新冠疫苗接種的動態(tài)演化博弈分析

蘇 然，廖慧敏，陳森林

（安慶師范大學 數(shù)理學院，安徽 安慶 246133）

2019新型冠狀病毒（COVID-19）給人民的身體健康和正常生活造成了極大的傷害，接種新冠疫苗是行之有效的預(yù)防手段[1-2]。陳薇等[3]分析了研制新冠疫苗和推進疫苗接種面臨的挑戰(zhàn)，吳海等[4]探討了影響疫苗接種的因素，Garvey等[5]論述了不同方式接種COVID-19疫苗的影響。本文以演化博弈論為理論依據(jù)，刻畫政府和城鄉(xiāng)居民在疫苗接種過程中的博弈策略?？紤]博弈雙方在疫苗接種過程中的聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上得到雙方的收益矩陣，分析均衡點的穩(wěn)定性。但在實際生活中，城鄉(xiāng)居民參與疫苗接種的概率受“從眾心理”影響，據(jù)此引入動態(tài)損失函數(shù)來刻畫城鄉(xiāng)居民拒絕接種疫苗所帶來的損失。

1 新冠疫苗接種的演化博弈模型構(gòu)建

假設(shè)在博弈過程中只有城鄉(xiāng)居民和政府兩類有限理性的博弈參與方，且疫苗接種后永久保持免疫效果。對已經(jīng)研制成功且通過臨床試驗的新冠疫苗，城鄉(xiāng)居民可選擇接種，也可選擇不接種，假設(shè)選擇接種疫苗的概率為x，則選擇不接種疫苗的概率為1-x。政府同樣也有兩種策略：積極推進、順其自然，假設(shè)選擇積極推進疫苗接種的概率為y，則選擇順其自然的概率為1-y。

假定P1是城鄉(xiāng)居民接種疫苗的收益，如增強機體對病毒的免疫能力；P2是城鄉(xiāng)居民的基礎(chǔ)收益，包含城鄉(xiāng)居民日常工作和生產(chǎn)經(jīng)營的總收入；P0是城鄉(xiāng)居民自覺接種疫苗時的額外收入，如降低被感染風險、進一步增強抵抗力等；C1是政府積極推進疫苗接種的成本，如宣傳疫苗接種的廣告投入成本、研制疫苗的資金投入成本等；C2是政府面臨疫情擴散等的經(jīng)濟損失；P3是城鄉(xiāng)居民接種疫苗，社會繁榮發(fā)展時的政府收益；P4是政府的基礎(chǔ)收益，包括政府的稅收收入等；B是政府積極推進疫苗接種，但城鄉(xiāng)居民拒絕接種疫苗的損失；A是政府積極推進疫苗接種，但城鄉(xiāng)居民不接種疫苗時的政府損失。根據(jù)模型假設(shè)，可以得到城鄉(xiāng)居民和政府的收益矩陣，如表1所示。

表1 收益矩陣

城鄉(xiāng)居民選擇接種疫苗的期望收益為Ex，選擇不接種疫苗的期望收益為E1-x，城鄉(xiāng)居民以概率x選擇接種疫苗，以概率1-x選擇不接種疫苗的混合策略期望收益為，具體計算公式為

再將均衡點代入J中，求出均衡點對應(yīng)的行列式和跡，結(jié)果如表2所示。

表2 均衡點對應(yīng)矩陣的行列式和跡

2 模擬與分析

2.1 均衡點的穩(wěn)定性

均衡點的穩(wěn)定性取決于|J|和跡的正負[7]，|J|和跡的正負取決于收益矩陣中各參數(shù)的取值，見表3。由表3可知，在均衡點(x*,y*)處tr(J)=0，因此(x*,y*)不是系統(tǒng)演化的穩(wěn)定點，故只需判斷均衡點O、D、E、F的穩(wěn)定性。城鄉(xiāng)居民接種疫苗可以增強免疫能力，保證自身收益穩(wěn)步上升，因此P1+P0＞P2。在此條件下，為便于分析，只需討論B+P1-P2、C2-C1-A、C2-C1的正負。由表3可知，P1+P0-P2＞0時，（0，0）不是政府和城鄉(xiāng)居民演化博弈的穩(wěn)定點，即政府不采取具體措施且城鄉(xiāng)居民不接種疫苗是永遠不可能穩(wěn)定存在的。由表3可知，當C2-C1-A＞0且P1+B-P2＜0時，即政府面臨疫情擴散時的損失大于政府積極推進疫苗接種的成本，且城鄉(xiāng)居民接種疫苗的收益小于不接種疫苗的收益，此時，（0，1）是城鄉(xiāng)居民和政府演化博弈的穩(wěn)定點。

表3 均衡點穩(wěn)定性分析

設(shè)P0=0.5，P1+B-P2=-1，C2-C1-A=1，城鄉(xiāng)居民接種疫苗的概率x和政府積極推進疫苗接種的概率y的初始取值均為0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1.0，則博弈系統(tǒng)在不同初始概率下向穩(wěn)定點（0，1）演化的過程如圖1（a）所示。因為個體的免疫能力不同，接種疫苗后可能會產(chǎn)生不良反應(yīng)，從而接種疫苗的收益P1小于不接種疫苗的收益P2，博弈系統(tǒng)將向（0，1）演化，即城鄉(xiāng)居民選擇拒絕接種疫苗。因此，為促進接種疫苗，政府應(yīng)監(jiān)管疫苗接種的安全性，降低疫苗接種的風險性。

