工程應(yīng)用背景下的“矩陣論”課堂教學(xué)設(shè)計

郭玉祥，張慶平，占生寶

（安慶師范大學(xué) 電子工程與智能制造學(xué)院，安徽 安慶 246133）

矩陣（Matrix）這一概念最早是由數(shù)學(xué)家Sylvester創(chuàng)立和引入的[1]，經(jīng)過兩個多世紀(jì)的發(fā)展，已廣泛應(yīng)用于控制理論與控制工程、計算機(jī)軟件與理論、電力系統(tǒng)及其自動化、電路與系統(tǒng)、信號與信息處理等領(lǐng)域。理工科研究生在進(jìn)入課題前一般都需要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)“矩陣?yán)碚摗?，因此，研究與探索矩陣?yán)碚撜n堂教學(xué)就顯得尤為必要。北京建筑大學(xué)崔景安教授提出矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)內(nèi)容應(yīng)與專業(yè)相結(jié)合，讓學(xué)生充分參與課堂，改進(jìn)考核方式[2]。貴州師范學(xué)院張俊忠博士研究了發(fā)生教學(xué)法在矩陣運算教學(xué)中的應(yīng)用，拓展了矩陣教學(xué)的深度，將矩陣課堂變?yōu)閱⒌现腔鄣母蹫砙3]。上海大學(xué)曾振柄教授根據(jù)教育學(xué)思想設(shè)計教學(xué)場景，以更直觀的方式讓學(xué)生理解矩陣論之行列式的本質(zhì)[4]。此外，還有教師在矩陣論課堂教學(xué)中推行了“微課”[5]、翻轉(zhuǎn)課堂和智慧課堂等教學(xué)方式[6-9]。但是，學(xué)生在學(xué)習(xí)矩陣論時依然遇到許多困難，究其原因無非是矩陣論太過于抽象，需要較高的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)，而且教學(xué)往往注重證明推理，缺乏與實際工程應(yīng)用的結(jié)合，學(xué)生不知為何學(xué)，學(xué)會了干什么。因此，本文基于工程應(yīng)用需求，從多智能體、線性系統(tǒng)、圖像處理等領(lǐng)域的具體實例出發(fā)，闡述矩陣?yán)碚撛诠こ躺系膽?yīng)用以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，針對不同知識內(nèi)容設(shè)計了3種不同教學(xué)方法，得到以具體應(yīng)用實例為背景的矩陣論教學(xué)設(shè)計方案與步驟，使枯燥無味的課堂變得妙趣橫生，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚摰闹鲃有浴⒎e極性和創(chuàng)造性。

1 矩陣在多智能體上的應(yīng)用

多智能體（一般指多智能體系統(tǒng)或技術(shù)）是上世紀(jì)末本世紀(jì)初人工智能領(lǐng)域的重要前沿學(xué)科，該研究涉及大量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，其中，鄰接矩陣是多智能體系統(tǒng)研究中不可回避的重要概念之一。本文以輪式移動智能機(jī)器人為例，說明什么是鄰接矩陣。假如，有5個輪式移動智能機(jī)器人，它們之間的連接信息如圖1所示，現(xiàn)用矩陣表示這5個機(jī)器人信息的連接關(guān)系，其中，用“1”表示兩機(jī)器人有信息連通（即i機(jī)器人可以得到j(luò)機(jī)器人的信息，反過來j機(jī)器人也可以得到i機(jī)器人的信息），“0”表示兩機(jī)器人無信息連通（即i機(jī)器人得不到j(luò)機(jī)器人的信息，反過來j機(jī)器人也得不到i機(jī)器人的信息）。

圖1 輪式移動智能機(jī)器人信息連接示意圖（左）及矩陣表示（右）

因此，在課堂上講授矩陣乘法運算時可以與多智能體的矩陣相聯(lián)系，在教學(xué)過程中，以引入多智能體的鄰接矩陣為背景，憑借建構(gòu)主義環(huán)境下的教學(xué)設(shè)計方法[11-13]，創(chuàng)設(shè)自主構(gòu)建知識情景，提供與矩陣運算相關(guān)的學(xué)習(xí)資源，在協(xié)作交流、思想碰撞下，通過解決實際問題的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到矩陣乘法的巨大用途，可以有效、輕松地解決許多難題。具體設(shè)計步驟：教學(xué)主題（矩陣運算的乘法）→多媒體展示多個機(jī)器人及相關(guān)視頻→提出移動智能機(jī)器人的信息連接問題→提供與矩陣運算相關(guān)的學(xué)習(xí)資源→自主學(xué)習(xí)矩陣乘法的知識內(nèi)容→交流學(xué)習(xí)心得→協(xié)作完成例題和練習(xí)→分組總結(jié)知識點、形成知識脈絡(luò)→課下布置練習(xí)、強化實踐。

