借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 促進(jìn)思維發(fā)展

[摘? 要] 文章以波利亞“實(shí)驗(yàn)教學(xué)”理論為背景，以幾何繪圖軟件GeoGebra為教學(xué)工具，以繪制圓錐曲線為載體，開(kāi)展實(shí)驗(yàn)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)“玩中思”“思中做”“做中學(xué)”，培養(yǎng)“四能”能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)可持續(xù)發(fā)展.

[關(guān)鍵詞] 實(shí)驗(yàn)教學(xué);GeoGebra;圓錐曲線

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出要將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程. 在教學(xué)實(shí)踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，不僅重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣;要努力激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促使更多的學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué).

在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生深刻影響. 因此，在教學(xué)中，應(yīng)重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合，改進(jìn)課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)方式難以達(dá)到的效果.

問(wèn)題提出

實(shí)驗(yàn)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科科學(xué)研究的基本方法之一，數(shù)學(xué)也需要實(shí)驗(yàn). 著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面來(lái)看，數(shù)學(xué)像是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué);另一方面，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)，看起來(lái)卻像一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的思考能力，并在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生“自主探索和合作交流”的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

從教學(xué)過(guò)程的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不只為了讓學(xué)生去“做”，還為了讓學(xué)生去“思考”. 學(xué)生處在一種“數(shù)學(xué)研究”的位置上，通過(guò)觀察、探究、操作，把感知、理解、體驗(yàn)融合為一體. 在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，完成更復(fù)雜的思維加工過(guò)程，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行深度加工，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律的深度理解.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，幾何繪圖軟件GeoGebra可以完成大量的初高中數(shù)學(xué)的繪圖工作. 因此，在教學(xué)中，可以將軟件GeoGebra與數(shù)學(xué)課程深度融合，開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.

圓錐曲線是高中解析幾何課程的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容. 但是學(xué)生在這部分內(nèi)容的得分并不高，很多學(xué)生見(jiàn)到這類(lèi)問(wèn)題就硬套韋達(dá)定理，重復(fù)大量的計(jì)算，不能將圖形中的幾何特征用代數(shù)方程表達(dá)出來(lái). 而我們?cè)谥v授圓錐曲線時(shí)，都投入了大量的時(shí)間和精力，結(jié)果卻是學(xué)生聽(tīng)得懂想不到、看著會(huì)做不對(duì). 究其原因，主要是學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)更多的是被動(dòng)觀察和機(jī)械操作，缺少思維的參與過(guò)程.

2020年11月，筆者參加了北京市第六屆示范性高中同課異構(gòu)活動(dòng)，利用軟件GeoGebra進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)教學(xué)，講授的是“用交軌法繪制橢圓、雙曲線、拋物線”一節(jié)課.通過(guò)備課、上課、評(píng)課及研討，基于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對(duì)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了一些修改，較好地實(shí)現(xiàn)了學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程.

前測(cè)試題

授課對(duì)象是北京市通州區(qū)一所普通中學(xué)的學(xué)生，這些學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力比較薄弱，對(duì)圓錐曲線的定義以及圓錐曲線中代數(shù)與圖形關(guān)系的轉(zhuǎn)化的理解不到位. 學(xué)生初中時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)一些簡(jiǎn)單的軌跡問(wèn)題，具備一定的作圖能力，高中在講授橢圓、雙曲線、拋物線時(shí)利用繩、拉鏈、三角板等工具通過(guò)機(jī)械作圖方式繪制過(guò)它們的圖形;另外，教材中有關(guān)于橢圓和雙曲線作圖的探究活動(dòng)，已經(jīng)提前布置給學(xué)生進(jìn)行探究. 學(xué)生對(duì)使用軟件GeoGebra進(jìn)行學(xué)習(xí)有很高的興趣和積極性，而且已經(jīng)初步了解了軟件GeoGebra，能根據(jù)需要進(jìn)行簡(jiǎn)單操作.

為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)基本尺規(guī)作圖和橢圓、雙曲線、拋物線定義的掌握情況，筆者設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問(wèn)題：

（1）圓錐曲線的定義：①橢圓的定義;②雙曲線的定義;③拋物線的定義.

（2）基本尺規(guī)作圖：

①平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么？并作出圖形.

②平面內(nèi)，到一條定直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么？并作出圖形.

③平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？如何作出線段AB的垂直平分線？并作出圖形.

④平面內(nèi)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？如何作出∠AOB的平分線？并作出圖形.

尺規(guī)作圖是手與腦的融合，是深層次的“做中學(xué)”，是學(xué)習(xí)幾何的有效途徑. 通過(guò)作圖，學(xué)生實(shí)現(xiàn)把零散的概念和幾何事實(shí)融會(huì)貫通，從而更加深刻地領(lǐng)會(huì)幾何圖形的特征及性質(zhì).

教學(xué)片段

1. 繪制拋物線

活動(dòng)1：利用軟件Geogebra通過(guò)尺規(guī)作圖方法繪制拋物線，并說(shuō)明作圖的理由.

講授新課時(shí)，利用直尺、細(xì)繩等工具通過(guò)機(jī)械作圖繪制拋物線，學(xué)生很容易想到機(jī)械作圖時(shí)利用線段的中垂線繪制拋物線的方法.

師：（如圖1所示）你能說(shuō)出這樣作圖的理由嗎？

生：作到定直線l的距離與到定點(diǎn)F的距離相等的點(diǎn)P，首先作出直線l的垂線，垂足為A，連接AF;要滿(mǎn)足PA=PF，即點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，F(xiàn)的距離相等，則點(diǎn)P在線段AF的垂直平分線上.

