又是一道難題，一道難得的好題，其包含的背景豐富，變化中包含著不變，動點M的軌跡實為圓錐底面的圓.筆者認(rèn)為，廣大一線教師在教學(xué)中，要教會學(xué)生挖掘問題所蘊含的背景，看透問題的本質(zhì)，弄清問題底層的邏輯，甚至教會學(xué)生對問題進(jìn)行變式，這樣學(xué)生才能跳出題海，學(xué)會總結(jié)歸納的學(xué)習(xí)方法.通過做一道題達(dá)到會一類題的學(xué)習(xí)效果，從而減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率和解題能力，增強數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

（收稿日期：2022 -03 - 11）