拉脫法測量液體表面張力系數(shù)的誤差分析

赫文豪，李帥霖，付楷涵，李懂文

(1.中國石油大學(xué)(北京) 理學(xué)院，北京 102249；2.中國石油大學(xué)(北京) 石油工程學(xué)院，北京 102249)

液體表面張力是存在于液體表面，使液體表面積縮小的力。液體的表面張力是表征液體性質(zhì)的一個重要參數(shù)。測量液體的表面張力系數(shù)有多種方法，拉脫法是測量液體表面張力系數(shù)常用的方法之一。在實際操作過程中，學(xué)生難免由于一些實驗條件及自身原因，影響實驗結(jié)果準(zhǔn)確度。本文通過分析影響實驗的環(huán)境因素，計算得出在各種條件下的實驗結(jié)果與理論結(jié)果之間的誤差，著重分析了液體表面張力系數(shù)測量的誤差因素。

1 實驗原理

1.1 實驗裝置

本實驗所用到的實驗裝置如圖1所示。

圖1 實驗裝置示意圖

包括液體表面張力測定儀、硅壓阻式力敏傳感器、玻璃皿、砝碼、鑷子、吊環(huán)、升降臺等實驗儀器。其中，硅壓阻式力敏傳感器是該實驗的核心裝置，是將力轉(zhuǎn)換成電信號的轉(zhuǎn)換器件，在該實驗中可將表面張力轉(zhuǎn)化為電信號顯示在液體表面張力測定儀上。

1.2 實驗原理

實驗方法之所以選擇拉脫法，是因為拉脫法相較于其他方法方便快捷，操作簡單[1]。

液體表面張力產(chǎn)生的原因是液體跟氣體接觸的表面存在一個薄層，叫作表面層，表面層里的分子比液體內(nèi)部稀疏，分子間的距離比液體內(nèi)部大一些，分子間的相互作用表現(xiàn)為引力。在液體與固體接觸處，若固體與液體分子間的吸引力大于液體分子間的吸引力，液體就會沿固體表面擴張，形成薄膜附著在固體上(如玻璃毛細(xì)管插入水貨酒精中)，這種現(xiàn)象稱為浸潤；反之，若固體與液體間的吸引力小于液體分子間的吸引力，液體就不會沿固體表面擴張，不附著在固體上(如玻璃毛細(xì)管插入水銀中)，這種現(xiàn)象稱為不浸潤[2]。

將一表面潔凈的金屬環(huán)片豎直滴浸入液體，然后輕輕地提起它，由于水對金屬片是浸潤的，金屬片將帶起部分液體，液體呈彎曲狀，金屬絲帶起一層液膜，液膜拉起過程中接觸角θ逐漸減小而趨向于零，當(dāng)薄膜剛好破裂時，表面張力的方向垂直向下。

圖2 局部金屬絲環(huán)放大示意圖

令金屬絲環(huán)內(nèi)徑為d，外徑為D，脫離液體前各力平衡的條件為

F=mg+fcosθ

(1)

式中F是將金屬絲環(huán)拉出液面所施外力；mg為金屬絲環(huán)和它所黏附的液體的總重量，F(xiàn)為表面張力。

由于表面張力與接觸面的周長π(D+d)成正比，故有

f=απ(D+d)

(2)

式中比例系數(shù)α為表面張力系數(shù)，其值與液體的種類、純度、溫度和它上方的氣體成分有關(guān)。硅壓阻力敏傳感器的輸出電壓的大小在一定范圍內(nèi)與所加外力F成正比，即

U=KF

(3)

式中的K為力敏傳感器的靈敏度，可通過已知質(zhì)量的砝碼定標(biāo)來確定,U為數(shù)字電壓表的示數(shù)。

金屬環(huán)從液體中提起時，由于表面張力作用，一部分液體被金屬環(huán)帶起，形成液體薄膜。當(dāng)所施加的外力F>mg+f時，液體薄膜破裂，金屬環(huán)脫出液面。只要測出脫出液面瞬間的外力和金屬環(huán)的重力的差值f=F-mg，再測出金屬環(huán)的外徑D和內(nèi)徑d，就可計算出液體表面張力系數(shù)。當(dāng)液膜被拉斷后，液體的表面張力消失，這時有

