畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派的數(shù)學(xué)成就

吳文俊

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年一公元前500年）出生于小亞細(xì)亞薩摩斯（ Samos）島（今希臘東部小島）.他白幼聰明好學(xué)，曾在名師泰勒斯（Tha-les，約公元前624年一公元前546年）、阿那克西曼德（Anaximander，約公元前610年一公元前545年）等門下學(xué)習(xí)過幾何學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué).

畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)走過萬水千山，游歷了當(dāng)時(shí)世界上文化水準(zhǔn)極高的文明古國——巴比倫、印度以及埃及（有爭(zhēng)議），學(xué)習(xí)了美索不達(dá)米亞文明和印度文明的文化.后來，他到意大利的南部傳授數(shù)學(xué)及宣傳他的哲學(xué)思想，并和他的信徒們組成了“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”，學(xué)派的成員都有著共同的哲學(xué)信仰和政治理想，在大希臘（今意大利南部一帶）贏得了很高的聲譽(yù)，產(chǎn)生過相當(dāng)大的影響.在畢達(dá)哥拉斯逝世后，學(xué)派中人在希臘各學(xué)術(shù)中心繼續(xù)活動(dòng)，直至公元前400年.畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派中人在數(shù)學(xué)方面作出了頗多貢獻(xiàn).下面我們分兩部分介紹.

一、對(duì)數(shù)的一般認(rèn)識(shí)

畢達(dá)哥拉斯對(duì)數(shù)論作了許多研究，將自然數(shù)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等.學(xué)派中人把宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為自然數(shù)和自然數(shù)之比.自然數(shù)有兩種：偶數(shù)和奇數(shù).偶數(shù)能夠被平分，即能被分成相等的兩部分;奇數(shù)不能被平分，只能被分成不相等的兩部分.他們還把自然數(shù)與用小石子排列的圖形相比擬，稱其為擬形數(shù)，借以把自然數(shù)作另一種分類.

1.擬形數(shù)

三角形數(shù)：1，3，6，…，各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為1，1+2，1+2+3，…，通項(xiàng)是1+2+…+n=1/2n（1+n）. 正方形數(shù)：1，4，9，16，…，n2. 五角形數(shù)：1，5，12，22，…，各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為1，1+4，1+4+7，…，通項(xiàng)是1+4+7+-+3n一2=1/2（3n2一n）.

六角形數(shù)：1，6，15，28，…，各項(xiàng)的特點(diǎn)結(jié)構(gòu)為1，1+5，1+5+9，…，通項(xiàng)是1+5+9+...+4n-5=2n2-n，如圖1.

2.完美數(shù)

如果一個(gè)數(shù)等于它全部真因數(shù)的和，那么這個(gè)數(shù)是完美數(shù).亞歷山大時(shí)期希臘數(shù)學(xué)家伊安布利霍斯（Iamblichus，約公元前250年一公元前330年）著有九部關(guān)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的書，其中前四部至今猶存.書中說，學(xué)派中人當(dāng)年視數(shù)6=1+2+3為喜慶、建康和美好.完美數(shù)的定義被收入歐幾里得《原本》卷7.

3.相親數(shù)

若甲數(shù)是乙數(shù)全部真因數(shù)的和，而乙數(shù)又是甲數(shù)全部真因數(shù)的和，則兩數(shù)互為相親數(shù).希臘數(shù)學(xué)家伊安布利霍斯（lamblichus，約公元前250年一公元前330年）指出，畢達(dá)哥拉斯曾把甲乙兩數(shù)之間的這種密切關(guān)系，象征為親密無間的友誼.例如，284=22x71的真因數(shù)是1、2、4，71、142.它們的和等于220=22x5x11.而220的真因數(shù)1、2、4、5，10、22、44、55、110的和等于284.284、220是人們最早知道的一對(duì)相親數(shù).

