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    基于IFISTA 算法的LFM 信號壓縮感知重構(gòu)

    2022-06-14 10:25瑞,孟晨,王成,王
    現(xiàn)代電子技術(shù) 2022年11期
    關(guān)鍵詞:調(diào)頻頻譜線性

    張 瑞,孟 晨,王 成,王 強

    (陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 導(dǎo)彈工程系,河北 石家莊 050003)

    0 引 言

    線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation,LFM)(也稱Chirp)信號廣泛應(yīng)用于聲吶、雷達、通信和礦山探測等系統(tǒng)中,該信號的分析和處理一直是現(xiàn)代信號處理領(lǐng)域中較為重要的研究方向。LFM 信號的頻帶較寬,根據(jù)奈奎斯特采樣理論,數(shù)據(jù)采樣必須至少是信號最大頻率的兩倍,面對高頻率的LFM 信號,現(xiàn)有高速ADC 的采樣速率已難以達到奈奎斯特采樣的要求,同時采樣得到的海量數(shù)據(jù)也給數(shù)據(jù)壓縮、傳輸、存儲帶來了巨大壓力。

    壓縮感知(CS)是解決上述問題的一種新理論,其采樣頻率可以遠低于奈奎斯特采樣速率。在壓縮感知方案下,數(shù)據(jù)壓縮在傳感器中與采樣同時進行。CS 理論可以分為三個部分:稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)。首先,只有在一定變換域內(nèi)足夠稀疏的信號才能被認為是可壓縮的,這是CS 應(yīng)用的前提;然后,對于有限等距性質(zhì)(RIP),需要下采樣測量矩陣,這避免了測量后的信息損失。一些隨機矩陣,如高斯和伯努利隨機矩陣,被證明適用于CS 測量;最后,用適當(dāng)?shù)闹亟ㄋ惴ㄖ亟ㄐ盘枴S捎谥亟ㄋ璧臉颖具h低于奈奎斯特采樣速率,壓縮感知降低了信號采集中的采樣頻率和存儲量。

    壓縮感知被廣泛應(yīng)用于LFM 信號的欠采樣處理,重構(gòu)作為壓縮感知最重要的部分,重構(gòu)算法的性能好壞將直接影響重構(gòu)結(jié)果的精度。針對LFM 信號的壓縮感知重構(gòu),文獻[10]利用LFM 信號在FRFT 域的稀疏特性,構(gòu)造FRFT 正交基字典,最后建立了在FRFT 域的LFM 雷達回波信號壓縮采樣模型,采用OMP 重構(gòu)算法進行重構(gòu)。文獻[11]采用OMP 算法完全實現(xiàn)非合作寬帶線性調(diào)頻雷達脈沖壓縮信號的稀疏分解與信號重構(gòu),并且重構(gòu)誤差可控制在5%以內(nèi),但是隨著信號環(huán)境的惡化、信噪比的下降,OMP 算法針對信號的重構(gòu)誤差緩慢增大,壓縮感知性能下降。文獻[12]基于Chirplet 字典構(gòu)建了一種基于凸優(yōu)化基追蹤的稀疏重構(gòu)算法,通過將原來的基追蹤問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題,再通過原對偶誤差對比內(nèi)點算法進行求解。算法能夠精確重構(gòu)寬帶線性調(diào)頻信號,實現(xiàn)瞬時頻率和相位信息的精確重構(gòu),但是算法運算復(fù)雜度較高。文獻[13]利用OMP 算法進行線性調(diào)頻信號的壓縮重構(gòu)仿真,重構(gòu)效果較好,但是存在低信噪比下重構(gòu)效果不佳的問題。針對LFM 信號的壓縮感知重構(gòu),以上研究大多采用傳統(tǒng)的OMP、MP重構(gòu)算法,存在著低信噪比下重構(gòu)效果不佳、計算復(fù)雜度大等不足。

    文獻[14]提出了快速迭代收縮閾值算法(FISTA),該方法相比ISTA 算法簡化了重建計算,提高了效率。文獻[15]采用FISTA 算法進行腦功能網(wǎng)絡(luò)降噪重建,準確率提高到98%以上,有效地抑制了噪聲??紤]到低復(fù)雜度和高效率,F(xiàn)ISTA 算法被認為是壓縮感知中一種高效的重構(gòu)算法,然而,將其應(yīng)用于線性調(diào)頻信號時出現(xiàn)了一些新的問題,其中之一就是重構(gòu)效果不佳。在利用傳統(tǒng)FISTA 算法時,一些有用的信息在迭代過程中丟失,這導(dǎo)致大的重構(gòu)誤差。