F=mg

(4)

由(1)(3)(4)可得

(5)

當(dāng)液膜被拉斷時，θ為趨近于零，所以此時cosθ=1，由(2)(5)可得

(6)

由(6)可得，只要測出傳感器的靈敏度K，吊環(huán)的內(nèi)外徑d、D以及液膜被拉斷前和拉斷后瞬間的電壓表的示數(shù)U1、U2，就可以計算得出表面張力系數(shù)α[3]。

2 誤差分析

翻閱近十年相關(guān)文獻(xiàn)，總結(jié)測量表面張力系數(shù)的實驗過程中影響學(xué)生測量精度的因素，得出表1。

表1 拉脫法測量液體表面張力系數(shù)誤差分析[4-6]

通過翻閱文獻(xiàn)可得近十年在表面張力系數(shù)誤差分析的研究中，研究內(nèi)容集中于分析吊環(huán)、溫度以及砝碼對實驗結(jié)果的誤差影響。所以將對溫度、砝碼以及吊環(huán)對于實驗誤差的影響進(jìn)行著重分析。

學(xué)生實驗過程中，容易出現(xiàn)多種類型實驗誤差，本文總結(jié)其中較為典型的四種：①溫度測量偏差導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差；②砝碼生銹或磨損造成K值不準(zhǔn)確導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差；③圓環(huán)沾水造成△U變化導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差；④圓環(huán)內(nèi)外徑測量失誤導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差。

2.1 溫度測量偏差導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差

根據(jù)胡粉娥等人研究數(shù)據(jù)(如表2所示)，在0～100 ℃研究范圍內(nèi)，水的表面張力系數(shù)隨著溫度的上升呈明顯下降趨勢，溫度越高，水的表面張力系數(shù)越低。當(dāng)溫度為0 ℃時，水的表面張力系數(shù)為75.62 mN/m，當(dāng)溫度升高至100 ℃時，水的表面張力系數(shù)為58.84 mN/m，降幅達(dá)到22.19%。

表2 表面張力系數(shù)與溫度的關(guān)系[7]

由上表數(shù)據(jù)整理可得下圖。

圖3 表面張力系數(shù)隨溫度變化曲線

利用數(shù)據(jù)分析工具，可作圖如圖3所示，水的表面張力系數(shù)與溫度呈現(xiàn)出線性關(guān)系且隨著溫度的升高呈現(xiàn)明顯下降，進(jìn)一步運用數(shù)據(jù)回歸分析算法可得出函數(shù)方程式為：

y=-0.1672x+75.991

(7)

結(jié)合上式帶入不同溫度，計算得出下表中相對22 ℃不同偏差范圍內(nèi)的表面張力系數(shù)，計算得出不同溫度下表面張力系數(shù)的誤差。

令標(biāo)準(zhǔn)狀況下的表面張力系數(shù)為α0，其他誤差狀況下的表面張力系數(shù)為α，誤差計算公式如下：

(8)

所以在溫度低于22 ℃時，表面張力系數(shù)高于22 ℃時的值，故誤差值大于0；在溫度高于22 ℃時，表面張力系數(shù)低于22 ℃時的值，故誤差值小于0。

表3 溫度誤差

依照表3，以橫坐標(biāo)為溫度計量誤差，22 ℃是實驗室溫度，作為原點，以此繪制得出圖4。

圖4 溫度對表面張力系數(shù)的影響

標(biāo)準(zhǔn)實驗測定中，應(yīng)保證水溫恒定于同一溫度不變，而學(xué)生在實際操作時，水溫會由于外界環(huán)境及一些人為操作改變，導(dǎo)致實驗結(jié)果誤差。

由表3和圖4可得結(jié)論，表面張力系數(shù)隨溫度的升高而降低，二者大致呈現(xiàn)出線性關(guān)系，在水溫低于實驗室溫度時，隨著自變量溫度的逐漸升高，誤差則逐漸減小，從16 ℃變化至21 ℃的過程中，誤差從1.24%變化到了0.22%，在水溫高于實驗室溫度時，隨著自變量溫度的逐漸升高，誤差逐漸增大，在23 ℃變化至28 ℃的過程中，誤差從-0.22%變化到了-1.56%。

