基于變形的植物葉片邊緣鋸齒模擬

馬思遠，陸 玲，任 彪

（東華理工大學(xué)，江西 南昌 330013）

0 引 言

植物葉片是植物的重要組成部分，是植物進行光合作用和蒸騰作用的主要場所。大部分葉片的結(jié)構(gòu)類似平面，具有復(fù)雜的生物學(xué)特征和光學(xué)特性，所發(fā)揮的生理和生態(tài)功能與其特性密切相關(guān)。在虛擬植物建模的器官研究中，植物葉片可視化作為一種普遍的技術(shù)需求和應(yīng)用趨勢，受到越來越多的關(guān)注與研究。

真實感植物葉片的建模技術(shù)主要分為以下幾類：基于參數(shù)面片的方法、基于過程的方法和基于圖像的方法。文獻[1]利用輪廓特征點建立植物葉片模型，對邊緣提取的特征點進行三次樣條曲線插值，實現(xiàn)植物葉片輪廓的幾何重建，但對于邊緣帶有大量細節(jié)信息的葉片，則會丟失部分細節(jié)；文獻[2]借助球B 樣條曲線生成煙草葉脈，利用掃描儀獲取標記點同時作為之后葉片曲面的控制點，將逼近型B 樣條構(gòu)造的葉片曲面與葉脈拼接生成完整葉片，優(yōu)化了以往由曲線繪制的葉脈，對于脈序特征不明顯及葉脈厚度較小的植物葉片幾何建模有一定的局限性；文獻[3]針對具有鋸齒形和波形葉緣的植物葉片，利用三角折線段和二次曲線生成葉緣特征，并設(shè)計了交互式的圖形可視化界面，其合并后的葉緣分類粗放，對于葉緣的精確描述稍顯欠缺。

通過不同形式組合的正弦函數(shù)，本文提出一種植物葉片幾何建模方法。首先根據(jù)樹葉圖像確定基礎(chǔ)矩形的長寬比，模擬出對應(yīng)的葉形；其次，利用正弦函數(shù)模擬具體類型的鋸齒，根據(jù)實際情況改變鋸齒方向；最后添加葉尖、葉基和圓錐曲線繪制的葉脈，生成完整的葉片模型。實驗結(jié)果證明該方法能夠簡單、有效地構(gòu)建二維植物葉片模型，較好地保持了真實葉片的葉緣特征。

1 葉形分類及生成

1.1 葉片形狀分類

植物葉片的常見類型可以大致分為矩圓形、橢圓形、卵圓形和倒卵形四種，如圖1所示。矩圓形葉緣兩側(cè)近于平行，葉片長寬比約為3∶1；橢圓形葉片中央最寬，至兩端漸轉(zhuǎn)狹，葉片長寬比約為1.5∶1；卵圓形葉片中部以下最寬，向葉尖漸狹，基部圓闊，長寬比約為2∶1；倒卵形葉片中部以上最寬，向葉基漸狹，尖部圓闊，長寬比約為2∶1。

圖1 葉片形狀

1.2 葉片形狀生成

基于實際葉片的長寬比，用平面矩形參數(shù)定義葉片的初始輪廓，確定矩形的下邊中點在坐標原點。文獻[5]在矩形平面的基礎(chǔ)上，上下左右四邊都進行正弦函數(shù)變形來模擬南豐蜜桔葉片，根據(jù)葉片形狀對矩形平面設(shè)定不同幅度、頻率、相位的水平方向變形函數(shù)T(,)和垂直方向變形函數(shù)T(,)，添加至初始矩形中。如下：

式中：，為平面在，方向的長度；為平面在軸上的截距，此處為零。

葉片邊界形狀對應(yīng)的變形函數(shù)分別為：

式（2）用于模擬矩圓形葉片，前后項分別控制在原矩形的上下方生成一個半徑為2 的半圓。圖2a）中的參數(shù)值為：=300，=150。

式中：S為控制橢圓形方向的彎曲幅度；S為控制橢圓形方向的彎曲幅度。

用于模擬橢圓形葉片，根據(jù)矩形的高寬和S，S能夠確定橢圓的長扁。圖2b）中的參數(shù)值為：=300，=150，S=52，S=72。

式中：S為控制方向上的變形幅度；S為控制上部圓形的變形幅度；S為控制下部圓形的變形幅度；S為控制上下對稱程度，當S>0 時為卵圓形葉片，當S<0 時為倒卵形葉片。

用于模擬卵圓形和倒卵形葉片，形狀會隨著具體取值而變化。圖2c）中的參數(shù)值為：=300，=150，S=50，S=0.7，S=40，S=70。圖2d）中S=-0.7。

圖2 葉形模擬

2 葉緣鋸齒的分類與生成

針對具有鋸齒葉緣的植物葉片進行研究，葉緣受葉肉的發(fā)育和葉脈的分布狀態(tài)等的影響而表現(xiàn)出各種形狀。鋸齒的上下側(cè)邊可以分為外彎的、內(nèi)彎的、直的和漸尖的4 種，如圖3 所示。設(shè)鋸齒上下側(cè)邊對稱、齒間隔規(guī)律，則有圓形、尖形、直形、漸尖形4 類鋸齒。在基礎(chǔ)的橢圓形葉片形狀上添加用于模擬鋸齒的T和控制鋸齒方向的T函數(shù)。模擬葉齒方向隨著葉邊方向改變，其方向變化幅度與方向變化幅度相近的情況。

