分時(shí)探究：讓含參函數(shù)問題更直觀

陳亞楠

含參數(shù)的函數(shù)問題往往不給出圖像，同學(xué)們求解時(shí)需要根據(jù)題意畫出草圖，“以形助數(shù)”能讓探究更加直觀并思維可見。下面，老師將2021年南通市中考試卷第26題適當(dāng)改編后進(jìn)行演示，與同學(xué)們一起深入探究其解法。

例題 定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”。例如，點(diǎn)（1，1）是函數(shù)y=[12]x+[12]的圖像的“等值點(diǎn)”。

若函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖像記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖像記為W2。試研究W1、W2兩部分組成的圖像上“等值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并指出相應(yīng)m的取值范圍。

這道代數(shù)類的新定義問題不難理解，橫、縱坐標(biāo)都相等的點(diǎn)在直線y=x上，函數(shù)的“等值點(diǎn)”就是該函數(shù)圖像和直線y=x的交點(diǎn)。求解的難點(diǎn)在于直線x=m的位置不確定，導(dǎo)致W1、W2兩部分組成的新圖像發(fā)生變化，交點(diǎn)個(gè)數(shù)也就發(fā)生變化。

我們可以先畫出函數(shù)y=x2-2和y=x的圖像，通過不斷地改變直線x=m的位置，直觀感受W1、W2兩部分組成的新圖像的不同形態(tài)。不難發(fā)現(xiàn)，拋物線的對稱軸是一個(gè)分界位置，直線x=m在其左側(cè)或右側(cè)都會影響新圖像的形狀。另外，y=x2-2和y=x圖像的交點(diǎn)也是關(guān)鍵位置，它們影響新圖像與y=x的交點(diǎn)情況。

接下來我們“分時(shí)”研究：

（1）當(dāng)m>2時(shí)，如圖1，新圖像與直線y=x沒有交點(diǎn)，“等值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為0。

（2）當(dāng)m=2時(shí)，如圖2，新圖像與直線y=x有一個(gè)交點(diǎn)，“等值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為1。

（3）當(dāng)-1

（4）當(dāng)m=-1時(shí)，如圖5，新圖像與直線y=x有三個(gè)交點(diǎn)，“等值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為3。

（5）當(dāng)m<-1且W2與直線y=x相切之前，即[-98]

（6）當(dāng)W2與直線y=x相切，即m=[-98]時(shí)，如圖7，新圖像與直線y=x有三個(gè)交點(diǎn)，“等值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為3。

（7）當(dāng)m<[-98]時(shí)，如圖8，新圖像與直線y=x有兩個(gè)交點(diǎn)，“等值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為2。

最后，我們列表梳理以上情形：

[m的取值范圍 “等值點(diǎn)”個(gè)數(shù) m>2 0 m=2 1 -1

【小結(jié)】通過尋找臨界位置，“分時(shí)”研究，我們可看清楚“等值點(diǎn)”變化的情況?？赐瓯疚?，老師也希望同學(xué)們能體會到利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)問題的策略。

（作者單位：江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)）