半線性橢圓最優(yōu)控制問題的兩網(wǎng)格有限元算法

張麗春，劉 暢，浦春雪，徐長玲

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

兩網(wǎng)格算法由文獻[5-7]提出，用于求解非對稱的、不定的和非線性的偏微分方程.針對非線性問題，兩網(wǎng)格算法的主要思想為：分別在粗細兩個網(wǎng)格空間進行有限元離散，首先在粗網(wǎng)格空間利用標準有限元離散來獲得一個逼近解，之后在細網(wǎng)格空間上解一個基于牛頓迭代格式的線性問題，從而獲得一個校正解.由于粗網(wǎng)格空間的維數(shù)遠遠小于細網(wǎng)格空間的維數(shù)，所以在粗網(wǎng)格空間上解一個非線性方程組的工作量會相對很小.文獻[6]針對半線性橢圓方程在構(gòu)造兩網(wǎng)格有限元算法時做了進一步的粗細網(wǎng)格校正，得到了一種四步兩層網(wǎng)格方法，此方法具有更強的收斂性；文獻[8]運用兩網(wǎng)格思想提出了一種解非線性兩點邊值問題的分層迭代校正法；文獻[9]運用兩網(wǎng)格算法建立了求解非線性橢圓方程的多水平迭代法，通過收斂性分析可知此方法非常有效.然而，兩網(wǎng)格離散方法在最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用較少.據(jù)我們所知，文獻[10]首次將兩網(wǎng)格思想應(yīng)用于線性橢圓最優(yōu)控制問題，分別構(gòu)造了兩網(wǎng)格算法和自適應(yīng)兩網(wǎng)格算法.

本文受文獻[1，10]的啟發(fā)，針對一類半線性橢圓最優(yōu)控制問題的有限元方法構(gòu)造兩個兩網(wǎng)格算法并給出收斂性分析.這些算法將細網(wǎng)格上非線性橢圓最優(yōu)控制問題的解簡化為粗網(wǎng)格上非線性橢圓最優(yōu)控制問題的解和細網(wǎng)格上線性代數(shù)系統(tǒng)的解，所得解仍保持漸近最優(yōu)精度.

令

本文考慮如下的最優(yōu)控制問題

(1)

-div(A(x)▽y)+φ(y)=f+u，x∈Ω

，

(2)

y(x)=0，x∈?Ω

，

(3)

假設(shè)φ(·)∈W2，∞(-R，R)，R>0.對任意的y∈H1(Ω)，有φ′(y)∈L2(Ω)，φ′≥0.另外，假設(shè)矩陣A是對稱正定的，A(·)=(ai， j(·))∈(W1，∞(Ω))2×2，并且存在一個常數(shù)C>0，使得對任意變量X∈2，有

1 有限元逼近

(4)

(A▽y，▽v)+(φ(y)，v)=(f+u，v)， ?v∈V

，

(5)

這里(·，·)為L2(Ω)上的內(nèi)積.

因為目標泛函是凸的，由文獻[11]可知，最優(yōu)控制問題(4)～(5)有唯一解(y，u)，且(y，u)為問題(4)～(5)的解當(dāng)且僅當(dāng)存在對偶狀態(tài)變量p∈V，使得(y，p，u)滿足下面最優(yōu)性條件：

(A▽y，▽v)+(φ(y)，v)=(f+u，v)， ?v∈V

，

(6)

(▽p，A▽q)+(φ′(y)p，q)=(y-yd，q)， ?q∈V

，

(7)

(8)

(9)

令Σh表示多邊形域Ω的正則三角剖分，hT為單元T的半徑，h=maxhT.定義有限元空間

這里P1(T)為單元T上的線性函數(shù)集合.

引入標準的橢圓投影Rh：V→Vh，滿足：對任意φ∈V，

(A▽(φ-φh)，▽vh)=0， ?vh∈Vh

，

(10)

.

(11)

下面，給出最優(yōu)控制問題(4)～(5)的有限元逼近：找到(yh，uh)∈Vh×K，使得

(A▽yh，▽vh)+(φ(yh)，vh)=(f+uh，vh)， ?νh∈Vh.

易見，上述最優(yōu)控制問題有唯一解，且存在離散對偶狀態(tài)變量ph∈Vh，使得(yh，ph，uh)滿足下面的離散最優(yōu)性條件：

(A▽yh，▽vh)+(φ(yh)，vh)=(f+uh，vh)， ?vh∈Vh

，

(12)

(▽ph，A▽qh)+(φ′(yh)ph，qh)=(yh-yd，qh)， ?qh∈Vh

，

(13)

(14)

其中

(15)

由文獻[1-2]，我們有如下先驗誤差估計結(jié)果：

，

(16)

.

(17)

下面，給出控制變量的先驗誤差估計.

引理2令u和uh分別為最優(yōu)性條件(6)～(8)和(12)～(14)的解，則有

.

(18)

證明：根據(jù)式(9)和式(15)～(16)，可證

類似地，由式(9)、(15)和(17)，有

結(jié)合上面兩個不等式，可得引理.證畢.

2 兩網(wǎng)格算法

下面構(gòu)造兩個兩步兩網(wǎng)格算法并討論其收斂性.

算法Ⅰ

(A▽yH，▽vH)+(φ(yH)，vH)=(f+uH，vH)， ?vH∈VH

，

(19)

(▽pH，A▽qH)+(φ′(yH)pH，qH)=(yH-yd，qH)， ?qH∈VH

，

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

下面，討論此算法的收斂性.

(25)

證明：將式(6)～(7)與式(22)～(23)相減，利用式(10)，得如下誤差方程

(26)

(27)

利用泰勒展式知

利用上式可推出

(28)

(29)

由φ的假設(shè)、Cauchy不等式、Poincare不等式和式(11)，可得

(30)

(31)

同理可證

(32)

由式(29)～(32)、A和φ的假設(shè)以及式(17)～(19)，得

(33)

結(jié)合式(11)、(33)和三角不等式，有

(34)

(35)

(36)

類似于式(30)和式(32)，得

(37)

(38)

利用A和φ的假設(shè)以及式(34)～(38)，有

再與式(11)和三角不等式結(jié)合，推出

(39)

注意到

(40)

(41)

結(jié)合式(34)、(39)和(41)，可證式(25)成立.證畢.

接下來，給出一個在細網(wǎng)格上可并行計算的兩層網(wǎng)格算法.

算法Ⅱ

(42)

(43)

(44)

類似于定理1中的證明，可得如下收斂性結(jié)果：

3 小 結(jié)

本文針對一類半線性橢圓最優(yōu)控制問題的有限元逼近，給出了兩個兩步兩網(wǎng)格算法并分析了收斂性.兩個算法的細網(wǎng)格上均為線性的解耦格式，并且第二個算法的細網(wǎng)格上為一個可并行計算格式.結(jié)果表明，當(dāng)粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格尺寸滿足h=H2時，兩網(wǎng)格算法與有限元方法具有相同的收斂性.