高階復線性微分方程整函數(shù)解的Borel 方向

李靜靜， 黃志剛

（蘇州科技大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215009）

1 引言與主要結(jié)果

在文中，假定讀者熟知角域中的Nevanlinna 理論，以及復方程理論中的標準記號和基本內(nèi)容[1-3]，如Nevanlinna 特征函數(shù)T（r，f），平均值函數(shù)m（r，f）和虧值函數(shù)δ（a，f）。

假設(shè)0＜α＜β＜2π，記

f 在角域Ω（α，β）中的級定義為

如果f（z）在C 中解析，則f 的級ρ（f）滿足ρ（f）≥ρα，β（f）。

f 在角域上、徑向上的級分別定義為

相似地，f 在角域上、徑向上的零點收斂指數(shù)分別定義為

其中n（Ω（θ-ε，θ+ε，r），f=0）代表了f 在角域Ω（θ-ε，θ+ε，r）中零點的個數(shù)，且記重數(shù)。

1919 年，Julia 在已知皮卡定理的基礎(chǔ)上介紹了Julia 方向， 然后開始對亞純函數(shù)奇異方向進行研究，得到了每一個超越整函數(shù)至少有一條Julia 方向的結(jié)論。 Valiron 根據(jù)Borel 定理給出了Borel 方向的定義。

定義1設(shè)f（z）是ρ 級超越亞純函數(shù)，射線arg z=θ 稱為f 的Borel 方向，若對任意的ε＞0，λθ，ε（f-a）=ρ 成立，至多有兩個例外值a∈C∪{∞}。

亞純函數(shù)奇異方向的研究在亞純函數(shù)值分布理論中是一個非常重要的一個模塊。其中包括很多個方向，如Hayman 方向、T 方向、Julia 方向、Hayman-T 方向、Borel 方向[4-8]等。 2005 年，伍勝健[9]首次研究了二階線性微分方程解的Borel 方向，此二階線性微分方程有如下形式

其中A（z），B（z）和F（z）是整函數(shù)。1988 年，Gundersen 研究了二階線性微分方程解的復振蕩理論[10－11]，他考慮B（z）＝F（z）＝0，在這個基礎(chǔ)之上，他發(fā)現(xiàn)了零點收斂指數(shù)與Borel 方向的關(guān)系。 2015 年，黃志剛等人[12]研究了關(guān)于二階線性微分方程解的Borel 方向的相關(guān)問題，得到了下面的結(jié)果。

定理A[12]設(shè)A(z)是有限級超越整函數(shù)，f1，f2是方程f″+A(z)f=0 的兩個線性無關(guān)解。令E=f1f2，0≤θ≤2π。假設(shè)E 的零點收斂指數(shù)λ（E）＝∞，則射線arg z=θ 是E 的Borel 方向當且僅當λθ（E）＝∞。

定理B[12]設(shè)A（z），B（z）是有限級整函數(shù)，F(xiàn)（z）是超越整函數(shù)，且滿足如下關(guān)系

假設(shè)f（z）是方程（1）的一個解，如果arg z=θ 是F（z）的Borel 方向，則對任意一個包含射線arg z=θ 的角域Ω（α，β）都存在f 的Borel 方向，其中β－α＞π/ρ。

下面考慮高階微分方程

將定理B 推廣到一般的情形：

定理1設(shè)A0（z），A1（z），…，An-1（z）是有限級整函數(shù)，F(xiàn)（z）是超越整函數(shù)，且滿足

假設(shè)f（z）是方程（2）的解，若arg z=θ 是F（z）的Borel 方向，則對任意一個包含射線arg z=θ 的角域Ω（α，β）都存在f 的Borel 方向，其中β－α＞π/ρ。

定理C[12]設(shè)0＜c＜1，則方程

的每一個非零解f 一定有mesI（f）≥π，其中I（f）={θ∈[0，2π）:ρθ（f）＝∞}。

下面考慮高階微分方程

將定理C 推廣到一般的情形：

定理2設(shè)cs是常數(shù)（s=1，2，…，n-1）且滿足c1+c2+…+cn-1＜1，其中c0=1，則方程（4）的每一個非零解一定有mesM（f）≥π，其中M（f）為f 的Borel 方向測度集。

2 預備知識

在證明定理之前，需要熟知角域中的Nevanlinna 理論。

其中bv＝|bv|eiβv（v=1，2，…）是函數(shù)f（z）在角域Ω（α，β）中的極點，且記重數(shù)。 對任意有限的復數(shù)a∈C，記

對任意的0＜ε＜π/2k

用σα，β（f）表示Sα，β（r，f）的級，即

引理1[13]設(shè)函數(shù)f（z）是整函數(shù)且0＜ρ（f）=ρ＜∞，則f′（z）的ρ 級Borel 方向也是f（z）的ρ 級Borel 方向。

引理2假設(shè)函數(shù)f（z）超越整函數(shù)，且0＜ρ（f）=ρ＜∞，Ω（α，β）是一個角域，其中β－α＞π/ρ。 如果函數(shù)f（z）在角域Ω（α，β）中沒有ρ 級Borel 方向，則ρα，β（f）＜ρ。

引理3[14]設(shè)z=rexp（iψ），r0+1＜r 且α≤ψ≤β，其中0＜β－α≤2π。 假設(shè)n（≥2）是整數(shù)，函數(shù)f（z）在角域Ω（r0，α，β）中解析且σα，β（f）＜∞，則對任意的，在零線性測度集合之外，存在只依賴于f，ε1，ε2，…，εn-1和Ω（αn-1，βn-1）以及不依賴于z 的正數(shù)K、M，使得

