數(shù)學(xué)視野下的冬奧冰雪運(yùn)動(dòng)

宋亦然 童莉

[摘? 要] 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要體現(xiàn). 研究者從以下6個(gè)方面帶領(lǐng)大家用數(shù)學(xué)的眼光看冬奧會(huì)：雪花曲線與分形幾何、奧運(yùn)五環(huán)與紐結(jié)理論、高山滑雪與最速降線、空中滑雪與斜拋運(yùn)動(dòng)、短道速滑運(yùn)動(dòng)員力爭(zhēng)走內(nèi)道、花樣滑冰中旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)秘密. 感受到了用數(shù)學(xué)的眼光看世界的魅力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)眼光;冬奧會(huì);雪花曲線;紐結(jié)理論;最速降線

在我國(guó)舉行的第24屆冬奧會(huì)雖然已經(jīng)落下帷幕，但它留下了太多的精彩令世人回味. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，當(dāng)我們嘗試用數(shù)學(xué)的眼光看冬奧會(huì)及其冰雪運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在體育之外引發(fā)另一番有意義的思考[1]. 如滿滿數(shù)字感的開(kāi)幕式就將數(shù)字“24”運(yùn)用到了極致：第24屆、2月4日、20：04開(kāi)始、中國(guó)代表隊(duì)在21：24亮相、中國(guó)傳統(tǒng)二十四節(jié)氣等，使“24”不再是一個(gè)枯燥數(shù)字，而是被獨(dú)具匠心地賦予了豐富的含義，數(shù)字成了關(guān)聯(lián)各種意義的靈魂. 下面，我們進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的眼光再看冬奧會(huì)及其冰雪運(yùn)動(dòng)[2].

雪花曲線與分形幾何

冬奧會(huì)展示的是冰雪運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然離不開(kāi)雪花. 人們常常感嘆雪花的精美，有一個(gè)重要原因是它具有曲線美，而這種曲線的形成卻有其數(shù)學(xué)的緣由.

數(shù)學(xué)中有一類曲線因其形狀類似雪花而得名，被稱為“雪花曲線”. 它可以這樣得到：把一個(gè)等邊三角形的每條邊三等分，并將每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形，但要去掉與原等邊三角形疊合的邊. 接著對(duì)每個(gè)等邊三角形尖出的部分繼續(xù)上述過(guò)程，即將每條邊三等分后的中段向外作新的尖形. 不斷重復(fù)這樣的過(guò)程，便產(chǎn)生了雪花曲線（如圖1所示）.

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，雪花曲線吸引人之處在于：它具有有限的面積，卻有著無(wú)限的周長(zhǎng). 即雪花曲線的周長(zhǎng)持續(xù)增加而沒(méi)有界限，但整條曲線卻可以畫(huà)在一張很小的紙上，它的面積是有限的，其值為原等邊三角形面積的倍.

設(shè)原等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則依次計(jì)算得到圖1所示圖形的周長(zhǎng)及面積如表1所示：

雪花曲線從外表就能看出來(lái)的一個(gè)特性就是其任何部分都與整體相似，對(duì)這種圖形上的自相似性的研究形成了一門(mén)學(xué)科叫“分形幾何”. 其實(shí)，大千世界很多對(duì)象都可以運(yùn)用“分形”來(lái)研究，如云層的邊緣、山脈的輪廓、海岸線等.

奧運(yùn)五環(huán)與紐結(jié)理論

每屆奧運(yùn)會(huì)都因東道國(guó)的不同而設(shè)計(jì)了不同的會(huì)徽，但所有會(huì)徽都帶有“五環(huán)”標(biāo)志，這一標(biāo)志是由奧運(yùn)會(huì)創(chuàng)始人顧拜旦提議設(shè)計(jì)的. 根據(jù)《奧林匹克憲章》的規(guī)定，奧林匹克標(biāo)志在每屆奧運(yùn)會(huì)會(huì)徽中必須完整出現(xiàn)，不得改動(dòng).

盡管人們從人文意義上對(duì)奧運(yùn)“五環(huán)”標(biāo)志作了多種含義的解讀，但其核心意義卻是公認(rèn)的，即象征著五大洲的團(tuán)結(jié)以及全世界的運(yùn)動(dòng)員以公正、公平、坦率的比賽和友好的精神在奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)上相見(jiàn). “五環(huán)”環(huán)環(huán)相扣的形象生動(dòng)地表現(xiàn)了這一意境.

這五個(gè)圓環(huán)是如何環(huán)環(huán)相扣的呢？可以用數(shù)學(xué)的紐結(jié)理論來(lái)解釋.