2 矩陣在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

線性系統(tǒng)是控制理論最基本的研究對象，其許多重要成果是建立在準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上。對于線性系統(tǒng)來說，微分方程是其時域內(nèi)的主要表現(xiàn)形式，尤其是當(dāng)用復(fù)雜的微分方程來描述線性系統(tǒng)時，可以用向量、矩陣來表示。例如，考察同時有初始狀態(tài)和輸入作用的線性時不變定常系統(tǒng)運動規(guī)律[14]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫成一階微分方程的形式：

因此，在講授矩陣函數(shù)及其應(yīng)用時，依據(jù)傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計方法[11-13]，先系統(tǒng)地傳授知識內(nèi)容，打好基礎(chǔ)，然后提出移動小車的尋跡問題（類似于蟲子爬行軌跡問題），通過研究的方式解析這個實際應(yīng)用，讓學(xué)生感受到矩陣不僅僅只有理論推導(dǎo)，而且能解決實際問題。具體設(shè)計步驟：教學(xué)主題（矩陣函數(shù)及其應(yīng)用）→分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)者特征→設(shè)計教學(xué)策略（系統(tǒng)科學(xué)地傳授知識，并板書相關(guān)內(nèi)容）→列舉蟲子爬行軌跡問題，并完成求解→提出相似問題（如移動小車的尋跡）→學(xué)生交流并嘗試完成任務(wù)→教師和學(xué)生一起總結(jié)并形成知識脈絡(luò)→課下強化練習(xí)并布置相關(guān)應(yīng)用實踐。

3 矩陣在圖像處理上的應(yīng)用

圖像是人類感知世界的一種方式，用計算機(jī)對圖像進(jìn)行分析處理的技術(shù)稱為圖像處理或數(shù)字圖像處理。圖像在數(shù)學(xué)上可以表示為數(shù)組或矩陣，所以數(shù)字圖像處理本質(zhì)上就是用計算機(jī)處理矩陣，比如運用計算機(jī)對矩陣進(jìn)行求解特征值、特征向量以及矩陣奇異值分解等。下面以例子說明矩陣在MATLAB中如何創(chuàng)建、運算、求解特征值與特征向量，以及矩陣分解[16]。

試求矩陣A的特征值和特征向量。

解在MATLAB命令行窗口里創(chuàng)建矩陣A：＞＞A=[1 4 1 1;3 2 1-3;0 1 2 6;5 4 3-1]；

調(diào)用eig()，并輸入eig(A)，可以直接得到特征值：-4.162 2，6.000 0，2.162 2，1.652 3×10-15；

若輸入[v,d]=eig(A)可以得到特征向量矩陣和特征值矩陣：

用MATLAB中的奇異值分解函數(shù)svd()，進(jìn)行圖像壓縮，再特征值重構(gòu)，具體如下：用imread函數(shù)讀入圖2（a），用第1個特征值重構(gòu)如圖2（b），用前20個特征值重構(gòu)如圖2（c），用前80個特征值重構(gòu)如圖2（d），用前150個特征值重構(gòu)如圖2（e）。

圖2 矩陣分解在圖像處理中的應(yīng)用示意圖

因此，在講授矩陣之奇異值分解時，依據(jù)“學(xué)教并重”的教學(xué)設(shè)計方法[11-13]，確定課堂知識點順序，選擇和設(shè)計教學(xué)方式，因生、因材施教，形成教學(xué)評價，及時反饋和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)策略。具體設(shè)計步驟如下：教學(xué)主題（奇異值分解）→確定知識點和分析學(xué)習(xí)者特征→情境創(chuàng)設(shè)（多媒體展示圖片，解釋圖像處理技術(shù)，并用軟件操作如何實現(xiàn)，如上例所述）→自主學(xué)習(xí)難疑點講授→結(jié)合學(xué)習(xí)材料進(jìn)行知識遷移→協(xié)作下實踐練習(xí)→補充知識內(nèi)容并形成知識脈絡(luò)→分享實踐練習(xí)經(jīng)驗并總結(jié)課堂內(nèi)容。

4 結(jié)束語

教學(xué)設(shè)計是根據(jù)教學(xué)大綱和施教對象來謀劃的教學(xué)計劃和方案，其設(shè)計模式種類繁多，每一節(jié)課的設(shè)計方法依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和對象的不同而不同。根據(jù)教學(xué)系統(tǒng)設(shè)計理論，本文從多智能體、線性系統(tǒng)、圖像處理等工程技術(shù)領(lǐng)域的實例出發(fā)，根據(jù)建構(gòu)主義環(huán)境下的教學(xué)設(shè)計方法、傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計方法和“學(xué)教并重”的教學(xué)設(shè)計方法，得到以工程應(yīng)用為背景的矩陣?yán)碚摻虒W(xué)設(shè)計過程。雖然不能對每一節(jié)矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)內(nèi)容都給出其工程應(yīng)用上的教學(xué)設(shè)計方案，但積極嘗試了將工程應(yīng)用穿插到課堂教學(xué)中，讓枯燥無味的數(shù)學(xué)理論變成妙趣橫生、回味無窮的數(shù)字電影，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。