用一般觀念引領(lǐng)章起始課教學(xué)

王萬豐 周孝輝

摘? 要：數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不同，但是數(shù)學(xué)研究的思路與方法卻大致相同. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)在一般觀念下去思考一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究思路、方法與套路，從數(shù)學(xué)對(duì)象的發(fā)生、發(fā)展處展開教學(xué).“二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質(zhì)”是學(xué)生完整地經(jīng)歷了一次函數(shù)的研究歷程而開始學(xué)習(xí)的，在教學(xué)的過程中應(yīng)充分發(fā)揮先行組織者的教學(xué)理論，引導(dǎo)學(xué)生整體回顧一次函數(shù)的研究思路與方法，用類比思想規(guī)劃研究“二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質(zhì)”的學(xué)習(xí)思路與方法而展開教學(xué)，這樣的教學(xué)提升了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：一般觀念;類比研究;設(shè)計(jì)教學(xué)

一、引言

多次聽過人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級(jí)上冊(cè)“二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)”這節(jié)課，課堂上多數(shù)教師都是開門見山，上課伊始就直接告訴學(xué)生我們要開始研究二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)，直接就對(duì)a取特殊值，列表、畫圖象來得出二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的性質(zhì)，接著就應(yīng)用性質(zhì)解決問題. 表面上看，這堂課是很夯實(shí)的一堂課，結(jié)果往往是學(xué)生能記住二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)，也能夠應(yīng)用性質(zhì)解決一些問題，從完成教學(xué)任務(wù)來看也沒有什么大的問題，但是總感覺缺少點(diǎn)什么.

細(xì)細(xì)思考，這樣的教學(xué)是碎片化的教學(xué)，是“掐頭去尾燒中段”式的教學(xué). 試想，如果我們要研究二次函數(shù)的性質(zhì)，為何是從研究“二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)”開始的？要研究“二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)”又為何要對(duì)a進(jìn)行取值？要對(duì)a進(jìn)行取值，又為何要進(jìn)行分類，分成a > 0和a < 0兩類？研究二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的性質(zhì)又如何歸納及從哪幾個(gè)方面去歸納？這些問題如果不解決，學(xué)生仍然學(xué)不會(huì)研究函數(shù)的性質(zhì). 從過程與方法目標(biāo)來講，這樣的教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)沒有任何幫助，這樣的教學(xué)只是教會(huì)了學(xué)生“知其然”，而沒有讓學(xué)生思考“何以知其然”及“何由以知其所以然”.

出現(xiàn)以上問題的根源在于：教師在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中沒有應(yīng)用一般觀念引領(lǐng)教學(xué).

所謂一般觀念，指的是與核心概念和理論相關(guān)的研究問題的一般“套路”，是代數(shù)、幾何及統(tǒng)計(jì)與概率的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法. 用一般觀念指導(dǎo)教學(xué)，能夠幫助學(xué)生形成更高層次的認(rèn)知能力.

一般觀念引領(lǐng)下的章起始課教學(xué)，需要按照“整體—部分”的順序展開. 首先，在整體視野下明確本章或本節(jié)內(nèi)容的研究思路;其次，圍繞核心內(nèi)容提出研究問題，明確研究目標(biāo)（研究?jī)?nèi)容）;最后，展開對(duì)本節(jié)內(nèi)容的研究. 這種章起始課的教學(xué)方法可以使學(xué)生用整體的視角理解知識(shí)的直接關(guān)聯(lián)，感悟知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生“知其然”，并“知其所以然”，知其“何由以知其所以然”.

二、一般觀念下的函數(shù)研究的內(nèi)容與方法

1. 函數(shù)知識(shí)的整體性與內(nèi)在聯(lián)系

函數(shù)知識(shí)是初中階段代數(shù)最重要的內(nèi)容，初中階段研究了一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，在學(xué)習(xí)的過程中都要學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)概念，函數(shù)的表示方法，學(xué)會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題等. 具體如表1所示.

