初中數(shù)學(xué)綜合題的解題教學(xué)

孔文進(jìn)

【摘要】初中數(shù)學(xué)綜合題考查的知識點(diǎn)較多，難度相對較大.教學(xué)實(shí)踐中，為提高學(xué)生解答綜合題的能力，增強(qiáng)其學(xué)習(xí)的自信心，應(yīng)結(jié)合具體例題，認(rèn)真落實(shí)解題教學(xué)活動，給學(xué)生帶來良好的解題啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);綜合題;數(shù)學(xué)解題

綜合題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型，在中考中常作為壓軸題出現(xiàn).為使學(xué)生掌握解題的相關(guān)思路與技巧，避免在解題中走彎路，應(yīng)做好初中數(shù)學(xué)綜合題題型匯總以及解題示范.

1 “圓”綜合題的解題教學(xué)

“圓”是初中數(shù)學(xué)中的重要幾何圖形.解答與圓相關(guān)綜合題應(yīng)認(rèn)真審題，充分挖掘題干中的隱含條件，尤其為更好地找到解題思路，可從問題出發(fā)，逆向推理，構(gòu)建與已知條件之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)順利突破目標(biāo).

例1 如圖1，圓O是△ABC外接圓的圓心，其中BC為直徑，長為16.D為圓外一點(diǎn)，∠ACD=∠B.點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，弦FG過點(diǎn)E，且EF=2EG，連接OE.

（1）求證：CD為圓O的切線;

（2）求證：（OC+OE）（OC-OE）=EG·EF;

（3）當(dāng)FG∥BC時(shí)，求弦FG的長.

（1）證明：由BC為圓O的直徑，則∠A=90°，∠B+∠ACB=90°，而∠ACD=∠B，則∠ACD+∠ACB=90°，∠BCD=90°，BC⊥CD，則CD為圓O的切線，得證.

（2）證明：連接AF，GC，則∠AFE=∠ECG，而∠AEF=∠GEC，則△AFE∽△GCE，則AEEF=EGCE，即，AE·CE=EG·EF.因點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則AE=CE，即，CE2=EG·EF.又因O為圓心，則OE∥AB，∠A=∠OEC=90°，則△OEC為直角三角形.由勾股定理可得：CE2=OC2-OE2=（OC+OE）（OC-OE），即，（OC+OE）（OC-OE）=EG·EF，得證.

（3）延長EG與CD交于點(diǎn)M.過點(diǎn)O作ON⊥FE于點(diǎn)N.因BC=16，則OC=8，因FG∥BC，則四邊形OCMN為矩形.設(shè)EG=x，則EF=2x，F(xiàn)G=3x，NG=1.5x，則NE=0.5x，EM=8-0.5x，由（2）可知OC2-OE2=2x2=CE2，OE2=OC2-2x2=64-2x2.在直角△ONE中ON2=OE2-NE2=64-2x2-0.25x2=64-2.25x2.在直角△CME中，由勾股定理可得CE2=EM2+CM2，而CM=ON，則2x2=（8-0.5x）2+64-2.25x2，整理得到：x2+2x-32=0，解得x=33-1，則FG=3x=333-3.

2 “四邊形”綜合題的解題教學(xué)

初中階段學(xué)習(xí)的四邊形主要有平行四邊形、矩形、正方形、菱形.開展“四邊形”綜合題的解題教學(xué)活動時(shí)應(yīng)注重與學(xué)生一起回顧以及相關(guān)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形全等、三角形相似構(gòu)建相關(guān)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

例2 如圖2矩形ABCD中AB=2，AD=4，點(diǎn)E、F分別為線段BD，BC上的點(diǎn)，∠AEF=90°，線段AF和BD交于點(diǎn)H.（1）當(dāng)AE=AB時(shí)，①求證FB=FE;②求AH的長;（2）求EF長的最小值.

（1）①因ABCD為矩形，則∠ABC=90°，又由∠AEF =90°，AF=AF，AE=AB，則△ABF≌△AEF，則FB =FE，得證.

②由①可得AH垂直平分BE，則∠AHB=90°，而∠BAD=90°，∠ABH=∠ABH，則△AHB∽△DAB，則AHAD=ABBD，由勾股定理可得BD=22+42=25，則AH =825=455.

（2）過點(diǎn)E作MN∥AB分別和AD、BC交于點(diǎn)M、N，如圖3，設(shè)AM =x，則DM =4-x，由MN∥AB，易得△DME ∽△DAB，則MEAB=DMDA，則ME=2-x2，EN=x2.因∠AEF=90°，則∠FEN+∠AEM =90°，而∠AEM+∠MAE=90°，則∠FEN=∠MAE，則△FEN∽△EA M ，則AEEF=AMEN=2，則EF=12AE，因此，當(dāng)AE最小時(shí)，EF最小.顯然當(dāng)AE和AH重合時(shí)最短，此時(shí)AE=455，則EF =12×455=255.

3 “二次函數(shù)”綜合題的解題教學(xué)

“二次函數(shù)”在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位.解答二次函數(shù)綜合習(xí)題不僅需要熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，而且應(yīng)根據(jù)題干創(chuàng)設(shè)情境，合理推測出相關(guān)參數(shù)，靈活運(yùn)用幾何知識，順利求解出相關(guān)參數(shù).

例3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中直線y=2x+8和x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B.（1）求拋物線的表達(dá)式;（2）P為拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作PM∥y軸，PN∥x軸，分別和直線AB交于M，N.①當(dāng)MN=12AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);②連接OP交AB于點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)時(shí)，求PCOC的值.

（1）由點(diǎn)A、B為y=2x+8和x軸、y軸的交點(diǎn)，可得A（-4，0），B（0，8），將其代入到y(tǒng)=-x2+bx+c中，得到-16-4b+c=0c=8，解得b=-2c=8，則y=-x2-2x+8.

（2）① 設(shè)點(diǎn)P（m，-m2-2m+8），根據(jù)題意易得點(diǎn)M（m，2m+8），則PM=-m2-2m+8-（2m+8）=-m2-4m.因PM∥y軸，PN∥x軸，易得∠PNM=∠OAB，∠PMN=∠OBA，則△PMN∽△OBA，則PMOB=MNAB，當(dāng)MN=12AB時(shí)，PM=12OB=4，即，-m2-4m=4，解得m=-2，則點(diǎn)P（-2，8）.

② 過點(diǎn)C作CD⊥x軸，延長PM交x軸于點(diǎn)E，則PE∥CD，如圖5，當(dāng)點(diǎn)C為MN的中點(diǎn)時(shí)，易得MC=CN=PC，因PM∥y軸，PN∥x軸，則CNCP=CACO，CPCM=COCB，則AC=BC=OC，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，則DO=2，CD=4，設(shè)點(diǎn)P（t，-t2-2t+8），則PE=-t2-2t+8，OE=-t，由PE∥CD，則△OCD∽△OPE，則PEOE=CDOD=2，則-t2-2t+8-t=2，解得t=-22，則PCOC=DEDO=22-22=2-1.

4 結(jié)語

綜上所述，初中數(shù)學(xué)綜合題解題教學(xué)時(shí)為獲得預(yù)期教學(xué)目標(biāo)，既要做好與之相關(guān)基礎(chǔ)知識的總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)知識網(wǎng)絡(luò)，又要為學(xué)生展示經(jīng)典例題解題過程，使學(xué)生掌握相關(guān)解題思路，把握解題細(xì)節(jié)，促進(jìn)綜合題解題能力的有效提升.

參考文獻(xiàn)：

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