    為了解決這個問題,本文提出了一種改進的FISTA方法用于線性調(diào)頻信號的壓縮感知重構(gòu)。首先利用LFM 信號在FRFT 域的稀疏特性建立正交字典,形成LFM 信號良好的稀疏表示。在FISTA 算法的迭代過程中對在FRFT 基字典下的重構(gòu)系數(shù)進行分析。然后,與特征相關(guān)的系數(shù)將被保護免受閾值收縮,以減少信息損失。通過仿真實驗分析,相比利用傳統(tǒng)的FISTA 算法,本文提出的IFISTA 算法改善了線性調(diào)頻信號的重構(gòu)效果,能夠獲得更高的重構(gòu)精度,以及在更低的SNR 情況下獲得更高的重構(gòu)概率。

    1 線性調(diào)頻信號壓縮感知理論基礎(chǔ)

    1.1 壓縮感知理論

    在壓縮感知理論下,要求信號是可壓縮的,這意味著信號在變換域是多余的。假設(shè)變換域為,信號在時域內(nèi)長度有限,那么:

    式中:是稀疏向量,s(=1,2,…,)是稀疏系數(shù);在該模型中,變換域是正交字典,Ψ (=1,2,…,)是字典原子。如果稀疏向量只有幾個非零或大的系數(shù),那么信號是可壓縮的,并且如果非零或大系數(shù)個數(shù)為,則為稀疏。

    對于稀疏信號,CS 測量的過程表示為:

    式中:是測量矩陣;是測量向量。為了保證原始信號的成功重建,需要滿足RIP,即:

    式中:σ是受限等距約束(RIC),σ<1。已知當(dāng)樣本≥(×log())時,高斯或伯努利隨機矩陣滿足RIP。在這種情況下,是的長度,是的長度。利用RIP,測量矩陣能夠從原始信號捕獲足夠的信息,并且式(2)具有獨特的逆轉(zhuǎn)性。然而,從下采樣測量向量中找到唯一的反轉(zhuǎn)仍然是一個NP 難問題。

    式中′是重構(gòu)信號。通常測量是帶噪聲的觀察,因此,重建描述為以下的近似問題:

    式中:是取決于噪聲方差的參數(shù);‖ ? ‖是范數(shù),它是向量的非零元素數(shù)。如上所述,由于不一致,很難找到解決方案。為了解決這個問題,Donoho 將范數(shù)轉(zhuǎn)化為范數(shù),即:

    然后問題可以通過凸優(yōu)化方法解決。

    1.2 分數(shù)階傅里葉變換理論

    1980 年Namias 從傅里葉變換的特征值和特征函數(shù)的角度,根據(jù)特征值的任意次冪運算首次提出了分數(shù)傅里葉變換的概念。1993 年Ozaktas 和Mendlovic 又在Mc Bride 的基礎(chǔ)上將FRFT 應(yīng)用于光學(xué)實現(xiàn)以及光學(xué)信息處理。同年,Almeida 指出FRFT 可以解釋為時頻平面的旋轉(zhuǎn),從時間軸和頻率軸的關(guān)系上看,F(xiàn)RFT 是一類線性時頻變換,這種變換同時展現(xiàn)出信號在時域和頻域上的全部特征。通俗地講,信號的傅里葉變換可以視為信號從時間軸上逆時針旋轉(zhuǎn)π 2 到頻率軸的表示,而其FRFT 則可看成信號從時間軸逆時針旋轉(zhuǎn)任意角度到軸的表示。

    Ozaktas 等人在文獻中給出了具有與FFT 相當(dāng)復(fù)雜度的離散算法,使FRFT在信號處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

    信號()的FRFT 可以表示為:

    Chirp基的調(diào)頻率隨著旋轉(zhuǎn)角度而變化,當(dāng)LFM 信號與某一個Chirp 基的調(diào)頻率一致時,會產(chǎn)生函數(shù),此時LFM 信號在FRFT 域上表現(xiàn)出良好的時頻聚集特性。