2. 函數(shù)研究的基本思路

函數(shù)圖象與性質(zhì)是函數(shù)研究的主體，通過對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，從數(shù)量和圖象兩個(gè)方面及其相互聯(lián)系中顯示出函數(shù)本質(zhì)特征是聯(lián)系變化，通過觀察發(fā)現(xiàn)圖象的規(guī)律，再根據(jù)這些規(guī)律得出關(guān)于數(shù)值大小的性質(zhì)，即研究函數(shù)的增減性. 一次函數(shù)是一種單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù);二次函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性，其單調(diào)性需要分類討論，在遞增和遞減的分界點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生函數(shù)的最大（?。┲?，所以研究二次函數(shù)的性質(zhì)要研究其對(duì)稱性、增減性及最大（?。┲?反比例函數(shù)是分段函數(shù)，是有區(qū)間的單調(diào)性，教材主要研究其增減性.

綜上所述，研究函數(shù)的性質(zhì)主要研究其圖象分布規(guī)律及其對(duì)稱性、增減性及特殊點(diǎn). 歸納如圖1所示.

3. 函數(shù)性質(zhì)的研究方法

研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，遵循的方法一般是從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜. 要研究函數(shù)的性質(zhì)，就必然要先給出函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)研究是先從正比例函數(shù)研究開始的，通過平移正比例函數(shù)的圖象，即可得到一次函數(shù)的圖象，從而研究一次函數(shù)的性質(zhì)，如圖2所示.

與一次函數(shù)類似，二次函數(shù)也是利用平移來得到函數(shù)圖象的. 從最基本的二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）開始研究，通過向上（或向下）再向左（或向右）平移得到二次函數(shù)y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)，再將二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）配方變形為y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）的形式，從而得出二次函數(shù)y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的圖象和性質(zhì)，具體如圖3所示.

可以發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的研究方法具有高度的相似性，都是可以通過一個(gè)最基本的函數(shù)經(jīng)過平移得到所研究的一般函數(shù). 只是平移的復(fù)雜程度不同，一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以只需要由正比例函數(shù)通過向上（或向下）平移即可得到;而二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，需要由y = ax2（a ≠ 0）進(jìn)行左右或上下平移得到.

4. 正比例函數(shù)y = kx（k ≠ 0）與二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）性質(zhì)的研究方法比較

函數(shù)性質(zhì)的研究是函數(shù)研究的主體，應(yīng)用函數(shù)模型可以更加精確地描述變量之間的關(guān)系，利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題中的最值問題. 那么函數(shù)的性質(zhì)是如何研究的呢？實(shí)際上，函數(shù)性質(zhì)的得出是采用不完全歸納法，即通過研究幾個(gè)特例函數(shù)的特點(diǎn)，通過歸納得出這類函數(shù)的共性即為函數(shù)的性質(zhì). 通過查閱教材，將正比例函數(shù)y = kx（k ≠ 0）及二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）性質(zhì)研究的方法歸納如圖4所示.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

可以看出，研究函數(shù)性質(zhì)的主要方法是：先將其系數(shù)進(jìn)行分類與特殊化，從而有了具體的函數(shù)作為研究對(duì)象，通過描點(diǎn)法畫出特殊函數(shù)的圖象，將研究函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為研究幾個(gè)特例函數(shù)的特點(diǎn)，并進(jìn)行不完全歸納，共同的特點(diǎn)稱為函數(shù)的性質(zhì);對(duì)于分類的系數(shù)有不同的特點(diǎn)，性質(zhì)將進(jìn)行分類表述. 具體圖示如圖5所示.

由以上分析可以看出，函數(shù)研究的套路與方法基本類似，特別是一次函數(shù)與二次函數(shù)，其性質(zhì)研究的思路與方法完全一致. 所以在教學(xué)中應(yīng)從整體思考函數(shù)研究的套路與方法，發(fā)揮一次函數(shù)性質(zhì)研究的先行組織者作用，充分利用一次函數(shù)性質(zhì)研究的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)出邏輯連貫的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過類比一次函數(shù)，主動(dòng)構(gòu)建起研究二次函數(shù)的套路與方法，形成函數(shù)性質(zhì)的研究路徑，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

5. 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)函數(shù)研究的指導(dǎo)作用

教材對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容是這樣安排的，八年級(jí)下冊(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的相關(guān)概念及表示方法，學(xué)會(huì)描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，初步學(xué)會(huì)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題;在此基礎(chǔ)上研究正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，再研究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì);九年級(jí)上冊(cè)研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，九年級(jí)下冊(cè)將研究反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).

