線性系統(tǒng)執(zhí)行動態(tài)和觀測動態(tài)的補償

馮紅銀萍，王麗

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

實際應(yīng)用中，受到客觀條件的制約，控制器往往無法直接作用于控制對象，需要某些媒介間接施加控制，這樣就產(chǎn)生了執(zhí)行動態(tài)補償問題。近年來，帶有執(zhí)行動態(tài)的系統(tǒng)控制問題得到了廣泛的關(guān)注，該問題通?？梢悦枋龀纱?lián)系統(tǒng)的控制問題。無窮維執(zhí)行動態(tài)補償問題的研究始于輸入時滯補償問題，見Smith預(yù)估方法［1］及其改進(jìn)［2-3］。文獻(xiàn)［4］將backstepping方法應(yīng)用于輸入時滯補償問題。通過將時滯動態(tài)描述為傳輸方程，輸入時滯補償問題就轉(zhuǎn)換成常微分方程-偏微分方程（ODE-PDE）串聯(lián)系統(tǒng)的邊界控制問題，于是解決偏微分方程常用的數(shù)學(xué)工具在時滯補償問題中有了用武之地。Backstepping方法還可以被用于其他類型的執(zhí)行動態(tài)補償，例如：一般的一階雙曲方程動態(tài)［4］，熱方程動態(tài)［5-8］，波方程動態(tài)［6，9］，以及薛定諤方程動態(tài)［10］。

與執(zhí)行動態(tài)補償問題類似，受到客觀條件的制約，系統(tǒng)信息可能無法直接測得，傳感器只能間接地安裝在觀測對象上，于是產(chǎn)生了觀測動態(tài)補償問題。具有觀測動態(tài)的系統(tǒng)觀測問題通?？梢员硎龀纱?lián)系統(tǒng)的觀測問題。觀測動態(tài)補償問題在一定程度上是執(zhí)行動態(tài)補償問題的對偶問題。近年來，無窮維觀測動態(tài)補償問題得到了廣泛研究。偏微分方程的backstepping方法［11］是解決各類無窮維系統(tǒng)觀測動態(tài)補償問題的最主要方法之一，它成功解決了輸出時滯補償問題［4］，一階雙曲方程觀測動態(tài)補償問題［12］，熱方程觀測動態(tài)補償問題［5，7］以及波方程觀測動態(tài)補償問題［9］。

Backstepping方法威力強(qiáng)大，但也存在缺點。例如：backstepping方法很大程度上依賴于目標(biāo)系統(tǒng)，而目標(biāo)系統(tǒng)的選取大多依靠直覺而缺乏理論依據(jù)［4-5，9］。這意味著backstepping方法具有很大的局限性，目標(biāo)系統(tǒng)選擇不恰當(dāng)可能導(dǎo)致backstepping方法無法使用。Backstepping方法的另一個缺點在于backstepping變換核函數(shù)的求解。由于求解backstepping變換的核函數(shù)通常歸結(jié)為求解偏微分方程，而有些偏微分方程的求解是非常困難的。這使得backstepping方法很難處理一般性的無窮維執(zhí)行/觀測動態(tài)補償問題。Euler-Bernoulli梁方程和一般區(qū)域上的高維偏微分方程對應(yīng)的back?stepping變換仍然是未知的。

設(shè)X1，X2，U2和Y1是Hilbert空間，執(zhí)行動態(tài)補償問題與觀測動態(tài)補償問題可以統(tǒng)一描述為如下的抽象系統(tǒng)：

其中 A1：X1→X1，A2：X2→X2是系統(tǒng)算子，B1C2：X2→X1代表系統(tǒng)之間的連接方式，B2：U2→X2是控制算子，C1：X1→Y1是觀測算子，u(t)是控制輸入，y(t)是測量輸出。如果A1或A2是無界算子，那么系統(tǒng)（1）可以描述帶有偏微分方程的串聯(lián)系統(tǒng)的輸出反饋鎮(zhèn)定問題。當(dāng)“x1-子系統(tǒng)”是被控對象時，由于控制器作用在“x2-子系統(tǒng)”上，“x2-子系統(tǒng)”可以看作“x1-子系統(tǒng)”的執(zhí)行動態(tài)。此時，系統(tǒng)（1）的控制問題就是“x1-子系統(tǒng)”的執(zhí)行動態(tài)補償問題。當(dāng)“x2-子系統(tǒng)”是被控對象時，由于傳感器作用在“x1-子系統(tǒng)”上，“x1-子系統(tǒng)”可以看作“x2-子系統(tǒng)”的觀測動態(tài)。此時，系統(tǒng)（1）的觀測問題就是“x2-子系統(tǒng)”的觀測動態(tài)補償問題。

