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    一類(lèi)4-維切空間的球面與圓周*

    2022-06-16 14:49:12鐘世萍王清源江可心
    關(guān)鍵詞:單位向量流形球面

    鐘世萍,王清源,江可心,廖 劍

    (贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 贛州 341000)

    1 介紹

    幾何理論中研究具有額外的結(jié)構(gòu) S的 Riemannian 流形是一個(gè)熱門(mén)的課題,其中很多學(xué)者研究了額外的結(jié)構(gòu) S 滿(mǎn)足S2= ?id,這樣的結(jié)構(gòu)被稱(chēng)為近復(fù)結(jié)構(gòu)或仿近復(fù)結(jié)構(gòu)[1-5],另外Dokuzova I.等人[6-10]研究了(反)循環(huán)結(jié)構(gòu) S 滿(mǎn)足S4= ±id的Riemannian 流形,等等.

    2 記號(hào)和預(yù)備知識(shí)

    設(shè)M是一個(gè)4-維黎曼流形(M,g),在M上任一點(diǎn)p的切空間TpM上賦予一個(gè)張量結(jié)構(gòu)S,在給定一個(gè)基底時(shí),S是一個(gè)反循環(huán)矩陣(稱(chēng)S為反循環(huán)結(jié)構(gòu)),具體如下:

    (1)

    則S有以下性質(zhì)

    S4= -id,

    (2)

    設(shè)度量g和結(jié)構(gòu)S滿(mǎn)足

    g(Sx,Sy)=g(x,y),x,y∈Γ(TpM).

    (3)

    由(1)和(3)可得,度量g結(jié)構(gòu)如下:

    (4)

    每個(gè)向量u的范數(shù)和兩個(gè)非零向量u和v之間角度的余弦分別為:

    (5)

    (6)

    任意一個(gè)向量x∈TpM,我們把TpM上的一組向量{x,Sx,S2x,S3x}組成的基,稱(chēng)之為T(mén)pM上的一組S-基,也說(shuō)是向量x生成的TpM上的S-基.

    定理1[9]設(shè)向量x生成了一個(gè)S-基,φ是x和Sx之間的夾角,則有:

    (7)

    4x2x4((x1)2-(x3)2)+4x1x3((x4)2-(x2)2)+((x1)2+(x3)2)2+((x2)2+(x4)2)2≠0.

    (8)

    (9)

    2g(x,x)cosφ=a.

    (10)

    3 切空間TpM上的超球面方程

    設(shè)pxyzt為以向量x,Sx,S2x,S3x分別位于軸px,py,pz和pt上的單位向量的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系,這里{x,Sx,S2x,S3x}是TpM的標(biāo)準(zhǔn)正交S-基.如果(x,y,z,t)∈TpM,則v可表示為

    v=xu+ySu+zS2u+tS3u.

    (11)

    (12)

    則超球面方程改寫(xiě)為

    a=2(xy+yz+zt-tx).

    (13)

    令坐標(biāo)變換T:Px'y'z't'→Pxyzt,

    (14)

    于是超球面方程(13)轉(zhuǎn)化為

    (x')2+(y')2-(z')2-(t')2=a.

    (15)

    對(duì)于度量g而言,我們認(rèn)為上述方程是3-維雙曲面的方程.因此,

    定理2設(shè){u,Su,S2u,S3u}是TpM的標(biāo)準(zhǔn)正交S-基,且pxyzt是以向量u,Su,S2u,S3u為單位向量的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系,這里u∈px,Su∈py,S2u∈pz,S3u∈pt,則通過(guò)坐標(biāo)變換(14),可將超球面方程(12)轉(zhuǎn)化為方程(15).

    推論1設(shè)σ是3-維雙曲面(15),σ與坐標(biāo)系Px'y'z't'的四個(gè)坐標(biāo)面y'z't',x'z't',x'y't',x'y'z'分別交于σ1,σ2,σ3,σ4.

    4 切空間TpM上的3-維子空間中的球面方程

    設(shè)單位向量u生成S-基{u,Su,S2u,S3u},則由3個(gè)向量生成的4個(gè)不同的S-子基,即{u,Su,S2u},{u,Su,S3u},{Su,S2u,S3u},{u,S2u,S3u}.這里我們只考慮切空間TPM中一個(gè)由向量u,Su和S2u生成的3-維子空間中的球面方程.

    引理1設(shè)V為T(mén)pM中由基{u,Su,S2u}生成的子空間,則向量

    (16)

    是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

    證明利用 (7)和(16),我們得到

    g(e1,e1)=g(e2,e2)=g(e3,e3)=1,g(e1,e2)=g(e2,e3)=g(e1,e3)=0.

    (17)

    (18)

    的分類(lèi).

    (19)

    證明設(shè)v∈V可表示為

    v=xe1+ye2+ze3.

    (20)

    將(8)和(20)代入到(18),并利用(3),得到

    a=2g(Sv,v)=2[x2g(Se1,e1)+xyg(Se1,e2)+xzg(Se1,e3)+xyg(Se2,e1)+

    y2g(Se2,e2)+yzg(Se2,e3)+xzg(Se3,e1)+yzg(Se3,e2)+z2g(Se3,e3)]

    (21)

    使用(7)和(16),我們有

    (22)

    將(22)代入(26),就可以得到方程(19).

    通過(guò)坐標(biāo)變換T:Px'y'z'→Pxyz,

    (23)

    推論2設(shè)σ是由方程(23)滿(mǎn)足a=0情況下確定的曲面,則有

    5 平面{u,S2u}中的圓周

    設(shè)V是由向量u和S2u生成的平面,Pxy是V上以向量u,S2u為單位向量的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系,這里u∈Px,S2u∈Py(因?yàn)間(u,S2u)=0).

    (24)

    可以表示為

    2(x2+y2)cosφ=a.

    (25)

    證明V上任意向量v可表示為

    v=xu+yS2u,

    (26)

    這意味著Sv=xSu+yS3u.將(3)和(7)代入球面方程(24),得到(25).

    6 平面{u,Su}中的圓周

    設(shè)V是由向量u和Su生成的平面,現(xiàn)構(gòu)造V上的標(biāo)準(zhǔn)正交坐標(biāo)系Pxy={p;∈Px,e2∈Py}.

    引理2設(shè)V為T(mén)pM中由基{u,Su,S3u}生成的子空間,則向量

    (27)

    是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

    證明利用(3)和(7),我們計(jì)算g(e1,e2)=0和g(e1,e1)=g(e2,e2)=1.

    (28)

    的分類(lèi).

    (29)

    證明V上任意向量v可表示為

    v=xe1+ye2,

    (30)

    于是

    a=g(v,v)=2[x2g(Se1,e1)+xyg(Se1,e2)+xyg(Se2,e1)+y2g(Se2,e2)],

    (31)

    利用(3)和(7)得到

    (32)

    將(32)代入(31)得到方程(29).

    為了研究由(29)確定的曲線(xiàn)γ,通過(guò)坐標(biāo)變換

    T∶Px'y'→Pxy,x=cosθx'+sinθy',y=-sinθx'+cosθy',

    bx′2+cy′2=a,

    (33)

    其中

    (34)

    根據(jù)參數(shù)a,φ的不同情況,由方程(33)所描述了不同的二次曲線(xiàn).

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