圖3 葉齒分類

2.1 圓形鋸齒

用正弦函數(shù)直接控制鋸齒的變化情況，來模擬葉齒上下側(cè)邊均為外彎的圓形鋸齒，如下式：

式中：D為控制葉齒在方向上的長度；D為控制葉齒的密度，與單位葉齒在方向上的長度成反比。

通過求絕對值得到僅為正的波形，在圖像上表現(xiàn)為連續(xù)的近半圓形。參數(shù)取值對鋸齒的影響如圖4a）~圖4c）所示。

圖4 鋸齒參數(shù)示意圖

2.2 尖形鋸齒

用反方向正弦函數(shù)模擬葉齒上下側(cè)邊均為內(nèi)彎的尖形鋸齒，如下式：

對正弦函數(shù)絕對值取反后得到尖形向外的波形，移動π 2 個相位使其鋸齒更均勻。參數(shù)取值對鋸齒的影響如圖4d）~圖4f）所示。

2.3 直形鋸齒

用兩個相位差為90°且方向相反的兩個正弦函數(shù)之和模擬葉齒上下側(cè)邊均為直的直形鋸齒，如下式：

兩個正弦波錯開相位使其在波峰處疊加，葉齒最長為兩倍D，參數(shù)取值對鋸齒的影響如圖4g）~圖4i）所示。

2.4 漸尖形鋸齒

用圓齒的小幅度部分反向添加到大幅度的位置處來模擬葉齒上下側(cè)邊均為漸尖的漸尖形鋸齒，如下式：

修改圓齒的方程，在尖端處將圓齒反向并拉長至兩倍D，同樣移動相位使其符合預(yù)期。參數(shù)取值對鋸齒的影響如圖4j）~圖4l）所示。

2.5 控制模擬葉齒的朝向

若模擬朝向水平方向的葉齒形狀，則T=0；而對于葉齒方向總是朝上的情況，則改變?nèi)~齒的方向，向上作與方向相同的變形。兩種朝向的鋸齒示例圖如圖5所示。

圖5 不同朝向的葉齒

3 植物葉片形狀造型過程

以石楠葉為例，葉片形狀建模過程如圖6 所示。

由于平面的邊界曲線變形是平面上所有坐標點的位置變化，為保證其模擬效果，葉片邊界建模過程如下：

1）邊界曲線變形

圖6b）在，方向上的變形函數(shù)為：

圖6 葉片邊界輪廓造型過程圖

矩形平面的左右兩邊界（=±0.5）變形最大，垂直中心軸（=0）變形最?。?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">T=0）。根據(jù)實際葉片形狀，可以調(diào)節(jié)式中的變形幅度（S）與變形相位（0.5）。

2）葉緣鋸齒變形

采用2.4 節(jié)中的漸尖形鋸齒，且鋸齒方向始終朝上。圖6c）的方向鋸齒變形函數(shù)為：

方向鋸齒變形函數(shù)為：

如果鋸齒大小不均勻，可以使用多個不同幅度、頻率與相位的正弦函數(shù)疊加作為葉緣變形函數(shù)。

3）葉尖葉基處的局部變形

主要使用影響范圍小且非周期的高斯函數(shù)作為局部變形函數(shù)。

圖6d）中用T生成葉尖處，T為葉基。其葉基中間位置是一個凸出變形，如果是凹進形，只需要在式（12）前加一個負號。葉尖也可以使用定制的高斯函數(shù)進行變形。

4）將上述多個變形函數(shù)疊加到相應(yīng)方向的坐標上，可以得到最終變形后石楠葉片在方向上的總參數(shù)方程Δ和方向上的總方程Δ：

4 實驗分析結(jié)果

實驗在Windows 10 系統(tǒng)下采用Visual C++ 6.0 編寫代碼，計算機硬件配置為i7-8565u（2.4 GHz）CPU，8 GB內(nèi)存，Graphics 620顯卡。采用上述建模方法繪制了4 類不同種類的植物葉片與真實圖像進行對照，如圖7所示。根據(jù)葉片實際情況結(jié)合隨機數(shù)方法，用圓錐曲線模擬了葉脈。用葉尖函數(shù)T和葉基函數(shù)T替換模擬尖部和基部的特征。實驗結(jié)果表明該方法適應(yīng)性較強，參數(shù)便于修改，雖受調(diào)試過程影響，每種植物葉片都需要獨立的參數(shù)方程且模型不盡相同，但鋸齒分布相對均勻的葉片仍能取得較好的建模效果。

圖7 實驗結(jié)果與真實照片對比

將多個變形函數(shù)疊加到相應(yīng)方向的坐標上，得到各自最終的葉片形狀參數(shù)方程。圖7 各葉片的特征如表1所示。

表1 葉片特征

5 結(jié) 語

本文研究了植物葉片邊緣輪廓的繪制，基于平面矩形變形，根據(jù)實際葉片的數(shù)據(jù)和幾何特征得出大部分葉片的外形輪廓?？刂迫~片形狀的參數(shù)部分會互相影響，因此需要反復(fù)實驗來調(diào)整模型的系數(shù)問題，但總體建模速度快，調(diào)試操作較為容易。本文方法主要針對鋸齒形狀模擬，引入脈序建模方法和簡單葉色模型后達到較好的仿真效果，此后會針對植物葉片紋理貼圖進行研究，并建立更多種類的植物葉片模型。其中部分技術(shù)問題仍未徹底解決，但已經(jīng)為將來的工作打下了一定的基礎(chǔ)，之后應(yīng)學(xué)習(xí)葉片表觀參數(shù)的相關(guān)模擬，對模型的真實性和穩(wěn)定性作進一步的研究和完善。