    只要找到LFM 源信號符合能量聚集特性的變換階次,就可以找到對應(yīng)的FRFT 基,從而構(gòu)造出相應(yīng)的正交集字典,實現(xiàn)信號的良好稀疏表示。

    采用直接采樣連續(xù)分數(shù)階變換核得到離散分數(shù)階傅里葉變換(DFRFT)核矩陣,其中Ozaktas 和Pei 采樣型算法使用最普遍,本文選取Pei 采樣型算法構(gòu)造FRFT正交基字典,其基本思路為直接對輸入輸出變量實現(xiàn)采樣,然后通過限定輸入輸出采樣間隔來保持變換的可逆性。這種算法具有計算復(fù)雜度低、運算效率高的特點。

    2 LFM 信號重構(gòu)的改進FISTA 方法

    2.1 FISTA 理論

    要解決式(6),引入FISTA 是為了簡化和提高效率。在文獻[14]中,F(xiàn)ISTA 給出了高全局收斂速度的重構(gòu)。作為迭代收縮閾值算法(ISTA)的擴展,F(xiàn)ISTA 被用來解決線性逆問題,可以描述為:

    為了得到稀疏解,在式(7)中添加一個正則項,那么目標函數(shù)可以描述為:

    式中:>0 是正則參數(shù);‖‖被命名為的范數(shù)的分量的絕對值之和。與式(6)相比,可以看出式(8)的解是通過求解凸優(yōu)化問題對原始信號的近似。通過收縮/軟閾值步驟獲得解決方案,即:

    式中:是步長;是迭代次數(shù);T(?)是收縮算子,描述如下:

    式中:是閾值,是常數(shù)參數(shù)。

    對于ISTA,下一次迭代的輸入是上一次迭代的輸出。但是,它的全局收斂速度很慢。為了解決這個問題,文獻[14]提出了通過優(yōu)化初始值的FISTA:

    式中p是極小值。證明了FISTA 的復(fù)雜度為( 1),而ISTA 的復(fù)雜度為( 1)。由于計算簡單、收斂速度快,F(xiàn)ISTA 算法被認為是一種有效的、通用的壓縮感知重構(gòu)算法。

    2.2 FISTA 應(yīng)用于LFM 信號重構(gòu)時存在的問題

    FISTA 算法計算簡單、收斂速度快,在重構(gòu)過程中耗時少。但是,應(yīng)用在線性調(diào)頻信號中,重構(gòu)效果還有待進一步提高。對于線性調(diào)頻信號,它的重構(gòu)系數(shù)中包含一些小值系數(shù)。在迭代過程中,這些有用的小值系數(shù)可能會被丟棄,從而導(dǎo)致重建中的信息丟失。

    從式(9)和式(10)可以看出,每個收縮/軟閾值步驟可以分成兩個子步驟,一個是梯度步驟,可以描述為:

    然后使用收縮算子,另一個步驟是收縮。

    式(16)中的梯度步長用于最小化重構(gòu)誤差,而式(17)中的收縮算子T(?)旨在近似滿足正則項。對于收縮運算T(?),從式(12)中得知,是對中所有元素的一個推演,之后如果元素還是正數(shù),則保留,如果元素是負數(shù),將為0。

    這是一個很好的控制正則項的方法,但是它并不穩(wěn)定。如上所述,獲得的線性調(diào)頻信號與強噪聲混合,那么梯度步長可能會導(dǎo)致偏差,從而誤導(dǎo)迭代過程,那必然會降低收斂速度。另一方面,使用收縮運算符T(?),的所有元素都需要扣除。那么對于變換域中固有的、小的有用系數(shù),這種推導(dǎo)實際上是有用信息的損失。由于信息損失是由收縮算子產(chǎn)生的,因此由強噪聲引起的迭代次數(shù)的增加會進一步加劇信息損失。例如,線性調(diào)頻信號在分數(shù)階頻譜上具有良好的稀疏特性,但是其中包含一些小的系數(shù)。使用收縮算子T(?),這些小系數(shù)將為0,這將增加重構(gòu)信號的誤差。同時,迭代次數(shù)越多,零值系數(shù)越多,重構(gòu)誤差也越大。

