基于時(shí)滯效應(yīng)的隨機(jī)微分投資與比例再保險(xiǎn)博弈

賓 寧, 朱懷念

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,廣東 廣州 510520; 2.廣東工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院,廣東 廣州 510520)

0 引言

近年來，投資再保險(xiǎn)問題已經(jīng)引起學(xué)術(shù)界熱切關(guān)注。Xu等[1]考慮了一類由馬氏調(diào)制模型描述的再保險(xiǎn)和投資最優(yōu)化問題。Gu和Viens等[2]針對考慮錯(cuò)誤定價(jià)和均值回歸的再保險(xiǎn)投資問題進(jìn)行了探討。針對一類模糊厭惡型的保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)策略，Zhao和Shen[3]、Chen和Yang[4]得到了系列研究成果。

不難發(fā)現(xiàn)，上述關(guān)于投資再保險(xiǎn)問題的文獻(xiàn)都是集中于單個(gè)保險(xiǎn)公司的金融行為，沒有考慮到保險(xiǎn)公司之間的相互影響關(guān)系。近年來，隨著保險(xiǎn)行業(yè)的競爭日趨激烈，根據(jù)保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)與其對手之間的競爭關(guān)系，學(xué)者們構(gòu)建了微分博弈模型來研究保險(xiǎn)公司的投資再保險(xiǎn)行為。這一思路在很大程度上來源于Browne S的思想。初期階段，學(xué)者們嘗試在零和博弈的框架下研究最優(yōu)投資再保險(xiǎn)策略。Zeng[5]首先假設(shè)保險(xiǎn)公司具有相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)過程，并假設(shè)兩家公司的收益函數(shù)是相同的，且與各自的風(fēng)險(xiǎn)過程是相關(guān)的，一個(gè)公司希望找到最優(yōu)策略使得兩公司之間的盈余差達(dá)到最大，與之相反，另一個(gè)公司目標(biāo)則是尋找最優(yōu)策略使盈余差最小。將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)零和微分博弈問題，試圖通過求解問題鞍點(diǎn)均衡策略的方法來獲得兩家公司的最優(yōu)策略。在此之后，Taksar和Zeng[6]也運(yùn)用類似的思想，考慮了兩家競爭性保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)之間的非比例再保險(xiǎn)問題，將其轉(zhuǎn)化到微分博弈的框架下進(jìn)行分析。更多隨機(jī)微分零和再保險(xiǎn)投資博弈問題的相關(guān)研究，可見Li等[7]。近幾年，由于非零和博弈的廣泛應(yīng)用，學(xué)者們開始構(gòu)建非零和博弈模型框架下的投資與再保險(xiǎn)問題。Bensoussan等[8]首先構(gòu)建了一個(gè)非零和微分博弈模型來描述兩家保險(xiǎn)公司之間的競爭關(guān)系。因?yàn)榧ち业母偁?，保險(xiǎn)公司的追求目標(biāo)不再是僅最大化自身終端財(cái)富的期望效用，而是希望最大化與競爭公司之間的終端財(cái)富的差值。Deng等[9]拓展了Bensoussan的模型，運(yùn)用了隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理研究在一類Heston模型下帶有違約風(fēng)險(xiǎn)的非零和最優(yōu)再保險(xiǎn)和投資策略問題?？紤]模型不確定性，追求最壞情況下終端財(cái)富的相對差值績效指數(shù)期望效用的最大化，張弓亮等[10]研究了在模糊厭惡情形下的兩個(gè)保險(xiǎn)公司的魯棒隨機(jī)微分非零和投資與比例再保險(xiǎn)策略。

但是綜觀近年來的文獻(xiàn)，仍然可以發(fā)現(xiàn)，目前有關(guān)最優(yōu)投資和再保險(xiǎn)問題的研究依然存在著一些不足。比如現(xiàn)有的相關(guān)研究文獻(xiàn)大多僅依靠決策當(dāng)時(shí)所擁有的信息來進(jìn)行最優(yōu)策略的選擇，即沒有考慮時(shí)滯因素的影響。然而，在實(shí)際的金融投資市場中，過去的投資行為，或者過去的投資信息，會在很大程度上影響到投資者或保險(xiǎn)公司現(xiàn)在的決策行為。他們會根據(jù)歷史信息和歷史數(shù)據(jù)來做出決策。因此，將過去一段時(shí)期內(nèi)的相關(guān)信息，納入到投資再保險(xiǎn)問題的研究模型中，即研究具有時(shí)滯效應(yīng)的最優(yōu)策略，會更加地符合保險(xiǎn)公司實(shí)際金融行為，能幫助決策者進(jìn)行合理決策。例如，F(xiàn)ederico[11]假設(shè)養(yǎng)老基金的管理過程中存在與績效有關(guān)的資本流入流出行為。