從數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的要求來看，教師應(yīng)以“手把手”的方式去教學(xué)生研究一次函數(shù)，特別是在本章復(fù)習(xí)中要總結(jié)出函數(shù)的研究套路與方法，初步形成研究函數(shù)的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);然后以“幫把手”的方式研究二次函數(shù)，在研究二次函數(shù)的性質(zhì)之前要與學(xué)生一起構(gòu)建研究二次函數(shù)的套路與方法，形成研究路徑，鞏固研究函數(shù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然，應(yīng)該發(fā)揮一次函數(shù)的先行組織者作用. 另外，在本章復(fù)習(xí)階段仍然需要繼續(xù)回顧研究二次函數(shù)的套路與方法，鞏固研究函數(shù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成較為穩(wěn)固的研究函數(shù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在這兩章的基礎(chǔ)上，學(xué)生具備了研究函數(shù)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，所以教師應(yīng)以“放開手”的方式去教反比例函數(shù)，應(yīng)完全放手讓學(xué)生自己去研究反比例函數(shù)，如表2所示.

三、一般觀念引領(lǐng)下的“二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 構(gòu)建函數(shù)性質(zhì)研究的一般方法

問題1：學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義后，接下來我們將研究二次函數(shù)哪方面的內(nèi)容？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)得出研究二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用. 得到圖1.

【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)先行組織者理論，體現(xiàn)類比研究思想，明確研究?jī)?nèi)容.

問題2：對(duì)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究我們已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)，你認(rèn)為我們應(yīng)如何研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)？

追問1：如何研究一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)？

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生展望研究二次函數(shù)圖象的方法，當(dāng)學(xué)生感到困難時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的相關(guān)研究?jī)?nèi)容和方法. 經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，先研究特殊的一次函數(shù)——正比例函數(shù)y = kx（k ≠ 0）的圖象和性質(zhì)，再研究一般的一次函數(shù)y = kx + b（k ≠ 0）的圖象和性質(zhì);通過描點(diǎn)法畫出一次函數(shù)的圖象，觀察特例函數(shù)與一般函數(shù)的位置關(guān)系，總結(jié)得到圖2. 另外，在研究正比例函數(shù)的過程中，分k > 0，k < 0兩種情況討論，由k取具體的數(shù)入手，最后歸納出一般的情況，總結(jié)得到圖4（1）.

【設(shè)計(jì)意圖】通過此問題進(jìn)行研究框架的搭建，雖然二次函數(shù)與一次函數(shù)的研究對(duì)象有差異，復(fù)雜程度有差異，但研究方法是從特殊到一般. 復(fù)習(xí)回顧一次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法，帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法，為后續(xù)自主構(gòu)建研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)幫把手.

追問2：通過類比一次函數(shù)的研究思路與方法，你能說說二次函數(shù)應(yīng)如何研究嗎？

追問3：如何研究y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)？

師生活動(dòng)：學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建研究思路與方法，教師提升并完善研究路徑，形成研究路徑的共識(shí)，即先研究y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì). 繼續(xù)類比研究正比例函數(shù)的研究思路，構(gòu)建出研究y = ax2（a ≠ 0）的圖象與性質(zhì)的思路與方法，包括對(duì)字母a進(jìn)行分類討論，如何對(duì)a取特殊值，通過畫圖象歸納共性得出函數(shù)的性質(zhì)等，構(gòu)建出如圖4（2）所示的研究路徑.

【設(shè)計(jì)意圖】通過此問題進(jìn)行研究框架的搭建，讓學(xué)生應(yīng)用一般觀念思考研究函數(shù)的套路與方法，從系統(tǒng)的角度構(gòu)建出函數(shù)圖象的研究路徑，這既是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度思考，又是基于一般觀念引領(lǐng)去思考數(shù)學(xué)，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的品味.