    2.3 LFM 信號的改進FISTA

    為了改善線性調(diào)頻信號的重構(gòu)效果,提出了IFISTA。在提出的方案下,被視為特征的系數(shù)不需要參與收縮的下一次迭代。然后這些系數(shù)將有助于在重建中保留有用的信息。該方案的關(guān)鍵是如何選擇特征系數(shù)。

    LFM 信號的雷達回波可表示為:

    式中:為信號的幅度;為信號的初始頻率;為調(diào)頻率。模擬的線性調(diào)頻信號時域波形如圖1 所示。

    圖1 LFM 信號時域波形

    采樣頻率為=512 MHz,采樣點數(shù)為1 024,頻率分辨率Δ==0.5 MHz。圖2 顯示了線性調(diào)頻信號在分數(shù)階頻譜中具有良好的稀疏性。當(dāng)模擬線性調(diào)頻信號的初始頻率不滿足頻率分辨率的整數(shù)倍時,分數(shù)階頻譜會產(chǎn)生泄露,如圖2b)、圖2c)所示。

    圖2 不同初始頻率LFM 信號的分數(shù)階頻譜

    在分數(shù)階頻譜中既包含大值系數(shù)又包含了一定的小值系數(shù),這些小值系數(shù)在迭代過程中,有用的小值系數(shù)可能會被丟棄,從而導(dǎo)致重建中的信息丟失。為了解決這個問題,提出了在分數(shù)階頻譜中索引特征系數(shù)向量,以獲得所有的特征系數(shù)。

    如表1 所示,當(dāng)初始頻率為頻率分辨率的整數(shù)倍時分數(shù)階頻譜無泄漏,泄漏寬度為0,分數(shù)階頻譜中只包含大值系數(shù);當(dāng)初始頻率為頻率分辨率的1 2 時,分數(shù)階頻譜中產(chǎn)生的泄漏寬度最大,小值系數(shù)最多。

    表1 不同初始頻率對應(yīng)的泄漏寬度值

    以頻率分辨率的1 2 倍為臨界條件,來確定分數(shù)階頻譜中索引特征系數(shù)向量的范圍。保留的系數(shù)為最大值系數(shù)的0.01 倍時,能夠較好地避免重建信息的丟失,由此來確定索引范圍。

    確定原子所在分數(shù)階頻譜位置,求得擴展范圍Δ,進而得到索引特征系數(shù)向量。

    以上分析基于原始信號。然而,在通過壓縮傳感器進行下采樣測量之后,很難獲得這些特征系數(shù)。為了解決這個問題,對迭代過程中的不穩(wěn)定重構(gòu)信號進行了簡單的分析。隨著迭代的進行,信號被逐漸重構(gòu)為近似原始信號,因此在迭代過程中提取信息是可行的。在提出的IFISTA 方案下,在分數(shù)階頻譜迭代過程中對重構(gòu)信號進行分析。如上所述,獲取的線性調(diào)頻信號通常有兩種特征系數(shù),一個是大值系數(shù),一個是通過索引向量確定的小值系數(shù)。那么屬于以上兩種情況的系數(shù)都被認為是特征系數(shù),這些特征系數(shù)不參與收縮算子T(?)的收縮步驟,從而增強了重構(gòu)信號的特征,提高了重構(gòu)效果。IFISTA 的流程圖如圖3 所示。

    圖3 IFISTA 算法流程圖

    3 仿真實驗與分析

    為了驗證該方法的有效性,對線性調(diào)頻信號進行了仿真實驗。仿真信號模型可表示為:

    式中:為載頻;為脈沖時間帶寬;為調(diào)頻率;為散射點個數(shù),在FRFT 基字典下即表示回波信號的稀疏度;A,τ分別表示第個散射點的散射強度和延時。

    仿真信號參數(shù)分別設(shè)置為:=0,=200 MHz,=2 μs,采樣率=512 MHz,= 1,信號的長度為1 024,設(shè)置了5 個分量的LFM 信號,距離起始位置分別為20,200,400,500,700,信號的歸一化幅度分別為0.9,0.4,0.7,0.5,0.6。

    采用Pei 采樣型算法構(gòu)建了信號的DFRFT 正交基字典,使用高斯隨機矩陣作為測量矩陣。模擬信號的時域波形如圖4a)所示,其分數(shù)階頻譜如圖4b)所示。

