共點(diǎn)線的幾種證法及其應(yīng)用

宗吉

【摘要】共點(diǎn)線是指三條或三條以上的直線相交于一點(diǎn)，三線共點(diǎn)問題在幾何中經(jīng)常出現(xiàn)，而證明共點(diǎn)線問題是初等幾何的難點(diǎn)之一.本文介紹了證明共點(diǎn)線問題的幾種方法，并通過具體例題對(duì)這些證法作了膚淺的探討.

【關(guān)鍵詞】共點(diǎn)線;證法;直線

一、共點(diǎn)線的幾種求法

交于同一點(diǎn)的三條或三條以上的直線叫做共點(diǎn)線.

1利用特殊點(diǎn)的唯一性

利用特殊點(diǎn)的唯一性來證明多線共點(diǎn)問題，其作法大體是：欲證n（n≥3）條直線相交于一點(diǎn)，不妨先在n條直線中任取一條直線，設(shè)法證明這條直線通過某一特殊點(diǎn);然后再證明其余n-1條直線也通過那個(gè)特殊點(diǎn)，從而達(dá)到證明n條直線共點(diǎn)的目的.

1.1利用弧中點(diǎn)的唯一性

例1圓心為Oi（i=1，2，3，…，n）的n個(gè)圓同時(shí)跟一個(gè)半圓內(nèi)切且跟半圓的直徑相切，切點(diǎn)為Ci和Di.證明：直線CiDi相交于一個(gè)點(diǎn).圖1

證明如圖1，半圓的圓心為O，直徑為AB.為證明直線CiDi相交于一個(gè)點(diǎn)，先取直線C1D1使得直線C1D1和圓O相交于點(diǎn)M，可以明顯得到點(diǎn)O，O1，C1共線.連接O1D1和OM，有

∠OMC1=∠OC1M=∠O1C1D1=∠O1D1C1，

所以O(shè)M∥O1D1.

又O1D1⊥AB，得OM⊥AB，

所以點(diǎn)M是⊙O1的中點(diǎn).同理直線C2D2，C3D3，…，CnDn也通過點(diǎn)M.

由AB的中點(diǎn)的唯一性，直線CiDi相交于一個(gè)點(diǎn).

1.2利用線段中點(diǎn)的唯一性

例2有兩個(gè)完全相等且相交的圓A和B.⊙C和⊙D同時(shí)跟⊙A內(nèi)切，跟⊙B外切，并且相互外切.l是⊙C和⊙D的內(nèi)公共切線，可以根據(jù)條件畫無數(shù)個(gè)⊙C和⊙D.證明：可以構(gòu)造無數(shù)個(gè)內(nèi)公共切線.

證明如圖2，⊙C和⊙D的切點(diǎn)為N，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則MN⊥CD，直線MN是⊙C和⊙D的內(nèi)公共切線l.

設(shè)⊙A和⊙B的半徑為r，⊙C和⊙D的半徑為c和d，連接AC，BC，MC和AD，BD，MD，由三角形的中線的性質(zhì)，得

AC2+BC2=2CM2+2AM2，

AD2+BD2=2DM2+2AM2，

兩式相減得2（CM2-DM2）

=（AC2+BC2）-（AD2+BD2）

=（r-c）2+（r+c）2-（r-d）2-（r+d）2

=2（c2-d2）=2（CN2-DN2），

同上CM2-DM2=CN2-DN2，

MN⊥CD，

所以，⊙C和⊙D的內(nèi)公共切線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)M.

所以滿足條件的⊙C和⊙D的內(nèi)公共切線l無論如何都會(huì)經(jīng)過線段AB的中點(diǎn).

由線段中點(diǎn)的唯一性，無數(shù)個(gè)內(nèi)公共切線l都會(huì)相交于一個(gè)點(diǎn).

1.3利用外心的唯一性

例3在銳角△ABC中，把邊BC上的高當(dāng)做直徑畫出一個(gè)圓并且圓和三角形的邊AB和AC相交于點(diǎn)M和N.通過點(diǎn)A畫出直線lA并使得lA⊥MN.同上也可以畫出直線lB和lC.證明：直線lA，lB，lC相交于一點(diǎn).

證明如圖3，連接HN，使得HN⊥AC，

通過點(diǎn)B作BG⊥AB交lA于點(diǎn)G，

則AG⊥MN，

因?yàn)椤螦MN=∠AHN=∠C，

所以∠BAG=90°-∠AMN=90°-∠C=∠HAC.

因?yàn)椤螦BG=∠AHC=90°，

所以△ABG∽△AHC，

于是∠AGB=∠ACB，

所以，點(diǎn)A，B，G，C四點(diǎn)共圓，點(diǎn)G在△ABC的外切圓上，

由∠ABG=90°，可知AG是△ABC的外切圓的直徑或者直線lA經(jīng)過△ABC的外心.

同上直線lB和lC也經(jīng)過△ABC得外心，

所以直線lA，lB，lC相交于一點(diǎn)，并且那個(gè)點(diǎn)是△ABC的外心.

1.4利用內(nèi)心的唯一性

例4

有△ABC和直線li（i=1，2，…，n）.直線li劃分△ABC的周長(zhǎng)和面積的比例是相等的.證明：直線li（i=1，2，…，n）共點(diǎn).

證明如圖4，直線l1和直線AB，AC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則畫出

AE+AFBE+BC+CF=S△ABCSEBCF

的平分線和直線l1相較于點(diǎn)I，設(shè)點(diǎn)I到直線AB，AC的距離是r，點(diǎn)I到直線BC的距離是x，

則r（AE+AF）r（BE+BC+CF）=AE+AFBE+BC+CF

=S△ABCSEBCF=12r（AE+AF）12r（BE+CF）+12x·BC，

同上x=r.