2.2 砝碼生銹或磨損造成K值不準(zhǔn)確導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差

以下將分別假設(shè)定標(biāo)所用的砝碼分別生銹0到7個，并分別計算其對應(yīng)的誤差率。

通過假設(shè)砝碼通過生銹增重的質(zhì)量為0.5 g，然后已知的砝碼所受重力，以及定標(biāo)所求的準(zhǔn)確K值，則通過公式(3)，可求得現(xiàn)在實際情況下砝碼生銹后的K值，再將有著偏差的K值代入公式(6)。

現(xiàn)假設(shè)砝碼生銹個數(shù)分別為一到七且生銹順序是按測量順序進(jìn)行生銹，即n個砝碼生銹為定標(biāo)時放入的前n個砝碼生銹。并依生銹砝碼個數(shù)的不同畫出下圖，并可根據(jù)斜率不同得出不同的K值。

圖5 0-7砝碼生銹個數(shù)對K值的影響

求得不同數(shù)量砝碼生銹后的表面張力系數(shù)，得出砝碼生銹后的計算K值均會增大，所以誤差計算時根據(jù)公式(6)和(8)，可得出，當(dāng)有砝碼生銹時誤差均小于0。

表4 砝碼誤差

圖6 砝碼生銹個數(shù)對表面張力系數(shù)的影響

標(biāo)準(zhǔn)實驗測定中，應(yīng)保證定標(biāo)所用的砝碼都處于精確狀態(tài)，沒有經(jīng)歷生銹或磨損，但學(xué)生實際實驗中，砝碼難免會由于外界環(huán)境以及一些人為操作而導(dǎo)致生銹或磨損，使砝碼與所標(biāo)示數(shù)不符，以致定標(biāo)所得的K值不準(zhǔn)確，導(dǎo)致實驗結(jié)果誤差。

由表4及圖6可得規(guī)律，隨砝碼生銹數(shù)量增加，導(dǎo)致K值偏差增大，致使表面張力系數(shù)偏差隨之增大，由二者圖形關(guān)系可直觀得出，隨砝碼生銹個數(shù)增加，雖對表面張力系數(shù)誤差的影響增大，從一枚砝碼生銹到七枚砝碼均生銹，誤差從最開始的-1.96%增長至-9.09%，但每多一枚生銹砝碼對誤差的增長速度逐漸減小，從起始有一枚砝碼生銹即增加-1.96%的誤差，到生銹六枚砝碼，誤差只變化-0.41%。

2.3 圓環(huán)沾水造成△U變化導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差

由《拉脫法測量液體表面張力系數(shù)實驗中影響實驗誤差的因素及幾個被忽略的問題》描述可得，實驗時會忽視圓環(huán)上吸附水的質(zhì)量導(dǎo)致實驗誤差[8]，所以在此做出以下假設(shè)，通過假設(shè)圓環(huán)上沾上水的質(zhì)量，推算△U的變化量，得出誤差。

圓環(huán)上面沾水會導(dǎo)致公式(6)中U2會由于沾上水滴的質(zhì)量而減小，計算沾上水后U2的值則可通過公式(3)。

計算得出，沾在圓環(huán)上的水所影響的U值，并用沒有沾水情況下準(zhǔn)確的U2減去此U值，帶回公式(6)即可計算得出沾水情況下的表面張力系數(shù)，并計算得出其誤差，繪制得出表5,圖7。

表5 圓環(huán)上水滴質(zhì)量引起的測量誤差

圖7 圓環(huán)上水滴質(zhì)量對測量誤差影響規(guī)律

標(biāo)準(zhǔn)實驗測定中，處于理想條件下，圓環(huán)拉斷水膜后上面沒有沾水，但學(xué)生實際操作過程中，難免會在操作時使圓環(huán)在拉斷水膜后上面仍沾有水珠，使圓環(huán)此時的重量比自重要大，造成ΔU變化，導(dǎo)致實驗結(jié)果誤差。