6.無理數(shù)

希伯斯（Hippasus，約公元前625-公元前547年）是畢達(dá)哥拉斯的得意門生.他首次發(fā)現(xiàn)：竟然存在不能表示為自然數(shù)之比的數(shù)——√2.這就違反了學(xué)派的基本信條，遭到溺于海的懲罰.希伯斯發(fā)現(xiàn)的這類數(shù)，被稱為無理數(shù).無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，希伯斯的發(fā)現(xiàn)為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重大貢獻(xiàn).命題1.正方形一邊與其對(duì)角線為不可公度量.

證明：在正方形ABCD（如圖3）中，AC為對(duì)角線，則AC和AB是不能公度的量.因?yàn)槿绻鼈兪强晒攘浚瑢?huì)有一個(gè)量既是奇數(shù)量，又是偶數(shù)量.……假定邊長(zhǎng)AB是某線段的Ⅳ倍，而對(duì)角線是同一線段的M倍.由畢達(dá)哥拉斯定理得M2=2N2.再假設(shè)M和N不同為偶數(shù)，否則考慮將正方形對(duì)角線和邊長(zhǎng)各縮短一半.假設(shè)M是偶數(shù)，則Ⅳ必是奇數(shù).又設(shè)M-2T，則4T2=M2=2N2，即2T2=N2，故N是偶數(shù)，Ⅳ也是偶數(shù).那么Ⅳ怎么能既是奇數(shù)又是偶數(shù)呢？結(jié)論應(yīng)當(dāng)是：正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)不可能有公度量.

命題2.正方形對(duì)角線不能被它的邊長(zhǎng)量盡.

證明：若圖1中正方形的對(duì)角線能被它的邊長(zhǎng)AB量盡，即二者之比能用既約分?jǐn)?shù)a：p表示.如果a>p，那么a：p大于1.令A(yù)C2：AB2= a2： p2，可得AC2= 2AB2，a2= 2β2.那么a2是偶數(shù)，α也是偶數(shù).而a：β是既約的，那么β必須是奇數(shù).但是a=2γ，因此4γ2= 2β2或β= 2γ2，那么β2必須是偶數(shù)，也就是說β必須是偶數(shù).而盧是奇數(shù)，這是不可能的事.

該證法與亞里士多德（Aristotle，公元前384年一公元前322年）《分析前編》中的一致，因而被引用在各種版本的數(shù)學(xué)教科書中有關(guān)實(shí)數(shù)的開頭章節(jié).19世紀(jì)50年代李善蘭與英國人利瑪竇（MatteoRicci，1552年-1610年）在譯《原本》后九卷時(shí)，把此命題作為卷10命題117，命題被譯為：凡正方形之邊與對(duì)角線無等.

二、對(duì)圖形的研究

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)圖形作了很多研究，并得到很多有用的結(jié)論.

1.平面圖形

定理1：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于2個(gè)直角.

定理2：任意n邊形的n個(gè)內(nèi)角和等于2（n-2）個(gè)直角，外角和等于4個(gè)直角.

定理3：以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積等于以兩個(gè)直角邊為邊的正方形的面積之和.

定理4：正三角形、正方形以及六邊形可覆蓋平面.

2.面積與幾何代數(shù)

定理1：以a，x為長(zhǎng)與寬作長(zhǎng)方形，若該長(zhǎng)方形的一部分面積等于已給長(zhǎng)方形的面積S，則另一部分D’與已給長(zhǎng)方形D相似.

定理2：設(shè)a，x為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬，該長(zhǎng)方形與另一同寬的長(zhǎng)方形D'的面積之和等于另一個(gè)長(zhǎng)方形的面積S，則長(zhǎng)方形D’與以6，c為邊的長(zhǎng)方形相似.用幾何方法作出的長(zhǎng)x就是二次方程b/cx2+ac=S的根.

3.正多面體

在幾何學(xué)方面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法;還發(fā)現(xiàn)了“宇宙體”——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，如圖5，并給出了相應(yīng)的證明.

——摘自《中國數(shù)學(xué)史大系·副卷第一卷》