數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

摘要：初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，通常能夠使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的能力得到切實(shí)提高.鑒于此，本文主要對(duì)數(shù)形結(jié)合及其在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用重要性與問題進(jìn)行分析，并提出數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)具體解題中的應(yīng)用策略，從而使學(xué)生的思考與探究能力得以提高的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量與效率提升.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;解題;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）14-0035-03

收稿日期：2022-02-15

作者簡(jiǎn)介：韓軍（1975.10-），男，甘肅省靖遠(yuǎn)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)形結(jié)合通常指在數(shù)學(xué)信息不發(fā)生改變的情況下，數(shù)據(jù)與圖形的有效轉(zhuǎn)換，將相關(guān)數(shù)據(jù)精密的呈現(xiàn)在圖形上，以圖形上出現(xiàn)的變化，對(duì)數(shù)據(jù)變化進(jìn)行理解，并經(jīng)過數(shù)據(jù)了解到圖形的狀態(tài).因此，在對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決時(shí)，需注重圖形與數(shù)值的有效結(jié)合，以促使學(xué)生通過眼睛觀看到數(shù)據(jù)的變化，這不僅能夠使學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣得以提高，而且還能使數(shù)學(xué)問題更為簡(jiǎn)單，促進(jìn)學(xué)生有效解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，從而使學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)與思考習(xí)慣.初中階段的數(shù)學(xué)解題中，教師可通過相應(yīng)的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣進(jìn)行培養(yǎng)，以促使學(xué)生形成相應(yīng)的自學(xué)能力.基于此，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，需注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想融入，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，以數(shù)形結(jié)合的思想解決相關(guān)應(yīng)用題，以此為數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)踐問題解決奠定夯實(shí)的基礎(chǔ)，并促進(jìn)學(xué)生自身的水平提高.同時(shí)，數(shù)形結(jié)合還有助于學(xué)生的理解力以及邏輯能力的提高，引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)學(xué)題目中找到可應(yīng)用的內(nèi)容，以畫圖表達(dá)出內(nèi)容，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題的簡(jiǎn)單化、明了化，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)題的有效解決.

1 數(shù)形結(jié)合思想及其思維培養(yǎng)的意義

1.1 數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合運(yùn)用到的是數(shù)和形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其能夠使數(shù)與形之間實(shí)現(xiàn)有效轉(zhuǎn)換，以便于數(shù)學(xué)難題的有效解決，許多問題都能通過該原理，獲得更為便捷的解題方式，許多的數(shù)學(xué)知識(shí)都抽象無法有效理解，如能通過數(shù)形的有效轉(zhuǎn)化，就更便于理解，屬于初中數(shù)學(xué)實(shí)際解題中的重要思想.通過數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，主要是對(duì)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系進(jìn)行考察，將其聯(lián)系通過圖形或數(shù)軸實(shí)施表達(dá)，不僅能通過幾何與代數(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的解決，而且還能使解題的效率與準(zhǔn)確率得到有效提高.

1.2 數(shù)形結(jié)合思維培養(yǎng)的意義

首先，有助于學(xué)生直覺思維的發(fā)展.對(duì)于直覺思維而言，其主要指不通過嚴(yán)格邏輯推理的過程，在第一時(shí)間對(duì)數(shù)學(xué)問題做出合理猜測(cè)與設(shè)想，直到數(shù)學(xué)問題的解決，其并非是毫無根據(jù)的，而是來源于新舊知識(shí)的聯(lián)系、銜接與積累.通過直覺思維實(shí)現(xiàn)問題解決，就需做到認(rèn)真觀察、猜測(cè)、聯(lián)想與歸納.而數(shù)形結(jié)合的思維培養(yǎng)，則需學(xué)生形成相應(yīng)的自覺思維，需學(xué)生在較短的時(shí)間實(shí)現(xiàn)幾何模型的構(gòu)建，依據(jù)給出的已知條件，實(shí)現(xiàn)函數(shù)或者幾何圖形的構(gòu)造，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的直觀形象的解決.