紐結(jié)理論是數(shù)學(xué)學(xué)科代數(shù)拓?fù)涞囊粋€(gè)分支，按照數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，是研究如何把若干個(gè)圓環(huán)嵌入三維歐氏空間中的數(shù)學(xué)分支. 紐結(jié)理論的特別之處是它研究的對(duì)象必須是三維空間中的曲線. 其實(shí)，這也是繩結(jié)魔術(shù)的數(shù)學(xué)道理. 如果考慮的不是一條閉曲線，而是n條閉曲線，要求它們既不自交也不互交，那么就得到了n圈鏈環(huán)的概念，奧運(yùn)“五環(huán)”標(biāo)志就是一個(gè)典型的5圈鏈環(huán)[3].

紐結(jié)理論被廣泛應(yīng)用于各種藝術(shù)設(shè)計(jì)，如圖2所示就是一個(gè)6圈鏈環(huán)的設(shè)計(jì)方式：

紐結(jié)理論越來(lái)越引起人們的興趣. 它除了被廣泛應(yīng)用于各種藝術(shù)設(shè)計(jì)外，還被應(yīng)用于其他學(xué)科研究，如化學(xué)中的大分子空間結(jié)構(gòu)的研究、遺傳物質(zhì)DNA的研究等.

高山滑雪與最速降線

高山滑雪是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下沿著旗門(mén)設(shè)定的賽道滑下的雪上競(jìng)速運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目. 從場(chǎng)地設(shè)計(jì)來(lái)看，什么樣的滑行曲線才能使運(yùn)動(dòng)員獲得最快的速度呢？這涉及數(shù)學(xué)上的“最速降線問(wèn)題”（Brachistochrone Problem）[4]. 此問(wèn)題是1696年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利在寫(xiě)給他哥哥雅克布·伯努利的一封公開(kāi)信中提出的. 問(wèn)題的提法是：設(shè)A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點(diǎn)，在所有連接A和B的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)到B點(diǎn)沿這條曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所需時(shí)間最短.

人們想象：在一個(gè)斜面上，擺兩條軌道，一條是直線，一條是曲線，起點(diǎn)高度以及終點(diǎn)高度都相同. 兩個(gè)質(zhì)量、大小一樣的小球同時(shí)從起點(diǎn)向下滑落，應(yīng)該是直線上的小球先到終點(diǎn). 但實(shí)驗(yàn)證明曲線上的小球反而先到終點(diǎn)（如圖3所示）.

這是由于曲線軌道上的小球先達(dá)到最高速度，所以先到達(dá)終點(diǎn). 然而，兩點(diǎn)之間的直線只有一條，曲線卻有無(wú)數(shù)條，那么，哪一條曲線才是最快的呢？伽利略于1630年提出這條曲線應(yīng)該是一條圓弧，可是后來(lái)人們推翻了這個(gè)結(jié)論. 1696年，約翰·伯努利從理論上證明了這條最速降線是一條旋輪線.

數(shù)學(xué)中的旋輪線是如何形成的呢？其實(shí)，當(dāng)一個(gè)圓沿一條直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓周上的一個(gè)定點(diǎn)M所形成的軌跡就是旋輪線. 如圖4所示，設(shè)滾動(dòng)的圓的半徑是r，φ是圓的半徑所經(jīng)過(guò)的弧度（滾動(dòng)角），則可以得到旋輪線的參數(shù)方程為x=r（φ-sinφ），y=r（1-cosφ）.

旋輪線又稱鐘擺線. 擺鐘的擺錘所劃過(guò)的弧線就是鐘擺線，它其實(shí)是倒過(guò)來(lái)的旋輪線（如圖5所示）. 當(dāng)擺鐘的擺錘沿這樣的弧線擺動(dòng)時(shí)，每個(gè)擺動(dòng)周期的時(shí)間都是相等的. 正因如此，鐘擺線也叫等時(shí)線[3].

空中滑雪與斜拋運(yùn)動(dòng)

這里所指的空中滑雪運(yùn)動(dòng)主要指跳臺(tái)滑雪、自由式滑雪空中技巧. 這兩個(gè)項(xiàng)目有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是運(yùn)動(dòng)員先要通過(guò)一段距離的滑行，獲得一定速度后通過(guò)跳臺(tái)躍向空中. （如圖6所示）

影響這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)比賽成績(jī)的因素除了運(yùn)動(dòng)員在空中的技巧外，還有運(yùn)動(dòng)員在空中滑行的高度和滑行的距離. 那么，運(yùn)動(dòng)員如何才能獲得理想的滑行高度和距離呢？以下從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行分析.

我們可以將運(yùn)動(dòng)員從跳臺(tái)滑向空中的運(yùn)動(dòng)視為物體的斜拋運(yùn)動(dòng). 斜拋運(yùn)動(dòng)有斜上拋和斜下拋之分，顯然，這里討論的兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都屬于斜上拋運(yùn)動(dòng). 根據(jù)運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理，可以把斜拋運(yùn)動(dòng)視為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的上拋運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)來(lái)處理.