由表5以及圖7分析可得結(jié)論，隨圓環(huán)上水滴質(zhì)量的增加，液體表面張力系數(shù)誤差增大，且二者呈現(xiàn)線性關(guān)系，進(jìn)一步運用數(shù)據(jù)回歸分析算法可得出函數(shù)方程式為：

y=63.359x+ 0.038 2

(9)

隨自變量圓環(huán)上帶水質(zhì)量的增加，因變量表面張力系數(shù)誤差則從6.37%一直增加到31.72%，達(dá)到本文所有分析誤差情況下的最大值。

2.4 圓環(huán)內(nèi)外徑測量失誤導(dǎo)致表面張力系數(shù)誤差

路陽文章中，對于分析最小二乘法處理數(shù)據(jù)不確定度誤差的過程中，可得出圓環(huán)的內(nèi)外徑測量的準(zhǔn)確性對表面張力系數(shù)有很大影響，所以通過假設(shè)圓環(huán)內(nèi)外徑測量時誤差，以此得出圓環(huán)內(nèi)外徑測量失誤對表面張力系數(shù)的誤差[9]。

圓環(huán)內(nèi)外徑測量的不準(zhǔn)確會造成公式(6)中(D+d)的誤差，通過假設(shè)不同的測量誤差并帶回原式，即可計算得出不同誤差條件下的表面張力系數(shù)。當(dāng)內(nèi)外徑總長小于標(biāo)準(zhǔn)值時，α偏小，誤差大于0；當(dāng)內(nèi)外徑總長大于標(biāo)準(zhǔn)值時，α偏大，誤差小于0。

進(jìn)而就可以計算得出其誤差，并以此繪制表6,圖8。

表6 圓環(huán)內(nèi)外徑誤差

依照表6，以橫坐標(biāo)為圓環(huán)內(nèi)外徑誤差，68 mm是標(biāo)準(zhǔn)情況下正確測量得出的結(jié)果，作為原點，以此繪制得出下圖。

圖8 圓環(huán)內(nèi)外徑對表面張力系數(shù)的影響

標(biāo)準(zhǔn)實驗測定中，應(yīng)保證圓環(huán)內(nèi)外徑的測量處于精確的狀態(tài)，但學(xué)生實際操作時，對內(nèi)外徑的測量會由于讀數(shù)不準(zhǔn)或精度不夠?qū)е聹y量結(jié)果偏差，使圓環(huán)內(nèi)外徑與實際不符，導(dǎo)致實驗結(jié)果誤差。

由表6分析得，隨內(nèi)外徑測量誤差增大，表面張力系數(shù)誤差增大，二者呈線性關(guān)系，進(jìn)一步運用數(shù)據(jù)回歸分析算法可得出函數(shù)方程式為：

y=-1.4749x+ 0.1828

(10)

測量結(jié)果小于準(zhǔn)確值時，隨內(nèi)外環(huán)總長增加接近準(zhǔn)確值，誤差減小，內(nèi)外環(huán)總長由64 mm到67 mm，誤差從6.29%減小到1.53%，測量結(jié)果大于準(zhǔn)確值時，隨內(nèi)外環(huán)總長增加遠(yuǎn)離準(zhǔn)確值，誤差增大，內(nèi)外徑總長由69 mm到72 mm，誤差從-1.41%增大到-5.52%。

3 結(jié) 語

綜上所述，對表面張力系數(shù)測定實驗的四個典型誤差，有不同規(guī)律：①溫度偏差越大，則表面張力系數(shù)偏差越大，二者呈現(xiàn)線性關(guān)系；②砝碼生銹數(shù)量增加，導(dǎo)致K值偏差增大，使表面張力系數(shù)偏差增大；③圓環(huán)上水滴質(zhì)量的增加，液體表面張力系數(shù)誤差增大；④內(nèi)外徑測量誤差的增大，表面張力系數(shù)的誤差增大。其中，圓環(huán)沾水導(dǎo)致△U變化對表面張力系數(shù)測定造成影響最大。實驗中，指導(dǎo)老師教導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行表面張力系數(shù)測定實驗時，可參考本文對于誤差的分析計算來指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實驗，尤其應(yīng)注意讓圓環(huán)在脫離水面后不要沾離太多的水滴，達(dá)到減小實驗誤差的目的，從而提高學(xué)生做實驗的測量精度。