2. 類比探究二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質(zhì)

問題3：類比一次函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法，畫出二次函數(shù)y = x2的圖象，你能說說它的圖象具有哪些特征嗎？

追問1：怎樣用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象？自變量x的取值范圍是什么？

追問2：從哪些角度去觀察、概括特例函數(shù)y = x2的圖象的特征？

師生活動(dòng)：學(xué)生積極思考圖象的特征，有序思考研究二次函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)角度，即對(duì)稱性、增減性、圖象分布及最值等.

【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生概括觀察的角度和方法，嘗試類比探究特殊的二次函數(shù)y = x2的圖象和性質(zhì)，也可以適時(shí)引入幾何畫板軟件進(jìn)行畫圖，輔助教學(xué)，并以函數(shù)y = x2的圖象為觀察對(duì)象，了解拋物線的相關(guān)概念.

問題4：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)[y=12x2]，y = 2x2的圖象，函數(shù)[y=12x2]，y = 2x2的圖象與函數(shù)y = x2的圖象相比，有什么共同點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？通過歸納得出當(dāng)a > 0時(shí)，二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象有什么特點(diǎn)？

追問1：這種共同點(diǎn)是由什么因素引起的？

追問2：這三個(gè)函數(shù)有哪些不同點(diǎn)？是由什么因素決定的？

【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程，歸納出二次函數(shù)y = ax2（a > 0）的圖象特征.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

問題5：類比a > 0時(shí)的研究過程，研究當(dāng)a < 0時(shí)，二次函數(shù)y = ax2的圖象特征.

追問1：通過列表（略），你能猜測(cè)出拋物線y = x2與y = -x2的圖象有什么關(guān)系嗎？你能通過表格中的數(shù)據(jù)或者函數(shù)解析式來證明你的結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生猜測(cè)兩條拋物線的位置關(guān)系，并通過觀察表格中的數(shù)據(jù)，得到一些特殊點(diǎn)是關(guān)于x軸對(duì)稱，歸納得出兩條拋物線也是關(guān)于x軸對(duì)稱;也可以通過一般情況加以證明，即點(diǎn)（m，m2）在拋物線y = x2上，那么點(diǎn)（m，-m2）在拋物線y = -x2上，也可證明兩條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱.

【設(shè)計(jì)意圖】通過說明兩條拋物線的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，通過類比a > 0的研究過程，經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程，從特殊的數(shù)值入手，觀察函數(shù)圖象的特征，并歸納出二次函數(shù)y = ax2（a < 0）的圖象與性質(zhì).

問題6：你能說出y = ax2的圖象和性質(zhì)嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過再一次歸納與總結(jié)，分類表述二次函數(shù)y = ax2（a ≠ 0）的圖象和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生有條理地表達(dá)及有條理地思考函數(shù)性質(zhì)的能力.

四、一般觀念引領(lǐng)章起始課的幾點(diǎn)思考

1. 一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的價(jià)值——數(shù)學(xué)育人

我們知道，所有科學(xué)問題的本質(zhì)都是簡(jiǎn)單而有序的. 人類的智慧表現(xiàn)在用簡(jiǎn)單的概念闡明科學(xué)的基本問題，用相似的方法解決不同的問題，而數(shù)學(xué)的方法就是簡(jiǎn)單的基本方法. 這正與數(shù)學(xué)研究對(duì)象相匹配，無論是在代數(shù)領(lǐng)域還是在幾何領(lǐng)域，研究的對(duì)象千變?nèi)f化，但是研究的內(nèi)容與方法是一脈相承的，正所謂“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變”. 所以，在教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)研究的基本方法，體會(huì)用相似的方法解決不同的問題的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷用相同的方法研究不同的數(shù)學(xué)對(duì)象的過程，學(xué)會(huì)一般觀念引領(lǐng)構(gòu)建出數(shù)學(xué)研究對(duì)象的基本路徑、基本套路與基本方法，并用自主構(gòu)建的研究方法研究一個(gè)新的對(duì)象，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等過程，發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，也正是用數(shù)學(xué)的方式育人的體現(xiàn).