師：點(diǎn)P的軌跡為什么是拋物線？

生：因?yàn)椴徽擖c(diǎn)A在定直線l上的任何位置，線段AF的垂直平分線上的點(diǎn)P到線段AF兩端點(diǎn)的距離都相等，即始終滿(mǎn)足PA=PF.

師：非常好，也就是把“到定點(diǎn)與到定直線的距離相等”轉(zhuǎn)化成了“到定直線的距離”和“到定點(diǎn)的距離”兩個(gè)步驟來(lái)完成.

師：到定點(diǎn)的距離還會(huì)讓你想到什么圖形？

生：圓.

師：很好，那么能否利用圓的性質(zhì)作出拋物線呢？

生：（如圖2所示）作出到定直線l的距離為定長(zhǎng)AB的直線m，再以定點(diǎn)F為圓心，作出半徑為AB的圓，圓與直線m的交點(diǎn)P的軌跡即為拋物線.

師：太好了！同學(xué)們，我們還知道角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，能否利用角平分線的性質(zhì)作出拋物線呢？要先作出什么圖形呢？（如圖3所示）

生：需要一個(gè)角.

師：角的兩邊分別在哪兒？

生：定直線l就是一條邊.

師：那另一條邊沒(méi)有怎么辦？

生：過(guò)定點(diǎn)F作一條直線m和直線l相交就得到了一個(gè)角.

師：非常好，那么這個(gè)角的角平分線n就可以作出來(lái)了，如何再繼續(xù)作出到定直線l的距離與到定點(diǎn)F的距離相等的點(diǎn)呢？

學(xué)生經(jīng)過(guò)嘗試得知：過(guò)定點(diǎn)F作直線m的垂線，與角平分線n的交點(diǎn)P即滿(mǎn)足PF=d（d為點(diǎn)P到定直線l的距離），從而得到拋物線.

師：同學(xué)們太棒了！我們作出了到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，你還有什么大膽的猜想和嘗試嗎？

生：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離不相等的點(diǎn)的軌跡又是什么圖形呢？

2. 圓錐曲線定義的統(tǒng)一性

活動(dòng)2：利用軟件GeoGebra通過(guò)尺規(guī)作圖繪制“到定點(diǎn)F的距離和到定直線l的距離之比不等于1”的圖形，并說(shuō)明作圖理由.

師：由同學(xué)們作出的“到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為不同的值k”的圖形，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

生：當(dāng)k>1時(shí)，軌跡為雙曲線;當(dāng)k=1時(shí)，軌跡為拋物線;0<k<1時(shí)，軌跡為橢圓.

師：這個(gè)結(jié)論是否正確呢？我們具體來(lái)操作一下.

利用軟件GeoGebra動(dòng)態(tài)演示“到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為k（k>0）的點(diǎn)的軌跡”. （如圖6所示）

學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾难芯窟^(guò)程，使得圓錐曲線定義的統(tǒng)一性水到渠成. 學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，思維得到了很好的鍛煉與發(fā)展.

師：回憶剛才我們作圖的過(guò)程，你能總結(jié)一下作圖的方法嗎？

生：在作圖過(guò)程中，先作出到定直線的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，再作出到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，這兩個(gè)軌跡的交點(diǎn)的軌跡即為所要的圖形.

實(shí)驗(yàn)效應(yīng)

1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“要轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式”. 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，教師的角色得到了改變，教師為學(xué)生設(shè)置實(shí)驗(yàn)題目，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn).學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，使學(xué)生由接受性學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)樘剿餍詫W(xué)習(xí). 實(shí)踐表明，實(shí)驗(yàn)教學(xué)能夠創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境，使學(xué)生親自體會(huì)到知識(shí)的形成過(guò)程，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使學(xué)習(xí)更加直觀

互聯(lián)網(wǎng)、多媒體技術(shù)具有“思維可視化”的特點(diǎn)，能夠給學(xué)生提供動(dòng)態(tài)的演示，使得抽象的數(shù)學(xué)直觀化，讓學(xué)生將“看”和“學(xué)”更好地結(jié)合起來(lái). 本節(jié)課打破了傳統(tǒng)教學(xué)中由教師演示的模式，通過(guò)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生親自利用GeoGebra軟件繪制圖形，親自感受橢圓、雙曲線、拋物線的形成過(guò)程，很好地突破了圓錐曲線定義這一難點(diǎn)，也實(shí)現(xiàn)了數(shù)和形的完美結(jié)合.

3. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使思維能力提高

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有利于學(xué)生從“被動(dòng)”走向“主動(dòng)”，從“結(jié)果”走向“過(guò)程”. 本節(jié)課在作圖過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了深度加工，促進(jìn)學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律，通過(guò)實(shí)驗(yàn)將“做”與“思”聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生“玩中思”“思中做”“做中學(xué)”，用實(shí)驗(yàn)燃爆數(shù)學(xué)課堂，用實(shí)驗(yàn)培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).？搖

基金項(xiàng)目：北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度一般課題《在問(wèn)題情境教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究》（立項(xiàng)編號(hào)：CDDB19281）.主持人：田雪.

作者簡(jiǎn)介：田雪（1982—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲北京市通州區(qū)骨干教師、北京市通州區(qū)“運(yùn)河計(jì)劃”領(lǐng)軍人才等榮譽(yù).