    圖4 LFM 信號時域波形與分數(shù)階頻譜

    利用測量矩陣,信號以低于源信號維數(shù)被采樣。將壓縮率設(shè)置為0.5,此時測量向量的長度為512。迭代的初始值由的轉(zhuǎn)置矩陣計算,即:

    根據(jù)經(jīng)驗設(shè)置為0.02,利用提出的IFISTA,目標函數(shù)被逐漸最小化。將提出的IFISTA 與文獻[13]提出的FISTA 進行比較,如圖5 所示。

    圖5 目標函數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系

    如圖5b)所示,利用提出的IFISTA,分析后,保護系數(shù),防止了一些特征系數(shù)收縮,增加了‖‖(正則項)。

    根據(jù)壓縮感知理論,信號的稀疏度是影響信號重構(gòu)效果的一個重要因素,采樣率也是影響重構(gòu)結(jié)果的一個重要因素。為進一步衡量所提出算法的性能,比較了信號在不同稀疏度情況下所提出的IFISTA與FISTA重構(gòu)效果。

    仿真信號分別設(shè)置為1 個分量的LFM 信號、3 個分量的LFM 信號以及5 個分量的LFM 信號,定義單分量LFM 信號的稀疏度為,選取的3 種信號的稀疏度分別為,3,5。

    在不同采樣率條件下,進行了IFISTA 與FISTA 重構(gòu)性能的比較,如圖6 所示。

    圖6 不同稀疏度下重構(gòu)成功率與采樣點數(shù)關(guān)系

    從圖6 可以看出,隨著采樣點數(shù)的增加,信號重構(gòu)成功概率不斷增大。相比于FISTA,提出的IFISTA 可以在更少的采樣點數(shù)情況下重構(gòu)成功。隨著信號稀疏度的增加,信號的稀疏性變差,重構(gòu)成功所需的采樣點數(shù)更多,采樣頻率要求更高。但是相比FISTA,IFISTA 仍然可以以更少的采樣點數(shù)成功重構(gòu)信號。這意味著在穩(wěn)定重建的前提下,IFISTA 可以具有比FISTA 更低的采樣率,這對于實際應(yīng)用來說非常有意義,因為對于所提出的IFISTA,理想的重建需要較少的測量。

    在不同信噪比條件下,本文算法與FISTA 算法的性能對比如圖7 所示,信噪比分別為10 dB,20 dB,30 dB,隨著信噪比的增加,算法的重構(gòu)性能都會提升,本文算法在重構(gòu)過程中保護了有用系數(shù),防止了一些特征系數(shù)收縮,使得重構(gòu)誤差降低,能夠以更少的采樣點重構(gòu)成功,本文提出的IFISTA 算法比FISTA 算法得到了更好的重構(gòu)性能。

    圖7 不同信噪比下重構(gòu)成功率與采樣點數(shù)關(guān)系

    圖8 顯示了不同重構(gòu)算法的性能比較,從圖中可以看出,采樣點數(shù)越多,各種算法的重構(gòu)誤差就越小,重構(gòu)效果就越好。相同條件下,本文算法得到的重構(gòu)誤差低于FISTA 算法、MP 算法與OMP 算法,本文算法在重構(gòu)精度方面表現(xiàn)更好。

    圖8 不同算法重構(gòu)誤差比較

    4 結(jié) 論

    本文針對傳統(tǒng)FISTA 算法在線性調(diào)頻信號壓縮感知重構(gòu)過程中重構(gòu)誤差大,低信噪比條件下表現(xiàn)不佳的情況,提出了IFISTA 的方案來重構(gòu)下采樣測量后的線性調(diào)頻信號。對于傳統(tǒng)的FISTA 算法,所有的系數(shù)都用收縮算子來約簡,這樣會損失一些有用的信息。為了解決這個問題,本文提出了IFISTA 來獲得更好的重建效果,首先對迭代過程中的線性調(diào)頻信號進行分析;然后構(gòu)造索引向量,選出在迭代過程中被保護不會收縮的特征系數(shù)。通過仿真信號實驗分析表明:IFISTA 算法在線性調(diào)頻信號重構(gòu)過程中保留了有用的系數(shù),減少了有用信息的損失,提高了信號的壓縮率和重構(gòu)精度;在低信噪比條件下重構(gòu)性能優(yōu)于傳統(tǒng)的FISTA 算法以及OMP 算法等。

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