由表3可知，當C2-C1＜0且P1+P0-P2＞0時，即政府積極推進疫苗接種的成本大于疫情擴散的損失，且城鄉(xiāng)居民接種疫苗的收益大于不接種疫苗的收益，此時，城鄉(xiāng)居民的最優(yōu)策略是選擇自覺接種疫苗，系統(tǒng)中所有的初始值經(jīng)過一段時間的演化后都收斂于穩(wěn)定點（1，0）。設(shè)B=2，P1+P0-P2=2，C2-C1=-1，A=1，根據(jù)上述分析，模擬得到博弈系統(tǒng)在不同初始概率下向穩(wěn)定點（1，0）演化。接種疫苗增強了個體對病毒的免疫能力，有效降低了被感染的風險，城鄉(xiāng)居民接種疫苗概率都向x=1演化，但由于政府的投入成本C1較大，導致博弈系統(tǒng)最后演化成如圖1（b）所示，演化后都收斂于（1，0），即在政府不干預(yù)的情況下，所有城鄉(xiāng)居民都自覺接種疫苗。

而且，當C2-C1＞0且P1+B-P2＞0時，即政府積極推進疫苗接種的成本遠小于疫情擴散的損失，且城鄉(xiāng)居民接種疫苗收益大于不接種疫苗收益時，（1，1）是穩(wěn)定點。設(shè)B=2，P1-P2=1，C2-C1=2，P0=1，A=1，在這種情況下因政府大力推進疫苗接種且城鄉(xiāng)居民積極參與，降低了城鄉(xiāng)居民被病毒感染的風險，如圖1（c）所示，系統(tǒng)向穩(wěn)定點（1，1）演化，即政府積極推進疫苗接種時，城鄉(xiāng)居民都自覺接種疫苗。

圖1 博弈雙方向穩(wěn)定點演化的動態(tài)過程。（a）（0，1）；（b）（1，0）；（c）（1，1）

2.2 動態(tài)損失下的演化博弈分析

在前面的分析中，假設(shè)政府積極推進疫苗接種，但城鄉(xiāng)居民考慮可能會產(chǎn)生不良反應(yīng)拒絕接種疫苗時的損失B為固定值。然而，從實際情況來看，接種疫苗的概率和疫苗接種時的心理特征有關(guān)。城鄉(xiāng)居民在疫苗接種的策略選擇上，往往會出現(xiàn)“從眾心理”，當個體周圍選擇接種疫苗的概率越大，個體選擇接種疫苗的概率也隨之上升[8-11]，反之，則不然。城鄉(xiāng)居民拒絕接種疫苗的概率會影響其損失B，故考慮用對數(shù)損失函數(shù)B=log( )

1+e1-x來刻畫拒絕接種疫苗時的動態(tài)損失[12-13]，將B代入式（3），得到復制動態(tài)方程為

下面對博弈系統(tǒng)的4個均衡點O（0，0），D（0，1），E（1，0），F(xiàn)（1，1）的穩(wěn)定性進行分析，先求出該博弈過程的雅克比矩陣：

再將系統(tǒng)的均衡點代入J中，求出均衡點的行列式和跡，結(jié)果如表4所示。

表4 均衡點的行列式和跡

城鄉(xiāng)居民接種疫苗后對病毒的免疫力有所增強，健康收益穩(wěn)步上升，即P1+P0＞P2。此時，均衡點（0，0）的雅可比矩陣的行列式和跡均為正，所以（0，0）不是穩(wěn)定點；考慮損失函數(shù)的取值范圍恒為正，據(jù)表4可知均衡點（0，1）的雅可比矩陣的行列式恒為負，所以（0，1）不是穩(wěn)定點。均衡點（1，0）滿足演化穩(wěn)定策略，但在實際生活中，疫情擴散造成的損失較大，C2作為政府面臨疫情擴散時的經(jīng)濟損失大于政府積極推進疫苗接種過程中的成本C1，均衡點（1，0）的雅可比矩陣的行列式為負，所以（1，0）不是穩(wěn)定點。均衡點（1，1）滿足演化穩(wěn)定策略，如圖2所示，系統(tǒng)中所有的初始值經(jīng)過一段時間的演化后都收斂于（1，1），即城鄉(xiāng)居民選擇接種疫苗的概率向x=1演化，而政府積極推進疫苗接種的概率向y=1演化，最終博弈系統(tǒng)向穩(wěn)定點（1，1）演化。

圖2 動態(tài)損失下博弈雙方策略選擇過程

綜上所述，在引入動態(tài)損失函數(shù)的條件下，該系統(tǒng)仍具有穩(wěn)定性。在實際情況中，隨著“從眾心理”的出現(xiàn)，越來越多的城鄉(xiāng)居民積極接種疫苗，這表明政府積極推進疫苗接種、城鄉(xiāng)居民積極參與接種疫苗會達到疫情防控最佳效果。

3 結(jié)束語

本文以演化博弈論為理論依據(jù)，構(gòu)建新冠疫苗接種的演化博弈模型，闡述雙方的收益矩陣，分析城鄉(xiāng)居民和政府選擇不同策略的演化過程，提出在有限理性條件下雙方策略演化過程的復制動態(tài)方程。若要降低城鄉(xiāng)居民被病毒感染的風險、增強機體對病毒的免疫能力，政府必須鼓勵城鄉(xiāng)居民積極參與疫苗接種。對于上述結(jié)論，給予兩點建議：（1）政府在疫苗研制過程中應(yīng)給予資金、人才和設(shè)備等方面的支持；相關(guān)部門應(yīng)該嚴格把關(guān)疫苗研制過程的安全性，確保疫苗生產(chǎn)符合安全標準；（2）城鄉(xiāng)居民應(yīng)積極參與疫苗接種。