中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的類型與解題策略探尋

余杰

[摘 要]應(yīng)用題是中考數(shù)學(xué)的必考題型，文章對(duì)中考數(shù)學(xué)的應(yīng)用題進(jìn)行分類探析，尋求其解題策略，以提高學(xué)生的閱讀理解能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

[關(guān)鍵詞]應(yīng)用題;中考數(shù)學(xué);策略

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）08-0007-03

應(yīng)用題是中考數(shù)學(xué)的必考題型，主要考查考生的閱讀理解能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。解答應(yīng)用題必須先讀懂題意，再建模，進(jìn)而解決問(wèn)題。應(yīng)用題有哪些基本類型呢？我們應(yīng)該采取何種解題策略呢？

一、方程（組）與不等式（組）模型

方程（組）和不等式（組）是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其不僅是中考核心考點(diǎn)，而且也是解決代數(shù)、幾何及實(shí)際問(wèn)題的重要工具。在中考中，這類問(wèn)題主要涉及工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、打折促銷問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題等。

[例1]振華中學(xué)初一（3）班去某一農(nóng)業(yè)生態(tài)園參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，該生態(tài)園有塊空地種植蘋果和橘子兩種水果，活動(dòng)結(jié)束后，吳斌編寫了一道數(shù)學(xué)題：在某一生態(tài)園中，經(jīng)營(yíng)者是甲、乙兩戶果農(nóng)，其種植面積與賣水果總收入見(jiàn)下表。（假設(shè)不同種植戶種植的同種水果每畝產(chǎn)值相等）

（1）蘋果與橘子的每畝收入分別是多少？

（2）甲、乙兩戶果農(nóng)計(jì)劃合租30畝農(nóng)田來(lái)種植蘋果與橘子。經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，要求蘋果的種植面積大于橘子的種植面積（兩種水果的種植面積都是整數(shù)畝）。當(dāng)?shù)卣畬?duì)種植蘋果的果農(nóng)給予補(bǔ)貼，種植蘋果的面積不超過(guò)15畝的部分，每畝補(bǔ)貼100元;超過(guò)15畝但不超過(guò)20畝的部分，每畝補(bǔ)貼200元;超過(guò)20畝的部分每畝補(bǔ)貼300元。為了讓總收入不低于[127 500]元，他們應(yīng)如何確定方案？

分析：（1）設(shè)蘋果每畝的平均收入為[x]元，橘子每畝的平均收入為[y]元，

由題意得[5x+3y=33 500，3x+7y=43 500，]解得[x=4 000，y=4 500。]

（2）設(shè)種植蘋果[m]畝，那么種植橘子[（30-m）]畝，于是[m>30-m]，即 [m>15]。

當(dāng)[15

[w=4 000m+4 500×（30-m）+15×100+（m-15）×200≥127 500 ]，解得[15

當(dāng)[m>20]時(shí)，他們的總收入為

[w=4 000m+4500×（30-m）+15×100+5×200+ （m-20）×300≥127 500]。

由此解得[m≤20]，不合題意。

綜上所述，種植方案如下：

點(diǎn)評(píng)：這類問(wèn)題一般有兩問(wèn)，第一問(wèn)只需根據(jù)題意列出方程或方程組，然后解方程即可得到答案，而第二問(wèn)一般與不等式有關(guān)，建立不等式后還要注意自變量的取值范圍。這類問(wèn)題一般出現(xiàn)在方案設(shè)計(jì)和最優(yōu)方案選擇型的問(wèn)題中，難度一般。

二、函數(shù)、方程與不等式模型

函數(shù)、方程和不等式在數(shù)學(xué)中是密不可分的。在函數(shù)類應(yīng)用題中，通常考查函數(shù)、方程和不等式的綜合應(yīng)用。對(duì)于這類應(yīng)用題，一般可先建立方程或不等式，再建立函數(shù)關(guān)系，最后確立自變量的取值范圍。建立方程或不等式是解決這類應(yīng)用題的基礎(chǔ)，而確定自變量的范圍則是解題的關(guān)鍵。

[例2]有一種成本價(jià)為50元的商品在一大型商場(chǎng)試銷，規(guī)定在試銷期間單價(jià)不低于成本價(jià)，且利潤(rùn)不得高于40%。在銷售幾天后有人發(fā)現(xiàn)，這種商品的銷售量[y]與銷售單價(jià)[x]之間存在著一次函數(shù)關(guān)系（如圖1所示）。

（1）請(qǐng)求出銷售量[y]（個(gè)）關(guān)于銷售單價(jià)[x]（元）的解析式。

（2）如果該商場(chǎng)銷售這種商品的利潤(rùn)是[Q]元，那么利潤(rùn)[Q]（元）與銷售單價(jià)[x] （元）之間有怎樣的關(guān)系？試用函數(shù)式表達(dá);當(dāng)[x]為何值時(shí)，該商場(chǎng)獲利最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）如果該商場(chǎng)試銷該商品所獲利潤(rùn)不低于600元，請(qǐng)求出銷售單價(jià)[x]的取值范圍。

分析：（1）設(shè)[y=kx+b]，由題意得[55k+b=65，60k+b=60，] [?k=-1，b=120，]

