三線扭擺法精確測量圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量

安盼龍，趙瑞娟,，鄭永秋

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學院，陜西 渭南 714000；2.中北大學測控技術(shù)與儀器國家級實驗教學示范中心，山西 太原 030051)

轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，是表征剛體特征的一個非常重要的物理量[1-3]。轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量不同，其值不僅取決于轉(zhuǎn)軸的位置，還與物體的質(zhì)量分布情況有關(guān)。如果剛體形狀簡單，且質(zhì)量分布均勻，可以利用連續(xù)積分直接計算出繞特定軸的轉(zhuǎn)動慣量，另外理論計算時還可以結(jié)合平行軸定理及垂直軸定理。然而在工程實踐中會不可避免碰到大量的形狀復雜，且質(zhì)量分布不均勻剛體，導致理論計算極其復雜，這種對的情況下往往采用實驗方法來測定[4,5]。測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法有多種，三線擺法具有設(shè)備簡單、直觀、方便測試、精確度高的優(yōu)點，另外扭擺在運動過程涉及數(shù)學近似處理、角諧振動等復雜問題，向來是研究的熱點[6-8]。

1 實驗原理

密度分布均勻質(zhì)量為m環(huán)的均勻圓環(huán)，內(nèi)外直徑分別為D1為D2，對通過其圓心且垂直于圓環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量J計算公式為(J單位：kg·m2)

(1)

根據(jù)轉(zhuǎn)盤動能與勢能相互轉(zhuǎn)化的能量守恒定理

(2)

圖1 待測鋼質(zhì)圓環(huán)

1.1 三線扭擺自身圓盤的轉(zhuǎn)動慣量

(3)

作H≈L近似處理，L為擺線長，T0為扭擺自身的振動周期，t0=100T0。

1.2 圓環(huán)扭擺轉(zhuǎn)軸共線總轉(zhuǎn)動慣量

(4)

T1為扭擺加圓環(huán)共同振動的周期，t1=100T1。

1.3 均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量

J=J1-J0

(5)

1.4 三線扭擺法測量的百分誤差

(6)

2 實驗測試

2.1 實驗減小誤差應(yīng)注意的問題

2.1.1 調(diào)節(jié)三根擺線等長

要先使擺線等長，才能調(diào)節(jié)扭擺支架的豎桿，原因是一定要先使擺線等長，再使扭擺支架的豎桿與水平面垂直，因為調(diào)節(jié)豎桿的垂直，需要用到擺線做參考線；如果三根擺線不等長，從任何方向看，擺線都是傾斜的，起不到參考標準的作用。

2.1.2 多個周期同時測量

測量周期T時，不直接進行測量，而是測100T，原因為測量T時，如果計時器很準，誤差主要來自起點和終點的確定誤差；而如果一次測量100T，起點和終點的確定誤差還是一樣，但是用總的時間t除以100，最后得到T，在這個T中，起點和終點的確定誤差影響就很小了。其他帶有周期性的物理量，測量其周期，也可以這樣做，以減小測量誤差。比如測量螺桿的螺距，它有空間周期性，也可以先測出100倍的螺距，再除以100，算出1倍的螺距來。

2.1.3 平衡位置開始或停止計時

過平衡位置時，扭擺運動速度快，在此時開始或停止記錄時間，誤差不會太大；當趨于位移最大點時，扭擺振動速度慢，很難掐準在哪一個位置時，扭擺振動速度為0，這樣，判斷誤差很大，對測量的影響就比較大。

2.1.4 確定扭擺扭動的角平衡位置

首先讓扭擺擺動起來，然后將扭擺下方的水平桿扭轉(zhuǎn)到振動的平衡位置，并將其上的指針轉(zhuǎn)到合適位置，以方便角位移判斷。

2.2 測試數(shù)據(jù)及處理

2.2.1 實驗數(shù)據(jù)參數(shù)記錄

實驗數(shù)據(jù)參數(shù)記錄見表1。

表1 實驗直接讀取測量參數(shù)

表2 空盤與空盤+圓環(huán)的測量數(shù)據(jù)

計算圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的理論值J理：

2.2.2 實驗數(shù)據(jù)處理

實驗數(shù)據(jù)處理見表3。

表3 實驗數(shù)據(jù)處理

(1) 計算t、σt、T、σT

實驗可知：

(2) 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量J0與σJ0

×(1.684)2=0.198×10-2kg·m2=1.98 g·m2

(3) 計算圓環(huán)與圓盤總的轉(zhuǎn)動慣量J與σJ

=0.388×10-2kg·m2=3.88 g·m2

=0.02×10-3kg·m2=0.02 g·m2

(4) 圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量J環(huán)與σJ環(huán)

=0.03 g·m2

(5) 理論值與實驗值百分誤差E

3 結(jié) 語

通過對三線扭擺法測量鋼質(zhì)圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量系統(tǒng)的研究，分析了測量誤差產(chǎn)生的原因，詳細計算了對稱中心軸線空盤的轉(zhuǎn)動慣量、空盤與圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。最后根據(jù)誤差的合成公式得到了圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量及其不確定度，經(jīng)過實驗，轉(zhuǎn)動慣量的理論積分與實驗值的相對百分比誤差為0.5%，在實驗允許的誤差范圍內(nèi)。為進一步研究不確定度處理計算、三線扭擺的數(shù)學非線性特征及非規(guī)則幾何物體的轉(zhuǎn)動慣量的物理測量提供思路。