函數(shù)與方程思想破解高中數(shù)學教學難點探析

王宏科

【摘要】函數(shù)與方程思想是破解高中數(shù)學難題的重要思想與方法，其不僅能使學生的解題效率與準確率得到切實提高，而且還能實現(xiàn)學生數(shù)學能力的提高.教師在對數(shù)學難點進行講解時，需注重函數(shù)與方程思想的融入，以此為學生的后期學習奠定堅實的基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】函數(shù);方程思想;高中數(shù)學

1 引言

函數(shù)和方程思想包括兩個部分，即函數(shù)思想和方程思想，就函數(shù)思想來說，其主要是通過函數(shù)相關(guān)知識來分析求解相關(guān)的數(shù)學問題，而方程思想是把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學模型，然后利用方程的理論或方法求解數(shù)學問題.求解數(shù)學難題時，函數(shù)和方程的巧妙運用不僅可以使學生具有清晰的解題思路，實現(xiàn)高效解題，而且還能使學生形成相應的數(shù)學思想，實現(xiàn)數(shù)學思維能力的發(fā)展.

2 函數(shù)與方程思想破解高中數(shù)學教學策略

2.1 函數(shù)與方程的思想破解方程問題

例1 已知函數(shù)f（x）=2cos2x+cosx-1，g（x）=cos2x+a（cosx+1）-cosx-3，若兩函數(shù)的圖象在（0，π）內(nèi)存有一個公共點，求取a最小值.

解析 兩函數(shù)的圖象在給定區(qū)間內(nèi)存在一個公共點，也就是兩個函數(shù)值相等的方程，在這個區(qū)間內(nèi)有解，此時，可以將數(shù)學問題轉(zhuǎn)變成方程問題.

依據(jù)已知的條件可得：f（x）=g（x）在0，π上是有解的，即2cos2x+cosx-1=cos2x+a（cosx+1）-cosx-3：化簡得：a（1+cosx）=（cosx+1）2+1，由于x∈（0，π），也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+11+cosx≥2，當1+cosx=11+cosx時等號成立，這個時候，cosx=0，即a值的最小值是2.

2.2 函數(shù)與方程的思想破解不等式問題

例2 求證：對一切大于1的正整數(shù)n都有1+131+15…1+12n-1>1+2n2.

解析 本題中的題干相對簡單，證明技巧性也比較強，缺乏正確解題思路，無法有效解題，可通過移項進行新函數(shù)構(gòu)造，利用新函數(shù)單調(diào)性進行求解公式的最值即可證明.

設(shè)f（n）=1+131+15…1+12n-11+2n，

那么f（n+1）=

1+131+15…1+12n-11+12n+1-11+2（n+1），

經(jīng)過作商，對函數(shù)的f（n）單調(diào)性進行判斷，由此可得：f（n+1）f（n）=（1+12n+1）·2n+12n+3=2（n+1）4（n+1）2-1>1，

即f（n）是增函數(shù)，由于n是大于1的正整數(shù)，此時，f（2）=1+135=1645>1664=12，因此，n=2，3…的時候，都有f（n）>12，由此可證原題.

2.3 函數(shù)與方程的思想破解三角函數(shù)問題

例3 設(shè)f（x）是定義域R上的奇函數(shù)，且函數(shù)在定義域R單調(diào)遞減，若α∈0，π2時，不等式f（cos2α+2ksinα）+f（-2k-2）>0恒成立，求k取值的范圍.

解析 本題考查了抽象不等式問題，在抽象不等式向三角不等式轉(zhuǎn)化的過程當中函數(shù)單調(diào)性起到了重要的作用，另外利用換元法將三角問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，同時本題充分挖掘了二次函數(shù)圖象的特點，為求解參數(shù)的范圍提供了方便.

f（cos2α+2ksinα）+f（-2k-2）>0可轉(zhuǎn)化成（cos2α+2ksinα）<（2k+2），設(shè)t=sinα，則t∈0，1，等價于：t2-2kt+2k+1>0，在t∈0，1恒成立.立足于函數(shù)與方程的思想，令g（t）=t2-2kt+2k+1，則該函數(shù)g（t）在t∈0，1的最小值大于0即可，分三種情況求g（t）的最小值，最終能夠求解得k>-12.