具有時(shí)滯效應(yīng)隨機(jī)最優(yōu)控制初始條件有可能是無限維空間函數(shù)，問題求解往往比較復(fù)雜，難以獲得解析解形式。但是，如果時(shí)滯信息是某一類特殊函數(shù)形式，相應(yīng)時(shí)滯控制問題則會是有限維，可以得到解析解[12]。近年相關(guān)研究中，Shen和Zeng[13]探討了遵循期望-方差準(zhǔn)則的具有時(shí)滯效應(yīng)的投資再保險(xiǎn)最優(yōu)策略問題?？紤]時(shí)滯因素，楊瀟瀟等[14]針對一類存在多維相依風(fēng)險(xiǎn)的投資和比例再保險(xiǎn)最優(yōu)策略問題，求得了均衡再保險(xiǎn)策略。阿春香和邵儀[12]考慮了CEV模型下的時(shí)滯最優(yōu)投資與再保險(xiǎn)問題。

綜上所述，目前學(xué)者們雖然考慮到時(shí)滯效應(yīng)對投資再保險(xiǎn)問題的影響，但多集中于最大化單個(gè)保險(xiǎn)公司的終端最大財(cái)富，即只研究了單個(gè)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資再保險(xiǎn)策略，其適用范圍存在一定的局限性。因此，本文的創(chuàng)新性貢獻(xiàn)在于：考慮到保險(xiǎn)市場日益激烈的競爭關(guān)系，以最大化保險(xiǎn)公司之間的相對績效而不是自身終端財(cái)富為目標(biāo)，同時(shí)將與歷史業(yè)績有關(guān)的額外資金流動(dòng)過程引入到了投資再保險(xiǎn)問題中，在相對績效關(guān)注框架下構(gòu)建了基于時(shí)滯效應(yīng)的隨機(jī)微分投資與比例再保險(xiǎn)博弈模型。因此，本文構(gòu)建的模型將更符合現(xiàn)實(shí)的金融市場，但也導(dǎo)致模型的求解會更為復(fù)雜。

1 問題框架

設(shè)[0,T]表示有限固定投資期，T>0為表示終端時(shí)刻的有限常數(shù)；(Ω,F,P)是一個(gè)帶濾子{Ft}t∈[0,T]的完備概率測度空間，{Ft}t∈[0,T]表示截止到t時(shí)刻為止市場上所產(chǎn)生的所有可用信息。這里假定后文中所有隨機(jī)過程和隨機(jī)變量均定義在完備概率空間(Ω,F,P)上。

1.1 保險(xiǎn)公司盈余過程

本文假設(shè)在保險(xiǎn)市場上存在兩家具有競爭關(guān)系的保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)。假設(shè)每家保險(xiǎn)公司的盈余過程采用經(jīng)典的Cramér-Lundberg保險(xiǎn)模型描述，對i∈{1,2}，當(dāng)不考慮再保險(xiǎn)時(shí)，保險(xiǎn)公司i盈余過程為:

(1)

另外，進(jìn)一步假設(shè)允許兩家保險(xiǎn)公司通過同時(shí)向一家再保險(xiǎn)公司購買部分再保險(xiǎn)來分散風(fēng)險(xiǎn)。對i∈{1,2}，風(fēng)險(xiǎn)暴露{qi(t),t>0}表示保險(xiǎn)公司i的再保險(xiǎn)策略。同時(shí)，如果再保險(xiǎn)公司也是采用期望保費(fèi)準(zhǔn)則來進(jìn)行保費(fèi)定價(jià)，那么作為補(bǔ)償，在t時(shí)刻保險(xiǎn)公司i應(yīng)向再保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)支付保費(fèi)為

ρi(qi(t))=(1+θi)(1-qi(t))λiμi,i=1,2

(2)

在再保險(xiǎn)策略qi(t)下，保險(xiǎn)公司i∈{1,2}的盈余過程可表示為

(3)

2.2 金融市場

為實(shí)現(xiàn)保險(xiǎn)資金的保值增值，假設(shè)允許保險(xiǎn)公司在無摩擦的金融市場中開展連續(xù)的投資行為。t時(shí)刻無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S0(t)可由以下方程描述:

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=1

(4)

其中r>0是無風(fēng)險(xiǎn)的利率水平。t時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S(t)可描述如下：

dS(t)=aS(t)dt+bS(t)dB(t),S(0)=s0>0

(5)

其中a>0和b>0為常數(shù)，分別是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)波動(dòng)率。為了不失一般性，本文假設(shè)a>r，B(t)為定義在概率空間(Ω,F,P)上的一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

2.3 財(cái)富過程

(6)

dt+bui(t)dB(t)-

(7)

這里為了討論方便，假設(shè)fi是一個(gè)線性函數(shù)，即假設(shè)fi符合下式:

(8)

則可進(jìn)一步得到考慮時(shí)滯效應(yīng)的保險(xiǎn)公司i∈{1,2}的投資再保險(xiǎn)財(cái)富過程:

(9)

其中βi=r-τi-φi。

定義1對于?t∈[0,T]和i=1,2，投資再保險(xiǎn)策略πi(t)={(ui(t),qi(t))}t∈[0,T]被稱為可容許的，如果它滿足以下條件:

(i)πi(t)是F(t)-循序可測的，且qi(t)≥0；

記Πi={πi(t)|πi(t)=(ui(t),qi(t)),t∈[0,T]}是所有可容許策略構(gòu)成的集合。

2.4 博弈模型構(gòu)建

參考Bensoussan等[8]的文獻(xiàn)，保險(xiǎn)公司i∈{1,2}的目標(biāo)函數(shù)用如下公式(10)描述:

Ji(t,xi,xj,yi,yj,πi,πj)

=(xi,xj,yi,yj)]

(10)

其中，Ui(·)是一個(gè)滿足嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格凸和連續(xù)可微的函數(shù)，表示保險(xiǎn)公司i∈{1,2}的效用函數(shù)；參數(shù)κi∈[0,1]，表示保險(xiǎn)公司i對其對手財(cái)富的敏感度。

?πi∈Πi,i≠j∈{1,2}

(11)

假設(shè)Ui(xi)具有下述形式:

(12)

其中，υi>0為給定常數(shù)，表示保險(xiǎn)公司i的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CARA)參數(shù)。

3 Cramér-Lundberg模型下的均衡投資和再保險(xiǎn)策略

(13)

(14)

(15)

(a-r)(ui(t)-κiuj(t))+λiμi(ηi-θi)-κiλjμj(ηj-θj)+

(16)

為了使(15)存在解析解，本文對模型中的相關(guān)參數(shù)作出如下假設(shè):

(17)

(18)

(19)

(20)

①當(dāng)Qi≤υi時(shí)，

(21)

②當(dāng)υi

(22)

4 近似擴(kuò)散過程下均衡投資和再保險(xiǎn)策略

(23)

其中B1(t)和B2(t)為定義在概率空間(Ω,F,P)上的兩個(gè)相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，它們的相關(guān)系數(shù)為

(24)

+ωiyi-κiωjyj)+Fi(t))]

(25)

[e(βi+ωi)(t-T)-1]+fi(t-T)

(26)

(27)

(28)

(29)

定理2的證明過程類似定理1，此處略。

5 數(shù)值仿真分析

參考Shen等[13]和張弓亮等[10]的研究文獻(xiàn)中相關(guān)參數(shù)值的設(shè)置，假設(shè)r=0.08，a=0.1，b=0.6，T=10。模型中其它參數(shù)值設(shè)定如表1所示。

表1 保險(xiǎn)公司1和保險(xiǎn)公司2的參數(shù)設(shè)置

從圖1～6可以得出以下結(jié)論：

6 總結(jié)

基于時(shí)滯效應(yīng)，本文研究了具有競爭關(guān)系的兩家保險(xiǎn)公司之間投資與比例再保險(xiǎn)博弈問題。隨機(jī)微分投資再保險(xiǎn)博弈還有許多問題亟待解決。比如本文構(gòu)建的博弈模型是基于模型參數(shù)確定性的前提，但現(xiàn)實(shí)情況下，投資模型與保險(xiǎn)公司的盈余過程往往與現(xiàn)實(shí)模型具有一定的偏差，因此可以深入研究模型不確定性情況下的投資再保險(xiǎn)博弈策略。未來我們會繼續(xù)開展進(jìn)一步的研究。