例談待定系數(shù)法在解答題中的運(yùn)用

馬啟榮

我們?cè)诖_定兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一般是先用未知數(shù)表示關(guān)于變量的關(guān)系式，然后再根據(jù)其它條件來(lái)確定這些未知數(shù)的方法叫做待定系數(shù)法.它其實(shí)質(zhì)是方程思想的體現(xiàn)，即通過(guò)賦值建立方程（或方程組），然后再解方程（或方程組）求得未知系數(shù).那么什么情況下可以采用待定系數(shù)法求解問(wèn)題呢？主要就是考察待求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，是否含有某個(gè)表達(dá)式恒成立的情況，如果具有，就應(yīng)該用待定系數(shù)法試試.下面根據(jù)幾個(gè)特殊題目類(lèi)型舉例介紹待定系數(shù)法的巧妙運(yùn)用，供讀者朋友參考.

1 求函數(shù)表達(dá)式

例1 已知f（x）是二次函數(shù)，且有f（-1）=0，且對(duì)任意x∈R都有x≤f（x）≤12（x2+1）成立，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式.

解析 由于f（x）是二次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax2+bx+c，又對(duì)任意x∈R都有x≤f（x）≤12（x2+1）成立，令x=1得1≤f（1）≤1，故只有f（1）=1，即a+b+c=1;又f（-1）=0，即a-b+c=0.聯(lián)立得a+c=12，b=12;則f（x）=ax2+12x+12-a，又f（x）≥x恒成立，則f（x）-x≥0即ax2-12x+12-a≥0恒成立，所以a>0，且△=（12）2-4a（12-a）≤0，即（a-14）2≤0，故a=14，b=12，c=14，所以f（x）=14x2+12x+14.

評(píng)注 根據(jù)題意建立含參數(shù)的二次函數(shù)表達(dá)式，然后利用特殊值進(jìn)行驗(yàn)證獲得了f（1）=1這一隱含信息，得到了關(guān)于系數(shù)a、b、c的一個(gè)關(guān)系式，為后續(xù)成功解題奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2 求三角函數(shù)解析式

例2 若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，-π2<φ<π2）的最小值是-2，周期為2π3，且它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），求此函數(shù)的解析式.

解析 由于函數(shù)的最小值是-2，則A=|-2|=2.又函數(shù)的周期是2π3，則有2π3=2πω，解得ω=3.而函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-2），將x=0，y=-2及A=2代入y=Asin（ωx+φ）得-2=2sinφ，sinφ=-22.由于-π2<φ<π2，于是φ= -π4.故所求函數(shù)的解析式是： y=2sin（3x-π4）.

評(píng)注 若已知函數(shù)y= Asin（ωx+φ）的部分圖象或給出函數(shù)圖象的有關(guān)特征來(lái)求函數(shù)解析式，只需確定待定字母A、ω、φ的值就行了.一般地是根據(jù)條件先求出A、ω，然后再用特殊點(diǎn)代入求出φ.

3 求不等式中的參數(shù)范圍

例3 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx，若滿(mǎn)足不等式1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，試求f（-2）的取值范圍.

解析 在已知條件中的兩個(gè)不等式都是關(guān)于二次函數(shù)系數(shù)a、b雙向不等式，而待求的f（-2）=4a-2b也是與系數(shù)a、b相關(guān)，所以整體地處理a、b的關(guān)系是合理的思考.由1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4得：1≤a-b≤2，2≤a+b≤4，且f（-2）=4a-2b，于是可設(shè)4a-2b=m（a-b）+n（a+b），則m+n=4-m+n=-2m=3n=1，即f（-2）=4a-2b=3（a-b）+（a+b），將上述兩個(gè)關(guān)于a-b、a+b的不等式整體代入并相加可得5≤f（-2） ≤10.

評(píng)注 此解法靈活地運(yùn)用了待定系數(shù)法，成功地使用f（1）和f（-1）整體地表示出f（-2），這樣就避免了用不等式相加導(dǎo)致范圍擴(kuò)大的錯(cuò)誤.

4 求數(shù)列的通項(xiàng)公式

例4 設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an=12an-1+2n-1 （n≥2），求通項(xiàng)公式an.

解析 設(shè)bn=an+An+B，則an=bn-An-B，an-1=bn-1-A（n-1）-B，代入已知式得bn-An-B=12[bn-1-A（n-1）-B]+2n-1，即bn=12bn-1+（12A+2）n+（12A+12B-1），令12A+2=0且12A+12B-1=0，得A=-4，B=6，所以bn=12bn-1且bn=an-4n+6，當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1-4×1+6=3，故{bn}是首項(xiàng)為3，公比為12的等比數(shù)列，即bn=3·（12）n-1，由此得an=3·（12）n-1+4n-6.

評(píng)注 通過(guò)有目標(biāo)的構(gòu)造新的數(shù)列，引入待定字母系數(shù)，然后經(jīng)過(guò)變形與對(duì)比建立起含待定字母的方程組，再求出相應(yīng)字母系數(shù)的值，使問(wèn)題迎刃而解.

5 確定復(fù)數(shù)的表達(dá)式

例5 已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且有（x+y）2-3xy=4-6i，試求滿(mǎn)足條件的復(fù)數(shù)x，y.

解析 設(shè)x=a+bi（a，b∈R），依題意有y=a-bi，則x+y =2a，xy=a2+b2，代入已知式得，4a2-3（a2+b2）i=4-6i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得4a2=4-3（a2+b2）=-6，解方程組得a=1b=1，或a=1b=1或a=1b=-1或a=-1b=1或a=-1b=-1，所以滿(mǎn)足條件的復(fù)數(shù)x，y為：x=1+iy=1-i或x=1-iy=1+i或x=-1+iy=-1-i或x=-1-iy=-1+i.

點(diǎn)評(píng) 在復(fù)數(shù)問(wèn)題中，若含有等式的條件，并且未知數(shù)是復(fù)數(shù)，必須通過(guò)設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)式并代入，再分離出等式中的實(shí)部和虛部，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件建立等式求解.

6 求導(dǎo)數(shù)題中的參數(shù)范圍

例6 已知函數(shù)f（x）=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn).若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）-a2>23恒成立，求a的取值范圍.

解析 （Ⅰ）由于f′（x）=x2-2bx+2.因?yàn)閤=2是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以x=2是方程x2-2bx+2=0的一個(gè)根，解得b=32.所以f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2），當(dāng)x∈（1，2）時(shí)f′（x）<0，x∈（2，3）時(shí)f′（x）<0，所以f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增.所以f（2）是f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值，且 （-1，3）.若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，要使f（x）-a>23恒成立，只需f（2）>a2+23， 即23+a>a2+23，解得 0

評(píng)注 本題解決的關(guān)鍵是求出所給函數(shù)的最小值，而題中給出的函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值點(diǎn)和極值、函數(shù)的最值等條件就是建立含參數(shù)方程，求出參數(shù)的重要依據(jù).

上面各例介紹了待定系數(shù)法在解決幾個(gè)數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用，只是拋磚引玉.運(yùn)用待定系數(shù)法解題的基本步驟是：首先，通過(guò)設(shè)未知參數(shù)確定所求問(wèn)題的解析式;然后，根據(jù)其他條件建立方程或方程組;最后，解方程或方程組求出系數(shù)，或利用其關(guān)系整體運(yùn)算直接消去系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決.