2.4 函數(shù)與方程的思想破解數(shù)列問題

例4 已知Sn是等差數(shù)列{an}前n項和，現(xiàn)有a4+a5=24，S6=48，那么的公差是（? ）.

（A）1.? ?（B）2.? ?（C）4.? （D）8.

本題主要是對等差數(shù)列的基礎(chǔ)性知識進行考查，假設(shè)求取的公差是d，依據(jù)等差數(shù)列的計算公式，提供的條件可列出相應的方程組為：2a1+7d=246a1+15d=48，此時，通過計算就能實現(xiàn)問題的有效解決.

2.5 函數(shù)與方程的思想破解參數(shù)范圍問題

例5 已知a、b是正數(shù)，若ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

解析 依據(jù)題干當中所涉及到的兩個參數(shù)積和兩個參數(shù)和，可聯(lián)想至一元二次的方程根的關(guān)系，并加以解答.

設(shè)ab= t，按照ab=a+b+3可得到a+b=t-3，立足以此，構(gòu)造方程為x2-（t-3）x+t=0，且a、b為兩個正根，就能得到相應的關(guān)系：Δ=t-32-4t≥0，t-3>0，t >0，對其求解可知：t≥9，因此，ab取值范圍是[9，+∞）.

2.6 函數(shù)與方程的思想破解代數(shù)問題

例6 不等式a（x2-1）<2x-1對滿足條件|a|≥2的實數(shù)a是恒成立的，求取x值的具體范圍.

解析 學生可通過函數(shù)與方程的思想進行相關(guān)代數(shù)問題的解答，也就是將a當做成變量，把數(shù)學題目當中的不等式a（x2-1）<2x-1轉(zhuǎn)化成（x2-1）a-（2x-1）<0，由此可知，在變形之后，關(guān)于a的不等式在區(qū)間[-2，2]中為恒成立.通過構(gòu)造函數(shù)f（a）=（x2-1）a-（2x-1），讓函數(shù)f（a）=（x2-1）a-（2x-1）在在區(qū)間[-2，2]上的最大值小于0即可.本題通過函數(shù)的思想，交換變量x和a，使復雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的簡單問題.

2.7 函數(shù)思想解決數(shù)學方程式

通過轉(zhuǎn)化方程式，使其成為兩個函數(shù)，并借助函數(shù)與方程的思想，對抽象的方程問題進行簡化，以實現(xiàn)問題的高效解決.

例7 已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-1|的最小值為m.

（1）求m的值以及此時的x的取值范圍;

（2）若實數(shù)p，q，r滿足p2+2q2+r2=m，證明：q（p+r）≤2.

解析

（1）依據(jù)題意，得f（x）=|x+3|+|x-1|≥|x+3-x+1|=4，故m的值是4.

若（x+3）（x-1）≤0，即-3≤x≤1時等號成立，即x的取值范圍為[-3，1].

（2）證明：由于p2+2q2+r2=m，

故（p2+q2）+（q2+r2）=4.

由于p2+q2≥2pq，僅有p=q時，等號成立，q2+r2≥2qr，僅有q=r時，等號成立，

因此，（p2+q2）+（q2+r2）=4≥2pq+2qr，故q（p+r）≤2，僅有p=q=r時等號成立.

3 結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學的教學難點破解中，較為常用的解題方法就是函數(shù)與方程思想，面對數(shù)學難題求解時，其不僅有助于解題步驟的簡化，而且還能實現(xiàn)解題思路明晰，從而使數(shù)學難題實現(xiàn)有效破解.

參考文獻：

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