這個(gè)二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像即圖7中的拋物線，可以通過(guò)上式求得做斜拋運(yùn)動(dòng)的物體在水平方向上最大的位移s和豎直方向上最大的高度h.

短道速滑運(yùn)動(dòng)員力爭(zhēng)走內(nèi)道的數(shù)學(xué)秘密

在短道速滑比賽時(shí)，我們看到在轉(zhuǎn)彎處領(lǐng)先的運(yùn)動(dòng)員總是想把內(nèi)道的位置牢牢控制住，而在很多情況下，速滑運(yùn)動(dòng)員為爭(zhēng)奪內(nèi)道的位置常發(fā)生碰撞和其他犯規(guī)情況. 在彎道時(shí)為什么內(nèi)道的位置這么重要呢？

從這個(gè)結(jié)果可以看到，彎道半徑R是決定彎道滑行時(shí)間t的唯一變量，R越小，滑行時(shí)間t越小，所以在短道速滑中，搶占內(nèi)道就顯得極其重要了.

花樣滑冰中旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)秘密

旋轉(zhuǎn)是花樣滑冰中一個(gè)非常重要的技術(shù)動(dòng)作，也是花樣滑冰中極具美感和具有觀賞性的動(dòng)作之一. 在欣賞花樣滑冰時(shí)，你會(huì)觀察到一個(gè)現(xiàn)象：運(yùn)動(dòng)員在原地旋轉(zhuǎn)時(shí)，雙手展開(kāi)時(shí)轉(zhuǎn)速不快，但將雙手收回接近身體時(shí)旋轉(zhuǎn)速度會(huì)變快. 這是為什么呢？

物體以一定的角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)要形成一定的動(dòng)能，并遵守角動(dòng)量守恒定律. 以花樣滑冰旋轉(zhuǎn)為例，該定律通俗一點(diǎn)的解釋就是：在忽略質(zhì)量的情況下，運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)的速度和運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)的手臂（或其他肢體）形成的旋轉(zhuǎn)半徑的乘積是一個(gè)常量（如圖9所示）.

運(yùn)用到運(yùn)動(dòng)員的旋轉(zhuǎn)技巧上：開(kāi)始旋轉(zhuǎn)時(shí)，若運(yùn)動(dòng)員將手臂伸開(kāi)，這樣旋轉(zhuǎn)半徑R變大，旋轉(zhuǎn)速度會(huì)慢一些;然后收回手臂，或?qū)⒃瓉?lái)伸開(kāi)的手臂逐漸向上伸舉，這樣整個(gè)身體的旋轉(zhuǎn)半徑R變小，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，此時(shí)旋轉(zhuǎn)速度就會(huì)增大. 所以就會(huì)看到花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員收回手臂時(shí)旋轉(zhuǎn)速度會(huì)越來(lái)越快.

以上從數(shù)學(xué)的角度欣賞了冬奧會(huì)的某些場(chǎng)景和冰雪運(yùn)動(dòng)，其實(shí)還有一些冰雪運(yùn)動(dòng)也蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理，如“U型池尺寸的設(shè)計(jì)”“冰壺運(yùn)動(dòng)的技術(shù)要點(diǎn)”等，如果用數(shù)學(xué)去分析它們，用數(shù)學(xué)模型去解決它們，那么將會(huì)有驚人的發(fā)現(xiàn). 這一切讓我們感受到了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)無(wú)窮的魅力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 馬蒂亞斯·路德維希. 數(shù)學(xué)與體育：數(shù)學(xué)視角下的奧林匹克項(xiàng)目[M]. 徐斌艷，譯. 上海：上海教育出版社，2012.

[2]? 黃翔，童莉，史寧中. 談數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的跨學(xué)科思維[J]. 課程·教材·教法，2021，41（07）：106-111.

[3]? 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)選修課程用書(shū)數(shù)學(xué)D類. 體育運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2021.

[4]? 馬文東. 從光學(xué)極值思想到最速降線問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（04）：51-53.

[5]? 曾文藝. 定點(diǎn)投籃中的數(shù)學(xué)問(wèn)題[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1994（07）：44-46.

作者簡(jiǎn)介：宋亦然（2001—），浙江省溫州肯恩大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系在讀本科生.

通訊作者：童莉（1976—），博士，教授，曾獲全國(guó)數(shù)學(xué)碩士?jī)?yōu)秀導(dǎo)師稱號(hào)、全國(guó)教育碩士教學(xué)成果二等獎(jiǎng)，從事數(shù)學(xué)教育測(cè)評(píng)、數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展研究工作.