所以點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，

也可證明直線l2，l3，…，ln經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，從△ABC內(nèi)心的唯一性可得到直線li（i=1，2，…，n）共點(diǎn).

1.5利用重心的唯一性

例5圖5

圓O是△ABC的內(nèi)切圓，與△ABC的邊BC和CA，AB分別交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).射線DO和EF交于點(diǎn)A′.同上可以得到點(diǎn)B′和C′.證明：直線AA′，BB′，CC′共點(diǎn).

證明如圖5，連接A′B和A′C，

點(diǎn)B，D，O，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，

點(diǎn)C，D，O，E四點(diǎn)共圓，

則∠A′OF=∠B，∠A′OE=∠C.

因?yàn)锳′Fsin∠A′OF=OA′sin∠OFA′

=OA′sin∠OEA′=A′Esin∠OEA′，

所以A′FA′E=sin∠A′OFsin∠A′OE=sinBsinC=ACAB，

所以A′F·AB=A′E·AC

=12sin∠AEF·AC·A′E

=S△ACA′，

所以，直線AA′經(jīng)過△ABC的重心.

同上，直線BB′和CC′也經(jīng)過△ABC的重心，從△ABC重心的唯一性可得到直線AA′，BB′，CC′是共點(diǎn).

2利用相關(guān)定理來證明共點(diǎn)線

2.1Ceva定理在△ABC的三條邊或三條邊上的直線BC，CA，AB取上點(diǎn)X，Y，Z，BXXC·CYYA·AZZB=1時(shí)，直線AX，BY，CZ平行或共點(diǎn).如圖6.

例6在銳角△ABC的三條邊的外延畫出△BCA1，△CAB1和△ABC1，使∠CAB1=∠C1AB=α，∠ABC1=∠A1BC=β，∠BCA1=∠B1CA=γ，

α，β，γ都是銳角.證明：直線AA1，BB1，CC1共點(diǎn).

證明如圖7，AA1，BB1，CC1和直線BC，CA，AB相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

有BDDC=S△ABA1S△ACA1=AB·BA1sin（∠ABC+β）AC·CA1sin（∠ACB+γ）

=ABsinγsin（B+β）ACsinβsin（C+γ），

同上CEEA=BCsinαsin（C+γ）ABsinγsin（A+α），

AFFB=CAsinβsin（A+α）BCsinαsin（B+β），

三式相乘得BDDC·CEEA·AFFB=1，

由Ceva定理，有直線AD，BE，CF共點(diǎn)并且直線AA1，BB1，CC1也共點(diǎn).

2.2Desargues定理如果兩個(gè)相互對(duì)應(yīng)的三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)邊所在的直線共點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)或平行.如圖8.

例7直線l與△ABC的邊AB，BC，CA分別交于點(diǎn)L，M，N，直線AM，BN和CL相互相交構(gòu)成了△RST.證明：直線AS，BT，CR共點(diǎn).

證明如圖9，在△ABC和△RST中，AB與ST交于點(diǎn)L，

BC與RT交于點(diǎn)M，

CA與RS交于點(diǎn)N，

點(diǎn)L，M，N共點(diǎn).

由Desargues定理，△ABC和△RST頂點(diǎn)連線相交于同一點(diǎn)，則直線AS，BT，CR是共點(diǎn).

二、共點(diǎn)線證法的應(yīng)用

例8在線段PQ一側(cè)有點(diǎn)Ai（i=1，2，…，n）并且滿足∠PAiQ=90°.證明：∠PA1Q，∠PA2Q，…，∠PAnQ的角平分線相交于一點(diǎn).

證明如圖10，以線段PQ為直徑和線段的中點(diǎn)為圓心畫出一個(gè)半圓，點(diǎn)Ai（i=1，2，…，n）滿足∠PAiQ=90°，所以點(diǎn)Ai（i=1，2，…，n）在圓周上.先在圓周上畫出∠PA1Q并連接點(diǎn)A1和O.

0

因?yàn)镻O=OQ，

所以∠PA1Q=∠OA1Q，

所以，直線OA1是∠PA1Q的平分線并且經(jīng)過半圓的圓心O.

∠PA2Q，∠PA3Q，…，∠PAnQ的平分線也經(jīng)過圓心O.

由線段PQ中點(diǎn)的唯一性，∠PA2Q，∠PA3Q，…，∠PAnQ的平分線相交于一個(gè)點(diǎn).

1

例9證明三角形的三中線共點(diǎn).

分析如圖11，在△ABC中，AD，BE，CF是邊BC，CA，AB的中線，要證明的是AD，BE，CF共點(diǎn).

證明點(diǎn)D，E，F(xiàn)是BC，CA，AB的中點(diǎn)，

所以BDDC=CEEA=AFFB=1，

BDDC·CEEA·AFFB=1，

由Ceva定理，中線AD，BE，CF共點(diǎn).

2

例10證明三角形內(nèi)角的角平分線共點(diǎn).

分析如圖12，在△ABC中，AD，BE，CF是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線，要證明的是AD，BE，CF共點(diǎn).

證明在△ABC中，∠BAD=∠CAD，

由三角形的內(nèi)角平分線定理得

BDDC=ABAC，CEEA=BCAB，AFFB=ACAB，

所以BDDC·CEEA·AFFB=ABAC·BCAB·ACBC=1，

由Desargues定理，三角形內(nèi)角的角平分線AD，BE，CF共點(diǎn).