結(jié)合加權(quán)低秩表示和L1范數(shù)的圖像混合去噪*

朱文生， 何顯文

(贛南師范大學(xué) 信息與教育技術(shù)中心，江西 贛州 341000)

1 引言

圖像數(shù)據(jù)在采集、發(fā)布、處理過程中不可避免地受到電子傳感器、成像光源、光線變化等多種因素的干擾，有時(shí)會(huì)受到高斯噪聲和椒鹽噪聲或脈沖噪聲的同時(shí)污染，將影響到后續(xù)的圖像分割、分類以及圖像識(shí)別等方面.因此，圖像去噪得到了廣泛而深入地研究[1-3].

一般地，圖像去噪問題在數(shù)學(xué)上屬于一種病態(tài)的不可逆問題.為了去除圖像中的噪聲，需要借助于圖像的先驗(yàn)背景知識(shí)，而先驗(yàn)知識(shí)的獲取依賴于圖像的建模.在過去的十多年里，人們提出了許多圖像模型，如全變分模型[4],自回歸模型[5]以及基于稀疏表示的圖像模型[6-8]等.

在面向圖像恢復(fù)的去噪模型中，稀疏模型得到了深入的研究和廣泛的應(yīng)用.它的基本思想是將自然圖像表示為一組基或字典原子的線性組合，線性組合對(duì)應(yīng)的系數(shù)具有稀疏性或可壓縮性，即只有少量不為零的表示系數(shù).常見的基變換包括離散余弦基、小波基、傅里葉基等.通常來說，由于在稀疏表示中選擇的基變換是固定的，并且基于基變換的稀疏模型計(jì)算開銷也較大.因此，當(dāng)前許多研究人員基于圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如圖像內(nèi)部數(shù)據(jù)之間存在一定程度的相關(guān)性或非局部相似性，采用低秩建模方法對(duì)圖像去噪模型進(jìn)行深入研究[3,8-9].由于圖像常常受到來自高斯、椒鹽等多種噪聲的干擾，因此,需要對(duì)混合噪聲進(jìn)行去除.目前已經(jīng)有大量的研究工作處理混合噪聲，如文獻(xiàn)[10-14]等.其中文獻(xiàn)[10]針對(duì)不規(guī)則的圖像數(shù)據(jù)，采用加權(quán)保真和稀疏正則化方法，研究圖形式上的圖像混合去噪方法，為不規(guī)則圖像去噪提供新的思路.文獻(xiàn)[11]基于拉普拉斯分布尺度模型對(duì)混合噪聲進(jìn)行建模，并結(jié)合低秩方法，對(duì)混合噪聲進(jìn)行去除，取得了較好的效果.文獻(xiàn)[12-14]主要針對(duì)高光譜圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，由于高光譜圖像數(shù)據(jù)自身具有一定的冗余特性，這些方法均應(yīng)用了低秩逼近的思想來對(duì)混合噪聲進(jìn)行建模，其關(guān)鍵在于如何設(shè)計(jì)合適的秩函數(shù).

基于以上分析，本文針對(duì)圖像同時(shí)受高斯和椒鹽噪聲的污染情況，提出了一種基加權(quán)低秩表示[9]和L1范數(shù)相結(jié)合的混合噪聲去噪算法.該算法利用了加權(quán)低秩表示描述圖像的全局內(nèi)在特性，即圖像的內(nèi)在冗余性質(zhì)；然后利用L1范數(shù)刻畫椒鹽噪聲的稀疏性；最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的有效性.

2 圖像去噪模型

2.1 加權(quán)低秩表示

一般來說，基于稀疏表示和低秩約束的圖像復(fù)原[15-16]主要挖掘了圖像的內(nèi)在結(jié)構(gòu)體特性.從信號(hào)處理的角度看，圖像的變換系數(shù)大部分為零，表現(xiàn)為圖像的稀疏性；從數(shù)學(xué)的角度來看，在線性代數(shù)中，如果一個(gè)矩陣的秩遠(yuǎn)小于矩陣的行數(shù)或列數(shù)，那么該矩陣為低秩矩陣.圖像的低秩性表現(xiàn)為圖像中具有大量的冗余信息.因此，利用圖像的低秩約束，可以進(jìn)行圖像修復(fù)、圖像去噪、超分辨重建等處理.根據(jù)文獻(xiàn)[9],矩陣X∈m×n的加權(quán)低秩表示函數(shù)可表示為：

(1)

(2)

其中W和Δ表示對(duì)角元素分別為權(quán)值和矩陣奇異值的對(duì)角矩陣.

給定一個(gè)觀測(cè)的圖像Y，圖像去除高斯噪聲的目的是通過低秩恢復(fù)矩陣模型得到矩陣X，那么矩陣X在F范數(shù)數(shù)據(jù)保真和加權(quán)低秩表示正則化條件下可表示為：

(3)

其中α表示一個(gè)正則化參數(shù)，目的是為了平衡(3)式中的數(shù)據(jù)保真項(xiàng)和正則化項(xiàng).

