有關里卡蒂方程的系統(tǒng)研究

張瑋瑋

（安慶師范大學 數(shù)理學院，安徽 安慶 246133）

反映客觀世界運動過程中量與量之間的關系可以用常微分方程關系式進行描述，因此，需要通過求解常微分方程來了解未知函數(shù)的關系。常微分方程屬于數(shù)學分析的一支，是數(shù)學與應用密切相關的基礎學科。關于常微分方程的求解，希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解，即求通解。萊布尼茲（Leibniz）曾專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題，歐拉（Euler）則試圖用積分因子統(tǒng)一處理，其中，伯努利（Bernoulli）、里卡蒂（Riccati）微分方程就是在研究初等積分時被提出、后人以他們的名字命名的方程[1]。然而，能用初等解法解決的微分方程是有限的，絕大部分微分方程是沒有解析解的，或者還沒有有效的方法求其解析解，譬如形式簡單的里卡蒂方程。除了少數(shù)情況外，里卡蒂方程沒有初等解法，這一事實在1841年被法國數(shù)學家劉維爾（Liouville）證明。于是，人們尋求別的方法來研究微分方程問題[2]。

里卡蒂方程是一類特殊的微分方程，在流體力學和彈性振動等領域有著重要應用。1724年，數(shù)學家里卡蒂首次給出了該方程的特殊形式，并受到學者關注[3]。由于里卡蒂方程在理論和實際中都有著一定的重要性，對此類方程通解的求法一直被廣大學者重視[4-9]。例如，王明建等利用初等方法研究一類特型Riccati微分方程有解的充要條件，并得到了Riccati方程的通解[7]；倪華等討論了通過變量變換來求幾類里卡蒂方程的通解[8]；戴偉等介紹了含有指數(shù)函數(shù)的Riccati微分方程通解的求法[9]。以上討論的都是當方程滿足一定條件下的里卡蒂方程的特解及通解的求法。但除了這些特殊情況外，現(xiàn)有文獻還未見其他特殊類型的里卡蒂方程的求解方法。為彌足這一不足，本文研究三種特殊形式的里卡蒂方程特解求法（這一方程的系數(shù)函數(shù)之間有特殊內在關系），并借助初等變換得到此方程的通解，從而在不給出特解的情形下求其通解，豐富了里卡蒂方程的通解理論。

1 預備知識

里卡蒂方程的一般形式為

其中，P(x),Q(x),R(x)為x的連續(xù)函數(shù)。

雖然方程（1）的形式很簡單，但其通解并不能用初等解法求解。如果已知方程（1）的一個特解，那么通過變量變換，先將方程（1）轉變?yōu)椴匠?，再進一步轉化成線性方程來求通解。事實上，在已知一個特解的前提下，可以直接將方程（1）化為一階線性方程來求解。

然而，對于方程（1）特解的求解也并非易事，技巧性很強?，F(xiàn)研究當里卡蒂方程的系數(shù)函數(shù)P(x),Q(x),R(x)滿足一些特殊條件時，其特解及通解的求法，并研究在不求特解的前提下，如何求其通解。

2 主要結論與證明

首先討論三種特殊類型的里卡蒂方程特解的求法，給出特解的具體表達式，從而得到其通解。

3 應用舉例與總結

下面通過實例來分別說明上述方法的應用。

解對照方程（1）的形式，P(x)=e-2x,Q(x)=1,R(x)=-1，顯然符合類型2的情形。根據(jù)定理2得到(x)=ex，是該方程的一個特解。下面求其通解。設原方程的解為y(x)=z(x )+e（x其中z(x)為待定的未知函數(shù)），代入原方程中可得：

總之，里卡蒂方程通解的求法是一個開放性的課題。當系數(shù)函數(shù)滿足特殊條件時，先給出特解的一般形式，進而求其通解。在不給出特解的情形下，當方程的系數(shù)函數(shù)滿足一定條件時，可直接寫出通解。以上實例說明了這些方法的正確性和有效性，為今后研究里卡蒂方程的求解提供了新思路。在研究這類問題時，要注意解題技巧，要善于總結經驗，注意解題的靈活性，根據(jù)方程特點，作適當?shù)淖儞Q，將方程化為能求解的新類型，進而求解。