板-波傳輸系統(tǒng)的間接穩(wěn)定性

王軍民，郝江浩，郭雅平

（1.北京理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，北京 100081；2.山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006）

0 引言

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制理論和工程中一個核心概念，是控制系統(tǒng)正常工作的基本前提之一。所謂穩(wěn)定性，就是指系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下如果受到一定程度的擾動而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動消失后仍然能恢復到原有平衡狀態(tài)的能力。設計阻尼是系統(tǒng)減少擾動的理想方法。系統(tǒng)的穩(wěn)定性依賴于阻尼區(qū)域的位置［1-2］、阻尼算子的階數(shù)［3］、阻尼反饋的類型［4-5］和定義區(qū)域是否滿足幾何控制條件［6-7］等諸多因素。關于通過內(nèi)部耦合的板-波系統(tǒng)的穩(wěn)定性可見文獻［8-9］，另外文獻［10-11］考慮了通過邊界耦合的板-波傳輸系統(tǒng)。對于通過邊界耦合的板-波傳輸系統(tǒng)旨在考慮當阻尼只施加在一個子系統(tǒng)上，而另一個子系統(tǒng)上無阻尼時，整個系統(tǒng)是否可以達到穩(wěn)定的狀態(tài)。更多的板-波傳輸系統(tǒng)的工作可見［12-14］。

20世紀90年代，國際控制學者Russell引進了無窮維耦合系統(tǒng)的間接穩(wěn)定性概念［14］。間接穩(wěn)定性是指一個耦合子系統(tǒng)的阻尼能否通過耦合關系有效地傳遞到另一個子系統(tǒng)，從而有效地減弱整個系統(tǒng)的振動，實現(xiàn)整個系統(tǒng)的某種穩(wěn)定性［15］。從控制的角度來看，整個耦合方程其實是由被控對象和其反饋控制器構成的閉環(huán)系統(tǒng)。而工業(yè)上的許多控制都是溫度控制，所以熱方程可以作為控制器對待。若被控對象是由波方程描述的，那么就會得到熱-波方程耦合的方程。文獻［7］討論了耦合波-熱方程的穩(wěn)定性問題。文獻［6］用熱方程通過邊界指數(shù)鎮(zhèn)定了一維Euler-Bernoulli梁方程，且證明了系統(tǒng)的解具有Gevrey正則性。

據(jù)我們所知，由板和波所構成的耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要集中于在每個子系統(tǒng)上都施加阻尼的情形，而只在單個子系統(tǒng)上施加阻尼的研究還很少。從理論上來講，若只用單個子系統(tǒng)的阻尼來鎮(zhèn)定整個耦合系統(tǒng)，會給無阻尼的子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析帶來困難。本文將對這類模型的穩(wěn)定性進行研究。確切地說，在圖1內(nèi)，考慮如下的初邊值問題

圖1 板-波傳輸系統(tǒng)Fig.1 The transmission plate-wave systems

因而系統(tǒng)（1）的能量關于時間t非增。并且等式（3）表明系統(tǒng)（1）的耗散項僅產(chǎn)生于板的部分，而與波的部分無關。

本文結構如下：第1節(jié)給出預備知識；第2節(jié)證明系統(tǒng)（1）的適定性；第3節(jié)建立系統(tǒng)（1）的多項式穩(wěn)定性；第4節(jié)總結內(nèi)容，得出結論。

1 預備知識

為了研究系統(tǒng)的能量衰減性質(zhì)，我們先引入函數(shù)空間

2 適定性

本節(jié)我們先給出系統(tǒng)（1）的適定性。

3 穩(wěn)定性

4 結論

在傳輸系統(tǒng)（1）中，板和波的能量只通過邊界來交互傳遞，而阻尼只施加在板方程上，這樣會給無阻尼的波能量的估計帶來困難。用頻域分析法和能量乘子法導出的能量傳遞等價關系式（24），是傳輸系統(tǒng)（1）的能量是否被估計的關鍵因素。為了估計（24）右端的邊界積分項，必須使用板的高階能量，故我們只能得到其解的能量的多項式衰減率。在這種情況下，系統(tǒng)（1）的非指數(shù)穩(wěn)定性和多項式能量衰減率的最佳估計仍是一個未解決的問題。