其次，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣提高.初中數(shù)學(xué)的解題過程中，對(duì)學(xué)生而言是極為枯燥的，且涉及到一定的思維與邏輯，具有較大的難度，這就會(huì)影響到學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣.想要避免該現(xiàn)象出現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，就需通過數(shù)形結(jié)合的思想，將數(shù)學(xué)題和圖形有效結(jié)合，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣提高的同時(shí)，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度降低，以促使學(xué)生積極主動(dòng)接受數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)能力提高.

2 數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的問題

2.1 對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法缺乏重視

經(jīng)過調(diào)查顯示，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)的解題中沒有得到充足的重視.由此可知，數(shù)形結(jié)合普及，不僅需教師自身具備相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，而且還需創(chuàng)設(shè)出通過數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行問題解決的環(huán)境，且學(xué)生也需充分的認(rèn)識(shí)與了解到數(shù)形結(jié)合在解題中的重要性.

2.2 對(duì)數(shù)形結(jié)合的價(jià)值缺乏認(rèn)識(shí)

初中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)化學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)較為吃力，這就使學(xué)生無法充分了解到何為數(shù)形結(jié)合，無法通過數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用，促進(jìn)數(shù)學(xué)問題的解決，也無法了解到數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)便性.許多原因致使學(xué)生無法充分認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的重要性.

2.3 對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法缺乏應(yīng)用

雖然教師們都知道數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的重要性，但在具體教學(xué)中，卻缺乏靈活的應(yīng)用.同時(shí)，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師對(duì)于數(shù)形結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用不夠了解，在具體教學(xué)中也不會(huì)用到該方法，且學(xué)生具備向師性，這就使教師的不了解成為學(xué)生的不了解，也無法了解到數(shù)形結(jié)合的重要性，這就使學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，不會(huì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，也不會(huì)通過數(shù)形結(jié)合促進(jìn)學(xué)習(xí)效率的提高.

3 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略

3.1 利用數(shù)軸促進(jìn)絕對(duì)值問題解決

初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師在教學(xué)初始已引入了數(shù)軸，由于數(shù)軸和實(shí)數(shù)構(gòu)建了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并為相反數(shù)、絕對(duì)值等全新概念等賦予了幾何意義.在對(duì)絕對(duì)值定義開展講解時(shí)，需對(duì)數(shù)軸知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，并引入實(shí)際問題.

例如，數(shù)軸上點(diǎn)A至原點(diǎn)之間的距離是3，點(diǎn)B至原點(diǎn)之間的距離是2，求A、B兩點(diǎn)之間的距離.

由數(shù)軸上來看，至原點(diǎn)的距離是3的點(diǎn)需分別置于原點(diǎn)的兩側(cè)且和原點(diǎn)之間的距離都是3個(gè)單位長(zhǎng)度，因此，兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別是+3與-3，也就是點(diǎn)A表示+3與-3，點(diǎn)B表示+2與-2，詳見圖1.此時(shí)，AB兩點(diǎn)之間的距離是1個(gè)單位長(zhǎng)度或者是5個(gè)單位長(zhǎng)度.

評(píng)析在本題中，絕對(duì)值的概念是能夠直接應(yīng)用的，若不做圖，就會(huì)認(rèn)為題目抽象，且容易丟一種情況，但將數(shù)值呈現(xiàn)于數(shù)軸上，不僅形象且直觀，而且還能促進(jìn)數(shù)和形的有效融合，以深化學(xué)生對(duì)于知識(shí)的印象.