故所求函數(shù)的解析式是[y=-x+120]。

（2）由題意知，利潤(rùn)[Q]與銷售單價(jià)[x]的函數(shù)解析式為[Q=（x-50）（-x+120）=-x2+170x-6 000]，

[Q=-x2+170x-6 000=- （x-85）2+1 225]。

又[x≥50，? ? ? ? ? ? ? ?x-5050≤40%，]即[50≤x≤70]。

因?yàn)閇a=-1<0]，故對(duì)稱軸左邊的[y]的值隨著[x]值的增大而增大，所以[x=70]時(shí)，這個(gè)商店獲利最大，獲得的最大利潤(rùn)是[Q=1 000]元。

（3）由題意知，[Q=- （x-85）2+1 225≥600]，解得[60≤x≤110]。

由獲利不得高于[40%]得[x-5050≤40%]，解得[x≤70]，故[x]的取值范圍是[60≤x≤70]。

點(diǎn)評(píng)：本題雖然考查知識(shí)點(diǎn)較多，但解決問(wèn)題的重點(diǎn)還是在于根據(jù)題意列式。

三、函數(shù)模型

函數(shù)模型主要包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型和分段函數(shù)模型。利用函數(shù)模型可以解決許多問(wèn)題，如最值問(wèn)題、決策問(wèn)題等。函數(shù)類應(yīng)用題的解題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是如何建模，二是如何根據(jù)自變量的實(shí)際意義和函數(shù)的性質(zhì)做出正確決策。5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88

[例3]人民商場(chǎng)為某殘疾人福利廠代銷一種新產(chǎn)品，當(dāng)該新產(chǎn)品每件售價(jià)定為260元時(shí)，每月銷售了45件。該商場(chǎng)為了獲得更高的利潤(rùn)，計(jì)劃以降價(jià)形式搞促銷。商場(chǎng)領(lǐng)導(dǎo)走訪市場(chǎng)并分析發(fā)現(xiàn)：月銷售量與售價(jià)成一次函數(shù)關(guān)系，且滿足下表所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系。綜合考慮各種因素，每售出一件新產(chǎn)品，共需支付廠家及其他費(fèi)用100元。設(shè)當(dāng)每件定價(jià)為[x]元時(shí)，該商場(chǎng)的月利潤(rùn)為[y]元。

[售價(jià) 250元 240元 銷售量 52.5件 60件 ]

（1）當(dāng)每件定價(jià)為220元時(shí)，試計(jì)算此時(shí)的月銷售量;

（2）請(qǐng)求出[y]與[x]之間的函數(shù)表達(dá)式;

（3）人民商場(chǎng)要獲取最大月利潤(rùn)，新產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少？

（4）王灣說(shuō)：“如果月商場(chǎng)利潤(rùn)最大，那么月銷售額也最大。”這種說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)出你的觀點(diǎn)。

分析：（1）月銷售量與售價(jià)成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)銷售量為[p=kx+b]，將（250，52.5）和（240，60）代入，就可算得[k=-0.75]，[b=240]，所以[p=-0.75x+240]。于是當(dāng)[x=220]時(shí)，[p=-0.75×220+240=75]，所以當(dāng)每件售價(jià)是220元時(shí)，此時(shí)的月銷售量為75件。

（2）由題意得[y=（x-100）（-0.75x+240）]，即[y=-34x2+315x-24 000]。

（3）[y=-34x2+315x-24 000=-34（x-210）2+9 075]。

因?yàn)閇x>100]，所以該店要獲得的月利潤(rùn)最大，該新產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定價(jià)為210元。

（4）王灣說(shuō)得不正確。原因是當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，[x]等于210元，而對(duì)于月銷售額[W=x45+（260-x）÷10×7.5=–34（x–160）2+19 200]來(lái)說(shuō)，因?yàn)閇x>100]，所以當(dāng)[x]等于160元時(shí)，月銷售額[W]最大。因?yàn)楫?dāng)[x]等于210元時(shí)，月銷售額[W]不是最大，所以王灣的說(shuō)法不正確。

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用。確立函數(shù)關(guān)系式一般有兩種方法，一種是待定系數(shù)法，如第（1）問(wèn);另一種是直接根據(jù)題意寫出函數(shù)關(guān)系式，如第（2）問(wèn)。對(duì)于最值問(wèn)題，建立二次函數(shù)模型后，可利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍來(lái)求。

四、直角三角形模型

對(duì)于生活中的一些測(cè)量問(wèn)題，一般可通過(guò)建立直角三角形模型來(lái)求解，在求解過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到幾何知識(shí)，如三角形全等、三角形相似等。

（一）仰角俯角問(wèn)題

仰角俯角主要在測(cè)量大型建筑物的高度時(shí)應(yīng)用，因?yàn)榇笮徒ㄖ锏捻敳恳话悴灰椎竭_(dá)，但是在地面某個(gè)位置可以看到它，利用測(cè)角儀測(cè)出此時(shí)的仰角，以及它與建筑物的水平距離，就可以求得它的高度，這里一般應(yīng)用正切函數(shù)。無(wú)論是仰角還是俯角，都是指視線與水平線的夾角。

