一類三維結(jié)合代數(shù)的分類*

李 軍，溫永琪

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

在信息、控制、工程等應(yīng)用領(lǐng)域中,會出現(xiàn)大量的行、列或?qū)蔷€的對稱圖像(矩陣).鄒紅星等在研究譜線增強(qiáng)[1]時(shí)發(fā)現(xiàn),利用短時(shí)Fourier變換的對稱性可以顯著減少矩陣的奇異值分解所需的計(jì)算量及存儲量.進(jìn)而,他提出了行(或列)對稱矩陣的概念,并討論了它們的奇異值分解等問題(見文獻(xiàn)[2-3]).隨后,袁暉坪等人研究了行(或列)及行列對稱矩陣的相應(yīng)性質(zhì)及相關(guān)的矩陣分解(見文獻(xiàn)[4-8]).本文首先證明了實(shí)數(shù)域上的n階行列對稱矩陣全體構(gòu)成一個(gè)半單的結(jié)合代數(shù).而對于低維結(jié)合代數(shù)的分類問題,一直是研究者們廣泛關(guān)注的一個(gè)課題(見文獻(xiàn)[9-16]).本文利用Kobayashi.Y等人給出的實(shí)數(shù)域上三維結(jié)合代數(shù)的具體分類[9],用5階行列對稱矩陣形式給出了實(shí)數(shù)域上由行列對稱矩陣構(gòu)成的含單位元的三維結(jié)合代數(shù)的分類結(jié)果.

1 記號和預(yù)備知識

定義1設(shè)A是實(shí)數(shù)域上的線性空間,在A中定義了乘法運(yùn)算,稱A為實(shí)數(shù)域上的結(jié)合代數(shù),當(dāng)A滿足?a,b,c∈A,k∈,有

如果存在元素e∈A,?a∈A,ea=ae=a,則e是A的單位元,A叫做含單位元的結(jié)合代數(shù).設(shè)b∈A,記CA(b)={a∈A∣ab=ba},稱為A中關(guān)于b的中心化子.令Mn()為實(shí)數(shù)域上的n階矩陣全體構(gòu)成的結(jié)合代數(shù).令

為單位反對角矩陣,En為n階單位矩陣.

定義2[4]設(shè)a=(aij)∈Mn()，稱

引理1[9]設(shè)U為實(shí)數(shù)域上含單位元e的三維結(jié)合代數(shù),令e,a,b為U的一組基,則在同構(gòu)意義下,結(jié)合代數(shù)U僅有以下6種情形：

2 行列對稱矩陣構(gòu)成的結(jié)合代數(shù)

定理1設(shè)RCSn()為實(shí)數(shù)域上的n階行列對稱矩陣全體構(gòu)成的結(jié)合代數(shù),則RCSn()是一個(gè)半單代數(shù).特別地,

證明RCSn()={a∈Mn()∣aJn=Jna}=CMn()(Jn),而Jn為實(shí)數(shù)域上的對稱矩陣,因此存在實(shí)數(shù)域上的n階可逆矩陣t使得t-1Jnt為實(shí)對角矩陣,令Λ=t-1Jnt.由可知,Λ2=En.可得t-1RCSn()t=t-1CMn()(Jn)t=CMn()(Λ).令則f2=f為冪等元.易證對于任意a∈Mn(),aΛ=Λa當(dāng)且僅當(dāng)af=fa.因此,CMn()(Λ)=CMn()(f).這里,若n=2k(k∈)為偶數(shù)時(shí),則此時(shí),從而RCSn()作為結(jié)合代數(shù)同構(gòu)于若n=2k+1(k∈)為奇數(shù)時(shí),則有因此RCSn()作為結(jié)合代數(shù)同構(gòu)于得證.

由定理1可知,RCSn()有一個(gè)直和分解,當(dāng)n=2k(k∈)為偶數(shù)時(shí),RCSn()?Mk()⊕Mk();當(dāng)n=2k+1(k∈)為奇數(shù)時(shí),RCSn()?Mk+1()⊕Mk().特別地,當(dāng)n=5時(shí),RCS5()?M3()⊕M2().

定理2設(shè)A為實(shí)數(shù)域上由行列對稱矩陣構(gòu)成的含單位元的三維結(jié)合代數(shù),則在同構(gòu)意義下,結(jié)合代數(shù)A僅有以下6種情形：

證明設(shè)三維結(jié)合代數(shù)A的一組基為e,a,b,其中e為A的單位元.容易驗(yàn)證A0,A1,A2,A3,A4,A5為由行列對稱矩陣構(gòu)成的含單位元的三維結(jié)合代數(shù).對于結(jié)合代數(shù)A0,取e為5階單位矩陣,

由e,a,b共同構(gòu)成了三維結(jié)合代數(shù)A0的一組基.通過計(jì)算可得a2=a,b2=b,ab=ba=0.由其乘法表可知A0?U0.類似地,通過在A1,A2,A3,A4,A5中容易找到合適的一組基e,a,b,由結(jié)合代數(shù)的乘法表可同理證得,A1?U1,A2?U2,A3?U3,A4?U4,A5?U5.而在同構(gòu)意義下,由引理1可知,實(shí)數(shù)域上的含單位元的三維結(jié)合代數(shù)有且僅有這6種情形,得證.