由于線性系統(tǒng)的分離性原理，本文可以分兩步來考慮系統(tǒng)（1）的輸出反饋鎮(zhèn)定：（i）狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定，（ii）狀態(tài)觀測器設(shè)計。問題的關(guān)鍵在于系統(tǒng)（1）串聯(lián)結(jié)構(gòu)的解耦。由矩陣?yán)碚摽芍謮K上/下三角矩陣可以通過與Sylvester矩陣方程相關(guān)的上/下三角變換對角化［13］。該結(jié)論可以推廣到算子的情形，并被廣泛應(yīng)用于無窮維系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)問題［14-18］。本文將采用這一方法考慮執(zhí)行/觀測動態(tài)補償?shù)膯栴}。串聯(lián)系統(tǒng)解耦需要求解相關(guān)的Sylvester算子方程，當(dāng)算子A1和A2均是無界算子時，這是一個非常困難的問題。但如果A1和A2中至少有一個是有界算子時，問題將會變得相對容易。本文考慮的抽象系統(tǒng)（1）有廣泛的一般性，傳輸方程動態(tài)［4］，波方程動態(tài)［9］，熱方程動態(tài)［5］以及Euler-Bernoulli梁方程動態(tài)［19］等都是系統(tǒng)（1）的特殊情況。

本文研究內(nèi)容將按照如下安排：第1節(jié)給出預(yù)備知識，介紹算子相似性概念以及一些相關(guān)結(jié)果；第2節(jié)研究帶有無界算子的Sylvester算子方程，給出Sylvester算子方程解的定義及求解方法；第3節(jié)給出執(zhí)行動態(tài)補償方法，并在第4節(jié)中將所得結(jié)果應(yīng)用于帶有ODE執(zhí)行動態(tài)的不穩(wěn)定熱方程的鎮(zhèn)定問題。在討論觀測動態(tài)補償方法之前，第5節(jié)討論了抽象系統(tǒng)（1）的可觀性。第6節(jié)提出觀測動態(tài)補償方法，并在第7節(jié)中將該方法應(yīng)用于帶有ODE觀測動態(tài)的不穩(wěn)定熱方程的觀測問題。

1 預(yù)備知識

為了便于閱讀，本小節(jié)對本文涉及的無界算子理論和無窮維系統(tǒng)理論的相關(guān)知識做一簡單介紹，更詳細(xì)的內(nèi)容請參見文獻(xiàn)［20-23］。本節(jié)中，記Xi是Hilbert空間，Xi中的單位算子記為Ii，i=1，2。從X1到X2的有界線性算子的全體記為 L(X1，X2)。算子A的譜、預(yù)解集、值域、核和定義域分別用σ(A)，ρ(A)，Ran(A)，Ker(A)和D(A)來表示，A?表示矩陣A的轉(zhuǎn)置。

2 Sylvester方程

3 執(zhí)行動態(tài)補償

本節(jié)將以抽象系統(tǒng)（1）為研究對象，提出執(zhí)行動態(tài)補償方法。本節(jié)的目標(biāo)是：設(shè)計狀態(tài)反饋控制器鎮(zhèn)定抽象系統(tǒng)（1）。定義算子

4 帶有ODE執(zhí)行動態(tài)的不穩(wěn)定熱系統(tǒng)

為了驗證第3節(jié)中提出的抽象理論結(jié)果，本節(jié)考慮帶有ODE執(zhí)行動態(tài)的不穩(wěn)定熱方程的鎮(zhèn)定問題。目前有很多文獻(xiàn)研究不穩(wěn)定熱方程的鎮(zhèn)定問題，例如文獻(xiàn)［5，28］等。然而通過ODE執(zhí)行動態(tài)來鎮(zhèn)定不穩(wěn)定熱方程的相關(guān)研究還非常少［29］。因為需要通過有限維系統(tǒng)來鎮(zhèn)定無窮維系統(tǒng)，因此，本節(jié)考慮的問題有較高的控制復(fù)雜性。考慮如下系統(tǒng)：

其中 w(?，t)是熱系統(tǒng)的狀態(tài)，μ>0，A2∈Rm×m是執(zhí)行動態(tài)的系統(tǒng)矩陣，C2∈R1×m表示系統(tǒng)和執(zhí)行動態(tài)之間的連接方式，B2=(b21，b22，…，b2m)?∈Rm是控制向量，u(t)是控制。執(zhí)行動態(tài)補償?shù)目刂颇繕?biāo)是：設(shè)計控制器u指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng)（60）。不失一般性，假設(shè)A2是Hurwitz陣。

現(xiàn)在按照第3節(jié)中控制器（59）的設(shè)計步驟為系統(tǒng)（60）設(shè)計控制器。為此首先定義算子A1：

5 抽象串聯(lián)系統(tǒng)的可觀性

圖1 開環(huán)系統(tǒng)（60）的解Fig.1 The solution of open-loop system（60）

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)（81）的解和控制器Fig.2 The solution and controller of closed-loop system（81）

6 觀測動態(tài)補償

7 帶有ODE觀測動態(tài)的不穩(wěn)定熱系統(tǒng)

8 附錄

圖3 觀測器（155）的誤差Fig.3 The error of observer（155）