2.2 圖像混合去噪模型

針對(duì)圖像中含椒鹽和高斯的混合噪聲，模型(3)已經(jīng)不能適應(yīng)混合噪聲的建模.因此，觀測(cè)的含混合噪聲圖像可以表示為Y=X+N+E.其中Y表示觀測(cè)的圖像數(shù)據(jù).X表示原始圖像數(shù)據(jù)，N表示加性高斯白噪聲，E表示稀疏噪聲，如椒鹽噪聲.根據(jù)圖像的內(nèi)在低秩特性，圖像混合去噪模型可表示為：

(4)

2.3 模型的優(yōu)化求解

根據(jù)上述分析，圖像混合去噪模型可進(jìn)一步表示為：

(5)

(6)

其中μ表示懲罰參數(shù),θ1,θ2均表示拉格朗日乘子.〈·,·〉表示兩個(gè)矩陣之間的內(nèi)積，具體為兩個(gè)矩陣內(nèi)對(duì)應(yīng)元素相乘后再求和.然后對(duì)式(6)進(jìn)行子問題劃分，共劃分為3個(gè)子問題,并對(duì)這3個(gè)子問題分別實(shí)施交替求解,即求其中一個(gè)變量的值,其他變量固定不變.下面分別對(duì)L, N, E三個(gè)子問題進(jìn)行交替求解.

設(shè)已經(jīng)經(jīng)過k次迭代,那么第k+1次迭代時(shí)，L子問題可表示為：

(7)

(8)

最后根據(jù)凸差方法[15]和鄰近點(diǎn)方法求出式(8)的極小點(diǎn)，即Lk+1的值為：

(9)

N子問題可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為:

(10)

由于問題(10)是個(gè)最小二乘問題，所以其有閉式解.其解為：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

綜上所述，本文提出的混合去噪算法可總結(jié)為表1所示.

表1 圖像混合去噪算法

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證提出的混合去噪模型算法性能， 本文在實(shí)驗(yàn)中選用了Plane圖像作為測(cè)試數(shù)據(jù)，其像素大小為512×512.實(shí)驗(yàn)環(huán)境在CPU 2.6G，內(nèi)存為8G的PC機(jī)上運(yùn)行，仿真工具為Matlab2016.正則化參數(shù)α,β,γ的取值分別是1.0，0.5和0.02，懲罰參數(shù)μ取值為0.1.圖1是本文方法和文獻(xiàn)[15,17-18]及文獻(xiàn)[19]對(duì)Plane經(jīng)受高斯方差σn為25、椒鹽噪聲密度d為10%的混合噪聲污染后的濾波效果.從圖1中可以看出文獻(xiàn)[15]的三維匹配協(xié)同濾波方法雖可以去除噪聲，但是圖像過于平滑.本文方法效果相對(duì)文獻(xiàn)[17]方法的效果較好， 與文獻(xiàn)[18]效果相當(dāng)，相比文獻(xiàn)[19]而言本文方法從視覺上看顯得更平滑，文獻(xiàn)[19]的對(duì)比度更強(qiáng)，但在圖像的平坦部分區(qū)域出現(xiàn)階梯效應(yīng).在圖像的細(xì)節(jié)部分本文方法比文獻(xiàn)[17]效果要好，如圖像中的英文標(biāo)識(shí)方面.本文算法性能較好的主要原因是提出的算法一方面利用加權(quán)低秩表示方法刻畫了圖像的全局特性，另一方面也充分挖掘了圖像的稀疏特點(diǎn).所以提出的算法在去除混合噪聲的同時(shí)也較好地保持了圖像的細(xì)節(jié)信息.

(a)原始Plane圖像 (b)噪聲圖像 (c)M-BM3D[15]方法 (d)ID-NLM[17]方法

表2分別給出了高斯噪聲方差為10、椒鹽噪聲密度0.20和高斯噪聲方差為20，椒鹽噪聲密度為0.30時(shí)以上各種方法的性能比較.采用的比較指標(biāo)是峰值信噪比PSNR和結(jié)構(gòu)相似度SSIM[19].從表2中可以看出本文方法的混合去噪性能相對(duì)文獻(xiàn)[15-18]較好,進(jìn)一步驗(yàn)證了加權(quán)低秩表示和L1范數(shù)的有效性.但是，本文方法與基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法[19]相比，性能偏弱一些.今后將進(jìn)一步結(jié)合低秩和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，設(shè)計(jì)更加魯棒的圖像混合去噪方法.

表2 Plane圖像在混合去噪后的性能比較

4 總結(jié)

本文聯(lián)合加權(quán)低秩矩陣近似和L1范數(shù)，設(shè)計(jì)一種圖像混合去噪模型，提出相應(yīng)的圖像混合去噪方法.該方法充分利用圖像自身的內(nèi)在稀疏特性，較好地去除圖像中的混合噪聲，保留圖像的細(xì)節(jié)信息.下一步的研究工作將結(jié)合圖像混合噪聲的統(tǒng)計(jì)分布特性，基于概率統(tǒng)計(jì)模型對(duì)含混合噪聲的圖像統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行聯(lián)合建模，同時(shí)結(jié)合低秩和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，設(shè)計(jì)魯棒的混合去噪方法，以進(jìn)一步提高混合噪聲濾波的性能.