3.2 利用函數(shù)圖像促進(jìn)方程、不等式問題解決

平面直角坐標(biāo)系通常是在數(shù)軸后，又一個(gè)將代數(shù)和幾何有效銜接的工具，其擴(kuò)大為有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面中所有點(diǎn)都是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)榫€與面，更為初中時(shí)期重要的知識(shí)，即函數(shù)，提供了有效的生長(zhǎng)土壤.而函數(shù)能夠與許多的知識(shí)有效結(jié)合，構(gòu)成具有較強(qiáng)綜合性的數(shù)學(xué)題，如其能與不等式、方程等相聯(lián)系，通過函數(shù)圖像對(duì)不等式解的取值范圍、方程的根等進(jìn)行解決.此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行明了、直觀的解決，主要有以下形式.

3.2.1 函數(shù)與方程、方程組

一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b是常數(shù)）

①如果函數(shù)y=0的時(shí)候，會(huì)得出一元一次方程kx+b=0，這個(gè)時(shí)候，自變量x的值就是方程kx+b=0的解，其表示為圖像上則是一次函數(shù)圖像和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

②如果x、y是兩個(gè)變量，因此，一次函數(shù)可看作為二元一次的方程kx-y+b=0.

③求取方程組的解通常就是求取兩個(gè)函數(shù)值相等的時(shí)候自變量的數(shù)值.二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系詳見圖2.

④二次函數(shù)y=ax+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖像和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（x，0）、（x，0），即x、x為方程ax+bx+c=0的實(shí)數(shù)根，若y=ax+bx+c的圖像和x軸無交點(diǎn)，那么，方程ax+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)y=ax+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的具體圖像位于x軸上方的全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合是一元二次不等式ax+bx+c>0的全部解集，而圖像位于x軸下方全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)集合是一元二次不等式ax+bx+c<0的全部解集.通過圖像進(jìn)行方程解答，可通過二次函數(shù)y=ax+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）和一元二次方程ax+bx+c=0之間的關(guān)系，進(jìn)行圖形繪制，以做出解答.在對(duì)ax=bx+c（a≠0）進(jìn)行求解時(shí)，可將y=ax和y=bx+c兩個(gè)圖像分別畫出，并找出兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo).

3.2.2 函數(shù)和具體應(yīng)用

具體的應(yīng)用題一直屬于教師頭疼、學(xué)生害怕的題，但是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要目的就是進(jìn)行實(shí)際問題的解決，也就是具體應(yīng)用.因此，找出準(zhǔn)確的方法，多加練習(xí)與總結(jié)極為重要.最為典型的就是通過平面幾何圖形，將問題圖形化，通過圖形進(jìn)行問題的直觀解決，以促使問題的解答更加簡(jiǎn)單、明了.

例如，某廠銷售一種面包，未銷售出去的可退回廠家，依據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，單價(jià)為7角的時(shí)候，每天可售160個(gè)，售價(jià)每增加1角，每天少售20個(gè)，每個(gè)面包成本是5角，設(shè)面包單價(jià)是x角，每天銷售利潤(rùn)是y角.

（1）通過x代數(shù)表示利潤(rùn)與售賣個(gè)數(shù)的關(guān)系;

（2）求取y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（3）面包單價(jià)為多少的時(shí)候，利潤(rùn)最大？最大是多少？

分析二次函數(shù)主要反映了變量的數(shù)量關(guān)系與其變化規(guī)律的函數(shù)形式，基于此，在對(duì)具體問題和二次函數(shù)的問題進(jìn)行研究時(shí)，可構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過二次函數(shù)具備的性質(zhì)進(jìn)行問題解決，通過數(shù)形結(jié)合，則能有效呈現(xiàn)該思想.

綜上所述，數(shù)形結(jié)合屬于極其重要的一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)試題的解決中通常具有無法替代的作用，能夠?qū)⒃S多抽象化數(shù)學(xué)問題通過直觀形象的方式展現(xiàn).因此，初中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中，需注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)易化，從而使學(xué)生的解題效率與準(zhǔn)確率得以提高的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量提升.

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[責(zé)任編輯：李璟]