對于零測度集合之外的所有z∈Ω（αn-1，βn-1）的點均成立，其中

引理4設(shè)函數(shù)f（z）是有限下級超越亞純函數(shù)，μ（f）＝μ，且有一個虧值a。 Λ（r）是實函數(shù)且當r→∞時，Λ（r）=o（T（r，f）），則對任意固定的μ 級Polya 峰序列{rn}，有

其中DΛ（r，a）被定義為DΛ（r，∞）={θ∈[-π，π）:|f（reiθ）|＞eΛ（r）T（r，f）}，并且對有限的復數(shù)a，

引理5[5，15]假設(shè)函數(shù)f(z)在有限平面上是有限級亞純函數(shù)，其級為λ(0＜λ＜∞)，如果B:arg z=θ0，0≤θ0＜2π是函數(shù)f（z）的Borel 方向，則存在一個圓盤序列

引理6[16]假設(shè)函數(shù)f（z）在角域Ω（α，β）中解析，0＜α＜β＜2π，則有

引理7[17]假設(shè)函數(shù)f（z）是角域Ω（α，β）中的非常數(shù)亞純函數(shù)，其中0＜β－α≤2π，則對于?aj∈C∞（C∞為擴充復平面），有

其中E 是一個線性測度有限的集合。

3 定理1 的證明

假設(shè)arg z=θ∈[0，2π）是F（z）的ρ 級Borel 方向，根據(jù)引理5 可知存在一個圓盤序列Γj={z:|z-zj|＜εj|zj|}（j=1，2，…），其中對于整函數(shù)來說，∞一定是其皮卡例外值，因此，∞存在于引理5 中的兩個球面圓盤中的其中一個。 記z1，z2的球面距離為|z1，z2|，并且可以找到一個點bj∈Dj使得

成立。 因為|bj|=（1+o（1））|zj|，對任意給定的ε＞0，

假設(shè)在角域Ω（α，β）中不存在f 的Borel 方向，由定理A 可看出方程（2）的每一個解f 一定滿足0＜ρ（f）=ρ＜∞。根據(jù)引理1，角域Ω（α，β）中不存在f（k）（k=1，2，…，n）的任何一個Borel 方向，將f（k）應(yīng)用到引理2 有

成立。因為max{ρ(A0)，ρ(A1)，…，ρ(An-1)}＜ρ（F），將式（5）和式（6）代入方程（2）可得出矛盾，因此，在角域Ω（α，β）中至少存在一條f 的Borel 方向。

4 定理2 的證明

成立，即對任意的i=1，2，…，k，ραi，βi＜+∞。由Sαi，βi（r，f）的定義知，σαi，βi（f）＜∞。由引理3 可知對于充分小的ε＞0，存在兩個常數(shù)M＞0，K＞0 使得對于一個去掉零測度集H 之外的所有點

成立。 將函數(shù)ez應(yīng)用到引理4，則存在一個1 級的Polya 峰序列{rn}使得rn?{|z|，z∈H}且當n 充分大時，有

成立，其中Λ（r）=（logr）-1。 不失一般性，假設(shè)式（8）對于所有的n 均成立，令D（rn）=DΛ（rn，∞）。 相似地，存在一個開區(qū)間使得對于無窮多個j，mes（D（rj）∩（α，β））＞ζ/2k 且

其中Fj=D（rj）∩（α+2ε，β-2ε），F(xiàn)j+=Fj∩T+，F(xiàn)j-=Fj∩T-。

情形1當j→∞時mes（Fj-）→0，則

運用式（7）重新寫方程（4），根據(jù)多項式函數(shù)的定義可得

顯然可知mes（Fj+）＞ζ/2k-4ε，取充分小的ε＞0，

因為c1+c2+…+cn-1＜1，所以從式（9）和式（10）得出矛盾。

情形2當j→∞時由D（rn）的定義知

運用式（7）再次書寫方程（4），得

即

由于c1+c2+…+cn-1＜1，可以看出當j→∞時mes（Fj-）→0，與假設(shè)矛盾。

故一定有

下證若ρθ（f）＝∞，則arg z=θ 是f 的Borel 方向[18]。

設(shè)arg z=θ 不是f 的Borel 方向，則根據(jù)Borel 方向的定義，至少存在三個點a1，a2，a3使得對于任意的ε＞0，λ＜∞有

即

根據(jù)不等式Cθ，ε（r，1/（f-aj））≤2n（r，Ω（θ-ε，θ+ε），f=aj），有

再根據(jù)引理7，有

因此arg z=θ 是f 的Borel 方向。 設(shè)M（f）為f 的Borel 方向集，顯然對于任意給定的θ∈I（f），有θ∈M（f），由式（11）可知mesM（f）≥π。

5 結(jié)語

線性微分方程的解的Borel 方向是線性微分方程復振蕩理論中重要的一個研究課題。 筆者在前人研究的基礎(chǔ)之上，對線性微分方程的解的Borel 方向和自由項的Borel 方向之間的關(guān)系進行了推廣和改進，并且證明了高階齊次指數(shù)系數(shù)線性微分方程的整數(shù)解的Borel 方向集具有下界。 但是隨著Borel 方向在微分方程復振蕩中的進一步發(fā)展，仍有許多方向值得繼續(xù)研究。