2. 一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的方法——先行組織者

美國教育心理學(xué)家奧蘇貝爾提出，學(xué)生面對(duì)新的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺少同化新知識(shí)的適當(dāng)?shù)纳衔挥^念，或原有觀念不夠清晰，則有必要設(shè)計(jì)一個(gè)先于學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)之前呈現(xiàn)的一個(gè)引導(dǎo)性材料，幫助構(gòu)建一個(gè)使新、舊知識(shí)發(fā)生聯(lián)系的橋梁.

學(xué)生在研究一個(gè)新的對(duì)象時(shí)，總是會(huì)感覺有些困難，若能夠在一般觀念的引領(lǐng)下，回顧恰當(dāng)?shù)纳衔挥^念，并能對(duì)此上位觀念的研究思路、研究方法與研究套路進(jìn)行回顧與整理，就能幫助學(xué)生構(gòu)建出章起始課中數(shù)學(xué)對(duì)象的研究思路與研究方法. 本節(jié)課中，對(duì)于如何研究二次函數(shù)的性質(zhì)，教師通過“如何研究一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)？”這一問題，啟發(fā)學(xué)生思考上位觀念，并通過追問、對(duì)話，回顧整理出一次函數(shù)的研究套路，通過類比，構(gòu)建二次函數(shù)的研究思路與研究方法.

3. 一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的思想——類比思想

在教學(xué)中，要想從一般觀念引領(lǐng)章起始課的教學(xué)，基本方法應(yīng)發(fā)揮先行組織者的作用，用類比思想構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究路徑與框架，在章復(fù)習(xí)課用一般觀念引領(lǐng)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從研究思路、研究對(duì)象、研究方法、知識(shí)結(jié)構(gòu)等角度理解知識(shí)的本質(zhì)，形成比較穩(wěn)固的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 那么在章起始課的教學(xué)中就通過類比思想，構(gòu)建出新的研究對(duì)象的研究路徑與框架.

本節(jié)課的教學(xué)是基于一次函數(shù)的研究方法與套路，通過類比，得出二次函數(shù)的研究方法與套路，通過一次函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容類比得出二次函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容，體現(xiàn)出“幫把手”研究二次函數(shù)性質(zhì)的思想. 在研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，進(jìn)一步將函數(shù)圖象性質(zhì)的研究套路明朗化，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就可以“放開手”讓學(xué)生研究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，達(dá)到“教是為了不教”這一目的，也是教學(xué)的最高境界.

4. 一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的基礎(chǔ)——理解數(shù)學(xué)

應(yīng)用一般觀念引領(lǐng)教學(xué)，教師首先必須懂得如何用數(shù)學(xué)的方式分析中學(xué)數(shù)學(xué)課程中每一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究套路，即要理解數(shù)學(xué)中每一類數(shù)學(xué)對(duì)象的研究思路、研究?jī)?nèi)容與研究方法，從知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯角度，用更高的觀點(diǎn)理解數(shù)學(xué)知識(shí).

例如，用“怎樣研究函數(shù)”的一般觀念去引領(lǐng)教學(xué)，教師應(yīng)從更高的角度去理解函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容. 例如，函數(shù)是如何定義的？函數(shù)的圖象與性質(zhì)是如何展開研究的？函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容有哪些？函數(shù)性質(zhì)的邏輯起點(diǎn)又是什么？如何歸納函數(shù)的性質(zhì)？等等. 教師只有從更高的觀點(diǎn)來理解所教學(xué)的內(nèi)容，才能深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，才能設(shè)計(jì)出讓學(xué)生理解“何由以知其所以然”的高觀點(diǎn)的課堂.

本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐表明，一般觀念引領(lǐng)下的章起始課教學(xué)，可以幫助學(xué)生在整體視野下建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成系統(tǒng)、簡(jiǎn)約的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并利用這些知識(shí)結(jié)構(gòu)展開新的研究，形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用相同的方法做不同的事情. 章建躍博士認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是要發(fā)展學(xué)生的思維，就是要使學(xué)生面對(duì)一個(gè)新的問題時(shí)總能找到方法. 注重一般觀念的思維引領(lǐng)作用，抓住知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生掌握研究問題的一般觀念，并應(yīng)用一般觀念研究新的問題，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的重要途徑.

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