[例4]如圖2，一旗桿[EF]位于樓[AB]與樓[CD]之間，從[AB]頂部[A]點(diǎn)處經(jīng)過(guò)旗桿頂部[E]點(diǎn)恰好看到樓[CD]的底部[D]點(diǎn)，且俯角為45°，從樓[CD]頂部[C]點(diǎn)處經(jīng)過(guò)旗桿頂部[E]點(diǎn)恰好看到樓[AB]的[G]點(diǎn)，BG =1米，且俯角為30°，若樓[AB]高為20米，請(qǐng)求出旗桿[EF]的高度。（[3≈1.73]，計(jì)算結(jié)果精確到1米）

分析：過(guò)點(diǎn)[G]作[GP⊥CD]于點(diǎn)[P]，與[EF]相交于點(diǎn)[H]。設(shè)[EF=x]米，則依據(jù)題意可知，[FH=GB=] 1米，[EH=EF-FH=（x-1）]米。又因?yàn)閇∠BAD=∠ADB=45]°，所以[FD=EF=x]米，[AB=BD=20]米， 在[Rt△GEH]中，[∠EGH=30]°，于是[tan∠EGH=EHGH]，即[33=x-120-x]，解得[x=193-172≈8] 米。故旗桿[EF]的高度大約是8米。

點(diǎn)評(píng)：在這類問(wèn)題中，往往圖中沒(méi)有出現(xiàn)直角三角形，這時(shí)應(yīng)先考慮添加輔助線，作有關(guān)線段的垂線，將斜三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題。解答這類問(wèn)題一般用到勾股定理、三角函數(shù)的定義以及平面幾何的相關(guān)知識(shí)。

（二）坡度坡角問(wèn)題

斜坡有一定的傾斜度，這個(gè)傾斜度就叫作坡度。如何從數(shù)值區(qū)分兩個(gè)坡面的傾斜度呢？我們用坡面的鉛直高度與水平寬度的比，作為坡面的坡度，同時(shí)把坡面與水平面的夾角，叫作坡角。斜坡的坡面距離是可以測(cè)量的，但是求小山的鉛直高度需要用到坡角，或者當(dāng)已知斜坡的坡度時(shí)，也可以算出坡角，從而算出其他相關(guān)的量。

[例5]2020年5月27日，2020珠峰高程測(cè)量登山隊(duì)成功登頂珠穆朗瑪峰完成峰頂測(cè)量任務(wù)。受此消息鼓舞，某數(shù)學(xué)小組開(kāi)展了一次測(cè)量小山高度的活動(dòng)。如圖3，該數(shù)學(xué)小組從地面[A]處出發(fā)，沿坡角為53°的山坡[AB]直線上行350米到達(dá)[B]處，再沿著坡角為22°的山坡[BC]直線上行600米到達(dá)[C]處，求小山的高度[CD]及該數(shù)學(xué)小組行進(jìn)的水平距離[AD]（結(jié)果精確到1米）。（參考數(shù)據(jù)：[sin22°≈0.37]，[cos22°≈0.93]，[sin53°≈0.8]，[cos53°≈0.6]）

分析：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)[B]作[CD]的垂線[BE]，作[AD]的垂線[BH]，垂足分別是點(diǎn)[E]、[H]，根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，得四邊形[BEDH]是矩形，所以[DE=BH]，[BE=DH]，在直角[△BCE]中，[BC=600]米，[∠CBE=22°]，根據(jù)正弦定義，得[CE=BC·sin22°≈600×0.37=222]（米），根據(jù)余弦定義得[BE=BC·cos22°≈600×0.93=558]（米），所以[DH=BE=558]（米）。

因?yàn)閇AB=350]米，所以在[Rt△ABH]中，[∠BAH=53°]，由正弦定義得[BH=AB·sin53°≈350×0.8=280]（米），由余弦定義，得[AH=AB·cos53°≈350×0.6=210 ]（米），所以[CD=CE+DE=CE+BH=222+280=502 ]（米），[AD=AH+DH=210+558=768 ]（米）。

點(diǎn)評(píng)：本題相當(dāng)于把四邊形[ABCD]切分為一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形，然后分別解兩個(gè)直角三角形。在每個(gè)直角三角形中，利用正弦或余弦定義，求得對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，從而求得總長(zhǎng)度。

從以上的實(shí)例分析可以看出，解應(yīng)用題，首先應(yīng)找準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，解出有關(guān)數(shù)據(jù)，再將其還原成實(shí)際問(wèn)題，最后得出結(jié)論，回答問(wèn)題。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 唐蓉. 初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題分析與教學(xué)策略研究[D].重慶：西南大學(xué)，2020.

[2]? 涂鳳寧.核心素養(yǎng)立意下的中考應(yīng)用題發(fā)展[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（10）：38-39.

[3]? 李林.中考數(shù)學(xué)應(yīng)用題探究[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2019（Z2）：61-64.

[4]? 陳巧未.關(guān)于解答初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（8）：56-57.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）5C49615E-33DD-4F5F-A3FC-DF23295FDB88