在構造中體驗數(shù)學創(chuàng)造之美

鄒海斌

[摘? 要] 構造法是一種靈活新穎的解題方法，在數(shù)學學習各個階段有著廣泛的應用. 構造法因其沒有固定的模式可以套用，因此為學生創(chuàng)造性地解決問題提供了更為廣闊的空間，有效地激發(fā)了學生的創(chuàng)新意識，讓學生充分體驗到了創(chuàng)造的樂趣，從而激發(fā)了學習興趣. 而且通過構造將各知識點有效地串聯(lián)，在提升解題效率的同時，促進學生數(shù)學應用能力的全面提升.

[關鍵詞] 構造法;解題;創(chuàng)造

構造法是高中數(shù)學解題中富有創(chuàng)造性的重要解題方法之一，其中蘊含著轉化、化歸、類比等重要的數(shù)學思想，在解題中有著重要的應用. 它一般是根據(jù)題設條件或者結論特點構造出的一種新的數(shù)學模型，利用新的數(shù)學模型發(fā)現(xiàn)問題中的某種內在聯(lián)系，從而借助于新模型實現(xiàn)“未知”向“已知”轉化. “轉化”可謂是架設于原問題和新模型之間的高架橋，通過轉化幫助學生找到解題的切入點，進而調用已有經(jīng)驗解決問題. 構造法沒有固定的模式可以套用，更能彰顯學生的創(chuàng)造力，借此有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的數(shù)學思維，促進學生綜合能力提升. 值得注意的是，應用構造法解題切忌生搬硬套，構造前應確定好構造的目的，再結合題目的特點確定構造方案，切忌為了應用構造法而隨意構造. 筆者結合構造法在函數(shù)、方程、圖像等內容中的重要應用，談談幾點淺見，以期師生可以更加全面地認識構造法，并可以合理應用構造法提升數(shù)學綜合運用能力.

構造函數(shù)

函數(shù)在高中數(shù)學中的地位是不言而喻的，利用函數(shù)性質、函數(shù)圖像往往可以高效地解決問題. 在遇到一些抽象的方程、不等式問題時可以運用構造法將其轉化為函數(shù)問題，進而從函數(shù)的角度來思考問題，運用函數(shù)的性質去解決問題，以此拓寬解題思路，拓展數(shù)學思維，提升解題效率.

分析：函數(shù)與不等式看似獨立，然而卻密不可分，解題時將其相互轉化，往往可以事半功倍.

評注：函數(shù)與其他數(shù)學知識（如方程、不等式等）的聯(lián)系非常緊密，靈活應用函數(shù)性質和函數(shù)圖像可以解決很多問題，因此其在數(shù)學教學中也有著廣泛的應用. 本題為一個不等式證明題，雖然利用不等式的性質也可以順利進行證明，然應用構造函數(shù)的思路求解更有利于發(fā)展學生的數(shù)學思維.

構造方程

方程可以說是學生最熟悉的、解題時最常用的內容. 解題時通過觀察、思考、分析題設中的等式結構的特點，挖掘已知和未知的某種等量關系，進而將抽象的、特殊的內容通過方程的形式呈現(xiàn)出來，便于學生利用方程思想巧妙、合理、快速地求解.

例2 已知實數(shù)m，n，p滿足條件（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0，試證明：m，n，p為等差數(shù)列.

分析：本題雖然題設信息并不復雜，然若將等式（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0與等差數(shù)列聯(lián)系起來卻有些抽象. 觀察等式結構的特點，聯(lián)想到Δ=b2-4ac，故可利用方程將已知和結論聯(lián)系起來，進而借助于方程知識解決問題. 豐富了已知，便于證明.

評注：本題題設信息并不復雜，解決該問題也不局限于這一種方法，然應用構造方程的思路求解可以將不同的知識建立聯(lián)系，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力. 很多學生對數(shù)列中涉及的公式和定理背得滾瓜爛熟，然具體應用時卻常常無從下手，難以將公式、定理與題設信息建立聯(lián)系. 因此解題時屢屢碰壁，久而久之，容易對數(shù)列問題產(chǎn)生畏難情緒. 而方程是學生從小學就接觸的內容，對相關結論和相關應用都了如指掌，故將數(shù)列問題轉化為方程問題可以有效地避免學生產(chǎn)生畏難情緒，引導學生從方程的角度去思考數(shù)列問題，將兩者有機結合，高效解決問題. 同時利用構造法有利于鍛煉學生的觀察能力，如例2，只有仔細觀察（m-n）2-4（n-p）（p-m）=0的特點才能聯(lián)想到方程判別式，從而得到新方程，轉好后利用新方程順利解決問題. 可見，構造法的應用不僅可以提高解題效率，而且可以鍛煉學生的綜合能力.

構造圖形

如果僅從文字語言去分析很難將已知和結論聯(lián)系起來，不妨從幾何意義出發(fā)，通過圖形將已知和結論建立聯(lián)系，從而借助于圖形的直觀性化解代數(shù)的抽象性，化抽象為具體，化難為易，迅速求解.

例3 如圖1所示，已知有向線段PQ的起點P（-1，1）和終點Q（2，2）. 若直線l：x+my+m=0與有向線段PQ的延長線相交，試求實數(shù)m的取值范圍.

分析：題設中的方程為含參方程，若從代數(shù)的角度去思考顯然很難形成思路，因此可以考慮將直線方程變形，轉化為點斜式，通過分析直線l與有向線段斜率的關系，利用數(shù)形結合思想求解.

評注：本題是一道代數(shù)問題，若從代數(shù)的角度出發(fā)，則需要計算出有向線段PQ的方程，進而與直線l進行聯(lián)立求解，這樣利用常規(guī)思路顯然很難準確、快速地求解. 通過構造圖形，可以將抽象的文字語言用圖形語言表達出來，將題設信息與圖形聯(lián)立起來，使題目更加直觀，更容易形成解題思路. 將直線l的方程轉化為點斜式，發(fā)現(xiàn)其恒過點M（0，-1），這樣只要探究直線l的斜率，問題就迎刃而解了. 利用構造圖形的方法不僅簡化了解題過程，而且優(yōu)化了解題思路，更利于迅速求解.

構造數(shù)列

等比數(shù)列和等差數(shù)列不僅概念性質多，而且形式多變，是高中數(shù)學教學中的重難點內容之一. 當直接利用性質和公式難以解題時，可以嘗試構造新數(shù)列，將原數(shù)列化繁為簡，引導學生從新角度去思考問題，利用新數(shù)列的性質去解決問題，以此培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.

分析：數(shù)列問題較為集中，主要就是求通項公式或求和，那么，之所以認為數(shù)列問題較難就是因為解題思路和解題方法較少. 本題數(shù)列的各項之間存在著明顯的遞推關系，所以解題時可以構造新數(shù)列，利用新數(shù)列層層推進，最終求得答案.

構造法不同于其他解題方法，它不像其他的解題方法那樣可以通過邏輯分析一步步尋求已知與未知之間的聯(lián)系，直到推理成功. 它的本質是“構造”和“創(chuàng)新”，一般無“規(guī)”可循，因此更好地呈現(xiàn)出了思維的靈活性和創(chuàng)造性. 在教學中，教師可以多鼓勵學生應用構造法解題，也許它不是最簡單高效的，然通過構造法的應用可以讓學生更清晰地認識知識點之間的聯(lián)系，有利于幫助學生完成知識體系的系統(tǒng)化建構. 同時，應用構造法，可以拓寬學生的數(shù)學思維，提升學生的創(chuàng)新意識和應用能力.

總之，在高中數(shù)學教學中，教師要有意識地引導學生應用構造法，讓學生在構造中體驗創(chuàng)造的樂趣，在提升解題能力的同時，促進觀察能力、分析能力、創(chuàng)造能力等綜合能力的全面提升.